误差上机实验一

实验一 误差的基本性质与处理
一、
实验目的

了解误差的基本性质以及处理方法

二、实验原理
（1）算术平均值
对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，
应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n
而得的值成为算术平均值。
设 1l，2l，…,nl为n次测量所得的值，则算术平均值

121...ninillllxnn





算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增
加，则算术平均值x必然趋近于真值0L。

iv i
l
-x

i
l
——第i个测量值，i=1,2,...,;n

i
v
——il的残余误差（简称残差）

2、算术平均值的计算校核
算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性
质来校核。
残余误差代数和为：11nniiiivlnx
当x为未经凑整的准确数时，则有：1niiv0
1）残余误差代数和应符合：
当1niil=nx，求得的x为非凑整的准确数时，1niiv为零；

当1niil>nx，求得的x为凑整的非准确数时，1niiv为正；其大小为求x时
的余数。
当1niil的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合：

当n为偶数时，1niiv2nA;

当n为奇数时，1niiv0.52nA
式中A为实际求得的算术平均值x末位数的一个单位。
（2）测量的标准差
测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差

2
222
121...nininn





式中 n—测量次数（应充分大）
i

—测得值与被测量值的真值之差

2
11niivn






2、测量列算术平均值的标准差：xn
三、实验内容：
对某量等精度测量10次，测得数据为14.7mm, 15.0mm, 15.2mm, 14.8mm,
15.5mm, 14.6mm, 14.9mm, 14.8mm, 15.1mm, 15.0mm
假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。
1、算术平均值
2、求残余误差
3、校核算术平均值及其残余误差
4、判断系统误差
5、求测量列单次测量的标准差
6、判别粗大误差
7、求算术平均值的标准差
8、求算术平均值的极限误差
9、写出最后测量结果

四、实验数据整理：
（一）、求算术平均值、残余误差
1、分析：
（1）算术平均值：121...ninillllxnn
（2）残余误差：ivil-x
（3）校核算术平均值及其残余误差：

残差和：11nniiiivlnx

残余误差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，1niiv2nA
当n为奇数时，
1niiv



0.52nA





（4）测量列中单次测量的标准差：

2
222
121...nininn






（5）测量列算术平均值的标准差
x
n





2
11niivn





2、在matlab中的编译及运行结果
3、程序：
clear all;
disp('被测量值：');
L=[14.7, 15.0, 15.2, 14.8, 15.5, 14.6, 14.9, 14.8, 15.1,
15.0] %被测量值
format short
aveL=mean(L); %1、求算数平均值
disp(['1、被测量值的平均值aveL=',num2str(aveL),'mm']);
vi=L-aveL; %2、求残余误差
n=length(vi);
disp('2、各残余误差如下：');
for k=1:n
disp(num2str(vi(k)));
end
sumvi=sum(vi(k)); %求残差和
al=abs(sumvi); %求残差和的绝对值
if (mod(n,2)==0)
h=n/2;
else
h=(n+1)/2;
end
disp('3、校核算术平均值及其残余误差：');
if al < h*0.01 %3、校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值
小于n/2*A,al<0，故以上计算正确
disp(' 残差和绝对值小于n/2*A，故算术平均值计算正确');
else
disp(' 残差和绝对值大于n/2*A，故算术平均值计算错误');
end

vi1=vi([1:h]); vi2 =vi([(h+1):end]);
%4、判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统
误差）
sumvi1=sum(vi1) ; sumvi2=sum(vi2);
a2= sumvi1- sumvi2;
if a2 <=1
disp('4、由残差计算法判断此次测量无系统误差');
else
disp('4、由残差计算法判断此次测量有系统误差');
end

bz=sqrt((sum(vi.^2)/(n-1))); %5、测量列单次测量的标准差
disp(['5、测量列单次测量的标准差σ=',num2str(bz),'mm']);
bz1=1.253*sum(abs(vi))/sqrt(n*(n-1));
u=bz1/bz-1;
if abs(u)<2/sqrt(n-1)
disp('4、由计算比较法再次确定此次测量无系统误差');
else
disp('4、由计算比较法再次确定此次测量有系统误差');
end
p=sort(L); %6、用格罗布斯准则判断粗大误差先
将测量值按大小顺序重新排列
g0=2.482; %查表g(10,0.05)的值
g1=(aveL-p(1))/bz;
g10=(p(10)-aveL)/bz; %将g1与g10与g0值比较，g1和g10
都小于g0，故判断暂不存在粗大误差
if g1 disp('6、由格罗布斯准判断此次测量无粗大误差');
else
disp('6、由格罗布斯准判断此次测量有粗大误差');
end
sc=bz/(sqrt(n)); %7、算数平均值的标准差
disp(['7、算术平均值的标准差σx=',num2str(sc),'mm']);
t=2.262; %查表t(9,0.05)值
jx=t*sc ; %8、算术平均值的极限误差
disp(['8、算术平均值的极限误差δlimσx=',num2str(jx),'mm']);
disp(['9、最后测量结果是：','(',num2str(aveL),'±
',num2str(jx),')','mm']); %9最后测量结果