人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.2.2同角三角函数基本关系式(共18张PPT) - 副本

5．2．2同角三角函数的基本关系

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、内容和内容解析

1．内容

同角三角函数的基本关系及其应用．

2．内容解析

本节课要学的内容同角三角函数的关系，指的是正弦、余弦、正切函数三者之间的关系．本单元前面学生已经学过三角函数的定义并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，此外还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一，本节课同角三角函数的关系就是在此基础上的发展．由于本节课的内容还与后面的诱导公式有重要的联系，在三角函数的学习中占有重要地位，对于后面的内容有着基础性的作用，是本章的重点内容．

同角三角函数的基本关系是在前面三角函数概念的基础上学习的，是对三角函数的复习巩固，又是后续内容如诱导公式、两角和差公式推导的基础，所以起到承上启下的作用，并且应用也比较广泛，因此是一节非常重要的课，应使学生熟练掌握．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：同角三角函数的基本关系式22sincos1xx和sintancosxxx．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解同角三角函数的基本关系式22sincos1xx，sintancosxxx，体会三角函数的内在联系性．

（2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）学生能利用三角函数定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．

（2）能运用同角三角函数的基本关系进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．

三、教学问题诊断分析

本节课学生可能遇到的问题是在同角三角函数的基本关系式变形中有点难度，产生这一问题的原因学生没有考虑角的符号问题，要解决这一问题教师就要借助平面直角坐标系，分析角所在的象限，关键是理解角在每个象限上的符号．

本节课的学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函

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5.2.2 同角三角函数的基本关系

学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

知识点 同角三角函数的基本关系

1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.

2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan α其中α≠kπ＋π2(k∈Z)．

思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？

答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋π2，k∈Z.

预习小测 自我检验

1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝ .

答案 －513

解析 由条件知sin α＝－1－cos2α

＝－1－12132＝－513.

2．sin2θ2＋cos2θ2＝ .

答案 1

3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝

.

答案 －13

解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0，

∴tan α＝－13.

4．若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝

.

答案 －43 本资料分享自千人教师QQ群483122854，期待你的加入与分享

解析

因为α为第四象限角，且cos α＝35，

所以sin α＝－1－cos2α＝－1－352＝－45，

所以tan α＝sin αcos α＝－43.

一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值

例1 (1)已知α∈π，3π2，tan α＝2，则cos α＝ .

答案 －55

解析 由已知得 sin αcos α＝2，①sin2α＋cos2α＝1，②

由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，

1 5．2.2 同角三角函数的基本关系

1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．

2．理解同角三角函数的基本关系式．

3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.

这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切(α≠kπ＋π2，k∈Z)．

温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．

(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．

(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝sinαcosα仅对α≠π2＋kπ(k∈Z)成立． 2

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意角α，sin2α3＋cos2α3＝1都成立．( )

(2)对任意角α，sin2αcos2α＝tan2α都成立．( )

(3)若cosα＝0，则sinα＝1.( )

(4)若sinα＝35，则cosα＝1－sin2α＝45.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

题型一 利用同角三角函数的基本关系式求值

【典例1】 (1)已知cosα＝－45，求sinα和tanα.

(2)已知tanα＝3，求sin2α－2sinα·cosα－cos2α4cos2α－3sin2α的值．

[思路导引] 利用同角三角函数的基本关系式求解．

[解] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－－452＝352，

1 5.2.2 同角三角函数的基本关系

最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.

知识点 同角三角函数的基本关系式

状元随笔 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

[教材解难]

同角三角函数的基本关系

(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23a＝1.

(2)sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.

(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1就不一定恒成立．

[基础自测]

1．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cos α＝( ) 2 A．－53

B.13

C.53 D．－13

解析：∵α是第二象限角，∴cos

α＝－1－sin2α＝－53.

答案：A

2．已知tan α＝12，且α∈π，3π2，则sin α的值是( )

A．－55 B.55

C.255 D．－255

解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝12，

sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－55.

答案：A

3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：原式＝1＋sin2αcos2α·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.