第六章 圆锥投影

6.2 基本几何体概述
几何体的三面投影
三面投影之间的投影规律为： 正面投影与水平投影——长对正； 正面投影与侧面投影——高平齐；
水平投影与侧面投影——宽相等。
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
6.3 平面几何体的投影及其截切
绘制平面几何体的三面投影，就是把围成它的平 面、棱线和顶点绘制出来，可见的投影用粗实线，不 可见的投影用虚线。
【例6-4】已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′， 点N的水平投影n，分别求其另外两个投影。 分析：因为m′可见，所 以点M位于棱面SAB上， 而棱面SAB为一般位置 平面，因而必须利用辅 助直线求解。
解法1：过平面上的两 点作辅助直线，即连 接s′、m′并延长交 a′b′于1′，并求出s1。 m在s1上，由m′可求 得m，再根据投影规 律求得m″。
解法2：过平面上的一点作面 上一已知直线的平行线，即 过m′作2′3′∥a′b′， 2 3∥a b(2″3″∥a″b″)，同理 可求得m和m″。 点N位于棱面SAC上，利 用积聚性，求n″，再由n和n″ 可求得n′。 判断可见性：棱面SAB的水 平投影和侧面投影均可见， 故点m和m″也可见。棱面 SAC的正面投影不可见，故 点（n′）也不可见。
4. 棱柱的截切
例：求正六棱柱被侧垂面P截切后的投影。
分析：截平面P与正六棱 柱的各个棱线均相交， 交线为六边形，其六个 顶点A、B、C、D、E、 F为截平面P与正六棱柱 的六条棱线的交点。
作图：1.用作图线画出正六棱柱截切前完整的正面投影。 2.标出截交线的侧面投影和水平投影。 3. 求出各点的正面投影。 4.连线并判断可见性。 5.整理轮廓线。
例：已知正六棱柱表面上点M、点N和点K的正面投 影m′、n′ 和k′，点P的水平投影p，分别求出其另外 两个投影,并判断可见性。

9′10′
10〞 3〞8〞
4′3′
7′8′
9〞 4〞7〞
10 3 2 8 6
1 4 9
5 7
整理棱线投影
§6.5 直线与平面立体相交
1、贯穿点——直线与立体表面的交点 2、贯穿点的性质
1）既属于直线，又属于立体表面 2）成对出现
3、求法
直线与平面立体相交，相当于直线和平面相交
【例1】
直线与棱柱的贯穿点
s′ V c′ a′ b′ S c〞 C b〞 W s′
s〞
e′
a′
a
k′
f′
b′
c′ c s a〞 c〞 （ ）
k〞 b〞 Yk
E
A
K
F
c s
H
B
e
k
a
b
f
辅助线法2
b
Yk
平面立体投影的可见性判别
平面立体的各表面是平面多边形，而多边形的各边是 各相邻两表面的交线（棱线、底边），多边形的顶点是各棱 线及各底边的交点。立体表面的交线称为轮廓线。绘
视图 ——形体的正投影图称为视图。
三面投影体系 三个视图
主视图 左视图
V投影 H投影 W投影
主视图 俯视图 左视图
俯视图
一、棱柱的投影
将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到H、V、W三 再按规定方向，将H、W面展开到与V面重合的位 个投影。 置上，便得三棱柱的三个投影图。
Z
左
a′
右
c′ b′
左
右 上 下
A S
4
P 3 D
1
2 B
C
2、面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线， 这些交线即围成所求的平面立体截交线。

控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。

d'
d
例题4
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例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b1'
a1' e1'
e' d'
e1 d1' c1'
ed
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a1'
a2
b2 b1' a1'
X1 例题 放大图
返回
b' a'
X
V H
b
a
a1'
a2'b2' b1'
返回
例题 求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 1'
2'
1
c2
2
22
12
d2
c1'
21' d1'
b1'
a2b2
a1'
11'
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（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面

d'
b1

D
d1H1 a1
d
c1
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一、换面法的基本概念
c1’ V1
a1’
b1’
c1’ b1’
a1’
X1 X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找 出其在新投影面上的投影。
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（二）、新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
d
c
例题2 例题3
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例题2 求点S到平面ABC的距离 k'
s'