复变函数的积分§1. 复积分的概念一. 复积分的定义与计算设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向,定义： 设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式(),z f S nk k k n ∑=∆=1ς 设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,. -C 记为则积分记作()⎰-c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向）定理1设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=cc c dy y x u dx y x v i dyy x v dx y x u dz z f（注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分y i x dz +=相乘后得到的，这样便于记忆） 特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z += （()()B b z A a z ==,），则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()[]().,,,,,,,,,,dt t z t z f dt t y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f ba ba ba bacc c '='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1 计算dz z c⎰，其中C 是如图所示： y（1）从点1到点i 的直线段1c ；（2）从点1到点0的直线段2c ，再从点0到点的直线段i 的直线段3c 所连接成的折线段c =2c +3c .例3 例2 计算()⎰-c n z z dz 0，其中n 为任何整数，C为以0z 为中心，r 为半径的圆周.例4 计算⎰czdz 其中C 为从原点到点3+4i 的直线段.二. 复积分的基本性质(1) ()()[]()()⎰⎰⎰±=±c c c dz z g dz z f dz z g z f ；(2) ()()⎰⎰=cc dz z f k dz z kf ； x 0 1 i1c 2c 3c(3)()()⎰⎰--=c c dz z f dz z f ; (4)()()()⎰⎰⎰+=21c c c dz z f dz z f dz z f , 其中21C C C +=； (5) ()()⎰⎰≤≤cc ML ds z f dz z f .（积分估值） 例4 设C 为从原点到点3+4i 的直线段，试求积分⎰-ci z dz 模的一个上界。
第三章复变函数的积分第10讲复变函数的积分第三章复变函数的积分p69 §3.1复变函数积分的概念教学⽬的：1、理解关于复积分的定义；2、掌握复积分的计算⽅法、熟悉复积分的基本性质；3、注意复积分中值定理与实积分定理的区别；教学重点：复积分的计算⽅法、熟悉复积分的基本性质；教学难点：复积分中值定理与实积分定理的区别；教学⽅法：启发式；教学⼿段：讲解与板书相结合教材分析：复积分是研究解析函数的⼀个重要⼯具。
但复积分仍是作为⼀种和的极限来定义的，它的许多性质与实积分既有相同的地⽅也有不同的地⽅，因此，学习时需要加以注意。
§3.1 复变函数积分的概念1. 有向曲线2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法4. 积分性质 1. 有向曲线：0)]('[)]('[],,[)(')('),() ()(:22≠+∈≤≤??==t y t x C t y t x t t y y t x x C 且、设βαβα)1()()()()(:βα≤≤+=t t iy t x t z C0)(')('≠t z t z 连续且，.平⾯上的⼀条光滑曲线z C --光滑或分段光滑曲线约定-C :， ).(因⽽可求长:的⽅向规定C ,,,:为正若终点指定起点开曲线b a b a →;,-→C a b 记作为负则左边。
的内部⼀直在观察者的前进⼀周观察者顺此⽅向沿正⽅向闭曲线C C ,:--2.积分的定义：D z z f w ∈=)()1(设；.)2(的⼀条光滑有向曲线点内点为区域B A D C →B z z z A n AB n ==,,,:)3(10 个⼩弧段任意分划成将⌒；k k kk k z f z z ?∈?-)()4(1ζζ作乘积⌒}{max ,,,)()5(1111k nk k k k k k k nk k k n S z z S z z z z f S ?=?-=??=≤≤--=∑δζ的长度为记作和式⌒)2()(lim 1)(0Iz f nk k k n ∑=?∞→=?→ζδ若如何取⽆论如何分割i C ζ,，?→I Cdz z f B A C z f )(,)()(记作的积分从沿曲线为则称)3()(lim )(.,.1--?=∑?=∞→nk k k n Cz f dz z f e i ζ取极限求和取乘积分割→→→说明 ?Cdz z f C )()1(记作若闭曲线==∈baCdt t u dz z f t u z f b a t C )()(),()(],,[:)2(则关。
第三章 复变函数的积分3.1解 计算积分120[()]ix y ix dz +-+⎰，路径(1)自原点至1i +的直线段；(2)自原点沿实轴至1，由1铅直向上至1i +；(3)自原点沿虚轴至i ，由i 沿水平方向右至1i +。
解： (1)设参数方程为 (1)z i t =+，01t ≤≤1122011[()](1)(1)333iix y ix dz it i dt i i +-+=+=+=-+⎰⎰(2)设参数方程为12:0,: 1.C y C x ==121112215[()]()(1)26iC C x y ix dz x ix dx y i idy i +-+=+=++-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰(3)设参数方程为12:0;:1l x l y ==121112201[()]()(1)26il l i x y ix dz y idy x ix dx +-+=+=-+-+=--⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2计算Cz dz z⎰积分的值，其中C 为（1）||2z =；（2）||4z =. 解： 令i z reθ=，202i i z rzre dz rie d ri zrθπθθπ-===⎰⎰故当2r =时，为4i π;当4r =时，为8i π. 3.3 求证：2Cdz 4z π≤⎰其中C 是从1i -到1的直线段。
证明： C ：z=1+iy=1+itan θ,0.4πθ-≤≤22222111tan cos cos z y d dz i θθθθ=+=+==，，故有222241cos cos 4oCCdz dz d z zπθπθθ-≤==⎰⎰⎰3.4试用观察法确定下列积分的值，并说明理由，C 为|z|=1。
解： （1）2144Cdz z z ++⎰积分值为0，因被积函数在|z|≤1内解析。
（2）1cos Cdz z⎰积分值为0，因被积函数在|z|≤1内解析。
（3）112Cdzz -⎰1212Cdz i z π=-⎰3.5求积分zCe dz z⎰的值，其中C 为由正向圆周|z|=2与负向圆周|z|=1所组成。
