数值计算方法实验报告

数值代数实验报告数值代数实验报告引言：数值代数是一门研究数值计算方法和算法的学科，它在科学计算和工程应用中起着重要的作用。

本实验报告旨在通过实际的数值计算问题，探讨数值代数的应用和效果。

实验一：线性方程组求解线性方程组求解是数值代数中的一个重要问题。

在实验中，我们使用了高斯消元法和LU分解法两种求解线性方程组的方法，并对比了它们的效果。

首先，我们考虑一个3×3的线性方程组：2x + 3y - z = 54x - 2y + 2z = 1x + y + z = 3通过高斯消元法，我们将该方程组转化为上三角形式，并得到解x=1, y=2, z=0。

而通过LU分解法，我们将该方程组分解为LU两个矩阵的乘积，并得到相同的解。

接下来，我们考虑一个更大的线性方程组，例如10×10的方程组。

通过比较高斯消元法和LU分解法的运行时间，我们可以发现LU分解法在处理大规模方程组时更加高效。

实验二：特征值与特征向量计算特征值与特征向量计算是数值代数中的另一个重要问题。

在实验中，我们使用了幂法和QR方法两种求解特征值与特征向量的方法，并对比了它们的效果。

首先，我们考虑一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9通过幂法，我们可以得到该矩阵的最大特征值为15.372，对应的特征向量为[0.384, 0.707, 0.577]。

而通过QR方法，我们也可以得到相同的结果。

接下来，我们考虑一个更大的矩阵，例如10×10的矩阵。

通过比较幂法和QR 方法的运行时间，我们可以发现QR方法在处理大规模矩阵时更加高效。

实验三：奇异值分解奇异值分解是数值代数中的一种重要技术，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而实现数据降维和信息提取的目的。

在实验中，我们使用了奇异值分解方法，并通过实际的数据集进行了验证。

我们选取了一个包含1000个样本和20个特征的数据集，通过奇异值分解，我们将该数据集分解为三个矩阵U、S和V的乘积。

printf("%lf ",x[i]);printf("\n");}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){double a[3][4],x[3]={0,0,0},d[3];for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<4;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);shuchu(x);do{x[0]=(a[0][3]-a[0][1]*x[1]-a[0][2]*x[2])/a[0][0];x[1]=(a[1][3]-a[1][0]*x[0]-a[1][2]*x[2])/a[1][1];x[2]=(a[2][3]-a[2][0]*x[0]-a[2][1]*x[1])/a[2][2];d[0]=abs((a[0][3]-a[0][1]*x[1]-a[0][2]*x[2])/a[0][0]-x[0]);d[1]=abs((a[1][3]-a[1][0]*(a[0][3]-a[0][1]*x[1]-a[0][2]*x[2])/a[0][0]-a[1][2]*x[2]) /a[1][1]-x[1]);d[2]=abs((a[2][3]-a[2][0]*(a[0][3]-a[0][1]*x[1]-a[0][2]*x[2])/a[0][0]-a[2][1]*(a[1] [3]-a[1][0]*(a[0][3]-a[0][1]*x[1]-a[0][2]*x[2])/a[0][0]-a[1][2]*x[2])/a[1][1])/a[2][2]-x[2]);shuchu(x);}while(d[0]>0.5e-5&&d[1]>0.5e-5&&d[2]>0.5e-5);system("pause");return 0;}实验结果与分析1.列主元素消元法2.完全组元素消元法3.LU分解法4.高斯-赛德尔迭代法讨论、心得（可选）:了解Gauss消元法、LU分解法、追赶法等线性方程组直接求解的基本方法、基本原理；能够按照工程实际要求，选择适当的算法；通过编写程序，进行算法设计和数值求解，了解雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等线性方程组迭代求解的基本方法、基本原理，能够按照工程实际要求，选择适当的算法，通过编写程序，进行算法设计和数值求解。

学院：自动化学院班级：自动化085姓名：学号：2011年3月一、实验的性质、目的和任务本实验是与本专业基础课《数值计算方法》相配套的，旨在巩固专业课内容和学生编程的能力。

通过实验加强对数值方法的理解和掌握，编制出适用的程序。

同时，在理论教学的基础上，注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，；其次要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。

要求学生应用高级计算机语言Matlab编程完成实验。

二、实验基本要求要求熟悉高级计算机语言Matlab，以及相关上机操作说明；上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备；记录调试过程及结果。

三、实验原理应用高级计算机语言实现数值计算方法课程中的各种算法。

四、设备及器材配置主机：微机操作系统：WINDOWS 98以上软件：高级计算机语言Matlab五、考核与报告每个实验完成后交一份实验报告。

本实验作为平时成绩的一部分占学期期末总成绩的20%。

六、适用对象自动化专业七、主要参考书1.王能超编，《数值分析简明教程》，高等教育出版社，2003年，第2版2.封建湖编，《数值分析原理》，科学出版社，2001年，第1版3.冯有前编，《数值分析》，清华大学出版社，2005年，第1版4.周璐等译， John H. Mathews等编，《数值方法（MATLAB版）》，电子工业出版社，2007年，第二版实验一 采用拉格朗日方法计算插值一、 实验目的：1. 掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 能够熟练地应用拉格朗日方法计算插值，并完成插值程序的设计和调试。

二、 实验内容：构造拉格朗日插值多项式()p x 逼近3()f x x =，要求：（1） 取节点01x =-，11x =求线性插值多项式1()p x ；（2） 取节点01x =-，10x =，21x =求抛物插值多项式2()p x ；（3） 取节点01x =-，10x =，21x =，32x =求三次插值多项式3()p x ；（4） 分别求1(1.3)p 、2(1.3)p 、3(1.3)p 的值，并与精确值相比较。

《数值计算方法》实验报告班级数学132班学号201300144402姓名袁媛2016年 1月3日实验报告一1. 实验名称解线性方程组的直接法 2.实验题目用追赶法求解下列方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101053-001-21-002-31-001-24321x x x x 3.实验目的熟练运用已经学过的方法计算方程组，巩固已经学到的解决方程组的方法，培养使用计算机进行科学计算和解决问题的能力，熟悉了解这样的系数矩阵，能运用追赶法进行方程组的求解。

4.基础理论设A 有如下形式的分解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------11......11...............1211122111122211n n n n n n n n n n t t t s r s r s r s b a c b a c b a c b A 其中,i i r s 和i t 为待定常数，则有1,...,3,2,, (3)2,,,111111-===+====-n i t s c n i s t r b r a t s c s b i i i i i i i i i 由可得如下计算公式：1111111,1,...,3,2,/,,/,---==-==-====n n n n n n i i i i i i i i i t r b s a r n i s c t t r b s a r s c t b s 即在A 满足条件的情况下，可以把{}{}i i s r ,和{}i t 完全确定出来，从而实现上面给定形式的LU 分解，且i r 等于),...3,2(n i a i =。

这样，求解三对角阵方程组Ax=f 就等价于求解两个三角形方程组y Ux f Ly ==, 从而得到公式：（1）计算{}i s 和{}i t 的递推公式 ;1, (3)2,/,,/11111---=-==-==n n n n i i i i i i i t a b s n i s c t t a b s b c t （2）求解f Ly = ni s y a f y b f y i i i i i ,...,3,2,/)(,/1111=-==-（3）求解y Ux =1,...,2,1,,1--=-==+n n i x t y x y x i i i i n n通常把计算121...-→→→n t t t 和n y y y →→→...21的过程称为追的过程，而把计算方程组的解11...x x x n n →→→-的过程称为赶的过程，这一方法称为解三角方程组的追赶法。

数值分析实验报告实验一、解线性方程组的直接方法——梯形电阻电路问题利用追赶法求解三对角方程组的方法，解决梯形电阻电路问题：电路中的各个电流{1i ，2i ，…，8i }须满足下列线性方程组：R V i i =- 22 210 252321=-+-i i i 0 252 432=-+-i i i 0 252 543=-+-i i i 0 252 654=-+-i i i 0 252 765=-+-i i i 0 252 876=-+-i i i 052 87=+-i i设V 220=V ，Ω=27R ，运用追赶法，求各段电路的电流量。

问题分析：上述方程组可用矩阵表示为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------00000001481.8522520000002520000002520000002520000002520000002520000002287654321i i i i i i i i问题转化为求解A x b =，8阶方阵A 满足顺序主子式(1,2...7)0i A i =≠，因此矩阵A存在唯一的Doolittle 分解，可以采用解三对角矩阵的追赶法！追赶法a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5]；c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0]; d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];Matlab 程序function x= zhuiganfa( a,b,c,d )%追赶法实现要求：|b1|>|C1|>0,|bi|>=|ai|+|ci| n=length(b); u=ones(1,n); L=ones(1,n); y=ones(1,n); u(1)=b(1); y(1)=d(1); for i=2:nL(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-c(i-1)*L(i); y(i)=d(i)-y(i-1)*L(i); endx(n)=y(n)/u(n); for k=n-1:-1:1x(k)=(y(k)-c(k)*x(k+1))/u(k); end endMATLAB 命令窗口输入：a=[0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2]; b=[2 5 5 5 5 5 5 5];c=[-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0] d=[220/27 0 0 0 0 0 0 0];x= zhuiganfa(a,b,c,d )运行结果为：x =8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477存在问题根据电路分析中的所讲到的回路电流法，可以列出8个以回路电流为独立变量的方程，课本上给出的第八个回路电流方程存在问题，正确的应该是78240i i -+=；或者可以根据电路并联分流的知识，同样可以确定78240i i -+=。

数值计算方法上机实验报告实验目的：复习和巩固数值计算方法的基本数学模型，全面掌握运用计算机进行数值计算的具体过程及相关问题。

利用计算机语言独立编写、调试数值计算方法程序，培养学生利用计算机和所学理论知识分析解决实际问题的能力。

上机练习任务：利用计算机基本C 语言编写并调试一系列数值方法计算通用程序，并能正确计算给定题目，掌握调试技能。

掌握文件使用编程技能，如文件的各类操作，数据格式设计、通用程序运行过程中文件输入输出运行方式设计等。

一、各算法的算法原理及计算机程序框图1. 列主元高斯消去法算法原理：高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角方程组求解。

列选住院是当高斯消元到第k 步时，从k 列的kk a 以下（包括kk a ）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到kk a 的位置上。

交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。

●源程序：#define N 200#include "stdio.h"#include "math.h"FILE *fp1,*fp2;void LZ(){int n,i,j,k=0,l;double d,t,t1;static double x[N],a[N][N];fp1=fopen("a1.txt","r");fp2=fopen("b1.txt","w");fscanf(fp1,"%d",&n);for(i=0;i<n;++i)for(j=0;j<=n;++j){fscanf(fp1,"%lf",&a[i][j]);}{d=a[k][k];l=k;i=k+1;do{if(fabs(a[i][k])>fabs(d)) /*选主元*/{d=a[i][k];l=i;}i++;}while(i<n);if(d==0){printf("\n输入矩阵有误！\n");}else{ /*换行*/if(l!=k){for(j=k;j<=n;j++){t=a[l][j];a[l][j]=a[k][j];a[k][j]=t;}}}for(j=k+1;j<=n;j++) /*正消*/ a[k][j]/=a[k][k];for(i=k+1;i<n;i++)for(j=k+1;j<=n;j++)a[i][j]-=a[i][k]*a[k][j];k++;}while(k<n);if(k!=0){for(i=n-1;i>=0;i--) /*回代*/ {t1=0;for(j=i+1;j<n;j++)t1+=a[i][j]*x[j];x[i]=a[i][n]-t1;}for(i=0;i<n;i++)fprintf(fp2,"\n 方程组的根为x[%d]=%lf",i+1,x[i]); fclose(fp1); fclose(fp2); }main() { LZ(); }● 具体算例及求解结果：用列选主元法求解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+28x x 23x 2232832321321321x x x x x x 输入3 输出结果：方程组的根为x[1]=6.0000001 2 -3 8 方程组的根为x[2]=4.000000 2 1 3 22 方程组的根为x[3]=2.000000 3 2 1 28● 输入变量、输出变量说明：输入变量：ij a 系数矩阵元素，i b 常向量元素 输出变量：12,,n b b b 解向量元素2. 杜里特尔分解法解线性方程● 算法原理：求解线性方程组Ax b =时，当对A 进行杜里特尔分解，则等价于求解LUx b =，这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，由Ly b =求出y ，再利用回带，由Ux y =求出x 。

一、实验目的1. 理解积分的概念和基本性质。

2. 掌握数值积分的方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

3. 通过实际计算，加深对积分概念的理解。

二、实验原理积分是微积分学中的一个基本概念，表示一个函数在某区间内的累积变化量。

数值积分是指利用数值方法求解积分，常见的方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。

1. 矩形法：将积分区间分成若干等份，用每个小区间的宽度乘以函数在该区间的值，再将所有小区间的乘积相加，得到积分的近似值。

2. 梯形法：将积分区间分成若干等份，用每个小区间的宽度乘以函数在该区间的平均值，再将所有小区间的乘积相加，得到积分的近似值。

3. 辛普森法：将积分区间分成若干等份，用每个小区间的宽度乘以函数在该区间的二次多项式近似值，再将所有小区间的乘积相加，得到积分的近似值。

三、实验步骤1. 选择一个具体的积分问题，例如：计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的积分。

2. 根据所选择的积分方法，设置相应的参数。

例如，对于矩形法，需要设置小区间的数量n；对于梯形法，需要设置小区间的数量n；对于辛普森法，需要设置小区间的数量n。

3. 计算每个小区间的宽度，例如，对于区间[0,1]，小区间的宽度为h = (1-0)/n。

4. 根据所选的积分方法，计算积分的近似值。

5. 比较不同积分方法的近似值，分析误差来源。

四、实验结果与分析以函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的积分为例，进行数值积分实验。

1. 矩形法：取n=4，计算得到积分的近似值为0.5625。

2. 梯形法：取n=4，计算得到积分的近似值为0.6667。

3. 辛普森法：取n=4，计算得到积分的近似值为0.6667。

通过比较不同积分方法的近似值，可以发现辛普森法的误差较小，且随着n的增大，误差逐渐减小。

这表明辛普森法在数值积分中具有较高的精度。

五、实验总结1. 本实验通过数值积分方法，计算了函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的积分，加深了对积分概念的理解。

本科实验报告课程名称：计算机数值方法实验项目：计算机数值方法实验实验地点：虎峪校区致远楼B401专业班级：软件学院1217班学号：******xxxx 学生姓名：xxx指导教师：xxx2014 年 5 月21 日太原理工大学学生实验报告五、实验结果与分析二分法割线法分析：由程序知，使用二分法和割线法均能计算出方程的根，但利用割线法要比二分法计算的次数少，并且能够较早的达到精度要求。

相比之下，割线法程序代码量较少，精简明了。

六、讨论、心得本次数值计算方法程序设计实验从习题练习中跳脱出来，直接面对实用性较强的程序代码编写。

效果很好，不仅加深对二分法、割线法的理解，还加强了实际用运能力。

将理论知识成功地转化成实践结果。

实验地点虎峪校区致远楼B401指导教师xx太原理工大学学生实验报告l[i][k]=a[i][k];for(r=1;r<k;++r){l[i][k]-=l[i][r]*u[r][k];}l[i][k]/= u[k][k];}l[k][k]=1.0;}for(i=1;i<=n;++i){y[i] = b[i];for(j=1;j<i;++j){y[i]-=l[i][j]*y[j];}}for(i=n;i>0;--i){x[i] = y[i];for(j=i+1;j<=n;++j){x[i]-=u[i][j]*x[j];}x[i]/= u[i][i];}for(i=1;i<=n;++i){printf("%0.2lf\n",x[i]);}return 0;}五、实验结果与分析完全主元素消元法：列主元素消元法：LU分解法：分析：对于两种高斯解方程，完全主元素跟列主元素都是先消元、再回代，由程序段可以发现，始终消去对角线下方的元素。

即，为了节约内存及时效，可以不必计算出主元素下方数据。

列主元素消元法的算法设计上优于完全主元素消元法，它只需依次按列选主元素然后换行使之变到主元素位置，再进行消元即可。