2014年春季新版苏科版八年级数学下学期9.4、矩形、菱形、正方形学案12

知识梳理：
• 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
• 正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？
• （1）边的性质： 正方形的四条边都相等 ；
• （2）角的性质： 正方形的四个角都是直角 ；
• （3）对角线的性质： 正方形的对角线互相垂直平分，
• 并且每条对角线平分一组对角 ；
• （4）对称性： 轴对称、中心对称 .
例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与
点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.
(1) E是BC的中点，求证：OE=OF.
(2)若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变
化？为什么？
（3）如果将正方形A’B’C’D’换成扇形OB’D’，满足什么条件时上述的关系还成立吗？

例2、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD，∠FAE=∠BAE. 求证：
AF=BC+EC

1.3-4正方形的性质
课 题 1.3-4正方形的性质
教学目标：1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.能用正方形的性质定理证明相关问题。
教学重点、难点：正方形的性质定理的应用。

(
)

F

E
O

A
'

A B C D

B
'
D
'

C
'
例3、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，
∠FAE=∠BAE. 求证：AF=BC+EC. (截长补短)

例4、在正方形ABCD中
(1)已知：如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF.
(2)如图②，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE与BF相等吗？
证明你的结论.
(3)如图③，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE与
HF相等吗？证明你的结论.

三、体会与交流
四、自我检测
1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方
形，则两个小正方形的周长的和是_________。

2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则∠BEC= 度.
3、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，
则PE+PF= 。 可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离

G
A
B
D

CE
F
G

F

EC

D

B
A

A
B
D

CE
F

E
P

D

C
B

A
F
_
F
_
E
_

D

_
C
_
B

_
A

B C
B

C

M
E

ABCD

之和等于 。
4、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到
正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（ ）

A．12 B．33 C．313 D．314
5、如图4,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，
AE平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50.
(2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350 （4）AC=CE (5) AD∶

CE=1∶2.
其中正确的有 （ ） （A）5个 （B）4个 （C）3
个 （D）2个
6、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过
点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，
试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

7、如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠
BAE＝2∠DAM。求证：AE＝BC＋CE。

8、如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F。
（1）如图①，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形
ADEF
的面积之比；
（2）如图②，当点E运动到CE∶ED＝2∶1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）当点E运动到CE∶ED＝3∶1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动
到CD∶ED＝n∶1(n是正整数)时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果，
不要求写出计算过程)；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题

A
D
N

O
B

M

C
O
O