线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，
则z b 为直线y a b x z
b
=-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z
b
=-
+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z
b
=-
+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。
例1.已知实数x 、y 满足约束条件0
503x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10 分析：将目标函数变形可得124z y x =-
+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线1
2
y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图1所示：
当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故
24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。
图1 图2
例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪
⎩
⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。
解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小值，所以
z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313
,）处取最大值，z max =⨯-⨯=3132131
3。
二 直线的斜率型
例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩
,求函数3
1y z x +=+的值域.
解析：所给的不等式组表示圆22
4x y +=的右半圆(含边界)，
3
1
y z x +=
+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的
直线斜率最大，max 2(3)
50(1)
z --=
=--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的
切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩
解得25
a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因此
min
z =
⎤⎥⎣⎦
三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例4. 已知实数x 、y 满足10
101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，则22
448w x y x y =+--+的最值为___________.
解析：目标函数2222
448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示： 可行域为图中ABC 内部（包括边界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距离为其到可
行域内点的最大值，22
max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点
的最小值，min
2w ==。 四． 变换问题研究目标函数
例5.已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）
A ．
31或3 B ．31 C ．52或2 D ．5
2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2
点和B 点分别取得最小值和最大值. 由
),(•a a •A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨
⎧==+y x y x 2
得 B (1，1). ∴a •z •
z 3,3min
max ==. 由题意
得.3
1
•a
=故答案B 。 五 综合导数、函数知识类
例5.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对应值如下表，
)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足3
3
1)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是
（
A ．)3,7(
B ．)3,5(
C ．)56,32(
D ．)3,3
1(-
分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到3
3
++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。
解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，
又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，可得可行域如图，
33
++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为
3
7
3034=++，最小为点（2，0），此时为5
3
3230=++，所以答案B.
