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Resolution of high order WENO schemes for complicated flow structures

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ResolutionofhighorderWENOschemesforcomplicated

flowstructures

JingShia,Yong-TaoZhangb,Chi-WangShub,*

aDepartmentofMathematics,UniversityofTexasatAustin,Austin,TX78712,USAbDivisionofAppliedMathematics,BrownUniversity,182GeorgeStreetBoxF,Providence,RI02912,USA

Received9July2002;receivedinrevisedform28January2003;accepted6February2003

Abstract

Inthisshortnoteweaddresstheissueofnumericalresolutionandefficiencyofhighorderweightedessentiallynon-oscillatory(WENO)schemesforcomputingsolutionscontainingbothdiscontinuitiesandcomplexsolutionfeatures,throughtworepresentativenumericalexamples:thedoubleMachreflectionproblemandtheRayleigh–Taylorinsta-bilityproblem.Weconcludethatforsuchsolutionswithbothdiscontinuitiesandcomplexsolutionfeatures,itismoreeconomicalinCPUtimetousehigherorderWENOschemestoobtaincomparablenumericalresolution.Ó2003ElsevierScienceB.V.Allrightsreserved.

Keywords:WENOschemes;Highorderaccuracy;DoubleMachreflection;Rayleigh–Taylorinstability

1.Introduction

Inthisshortnoteweaddresstheissueofnumericalresolutionandefficiencyofhighorderweighted

essentiallynon-oscillatory(WENO)schemesforcomputingsolutionscontainingbothdiscontinuitiesand

complexsolutionfeatures,throughtworepresentativenumericalexamples:thedoubleMachreflection

problemandtheRayleigh–Taylorinstabilityproblem.

TheWENOschemesweuseinthispaperarethefifthorderfinitedifferenceversiondevelopedbyJiang

andShuin[7]andtheninthorderfinitedifferenceversiondevelopedbyBalsaraandShuin[1].Wewillonly

giveaveryroughsketchofthealgorithmsandreferto[7]and[1],andalsotothelecturenotes[10],formost

details.Foraconservationlawssystem

utþfðuÞxþgðuÞy¼0ð1:1

ÞJournalofComputationalPhysics186(2003)690–696www.elsevier.com/locate/jcp

*Correspondingauthor.Tel.:1-401-863-2549;fax:1-401-863-1355.E-mailaddresses:jshi@mail.ma.utexas.edu(J.Shi),zyt@cfm.brown.edu(Y.-T.Zhang),shu@cfm.brown.edu(C.-W.Shu).

0021-9991/03/$-seefrontmatterÓ2003ElsevierScienceB.V.Allrightsreserved.doi:10.1016/S0021-9991(03)00094-9theconservativefinitedifferenceschemesweuseapproximatethepointvaluesuijatauniform(orsmoothly

varying)gridðxi;yjÞinaconservativefashion.Namely,thederivativefðuÞxatðxi;yjÞisapproximatedalong

theliney¼yjbyaconservativefluxdifference

fðuÞxjx¼xi%1

Dx^fiþ1=2󰀁À^fiÀ1=2󰀂;

whereforthefifthorderWENOschemethenumericalflux^fiþ1=2dependson5pointvaluesfðukjÞ,k¼

iÀ2;...;iþ2,whenthewindispositive(i.e.,whenf0ðuÞP0forthescalarcase,orwhenthecorresponding

eigenvalueispositiveforthesystemcasewithalocalcharacteristicdecomposition).Thisnumericalflux^fiþ1=2iswrittenasaconvexcombinationofthreethirdordernumericalfluxesbasedonthreedifferentsub-stencils

ofthreepointseach,andthecombinationcoefficientsdependona‘‘smoothnessindicator’’measuringthe

smoothnessofthesolutionineachstencil.Theresultingschemecanbeprovenuniformlyfifthorderaccurate

insmoothregionsincludingatanysmoothextrema.Fordiscontinuitiesthesolutionisessentiallynon-os-

cillatoryandgivessharpshocktransitions.TheninthorderWENOschemesfollowasimilarrecipe,with9

pointsinthestenciland5sub-stencilsof5pointseach.The‘‘monotonicitypreservinglimiters’’in[1]isnot

usedinthispaper.WedonotobserveaneedtofurtherlimitthesolutionbeyondtheWENOrecipeforthe

testcaseshere.TimediscretizationisviathethirdorderTVDRunge–Kuttamethodin[11].TheCFL

numberistakenas0.6foralltheruns.Wehavenotobservedsignificantimprovementforthenumerical

resolutionwhenthetimestepisreducedorwhentheorderofaccuracyintimeisincreasedforthesetestcases.

WENOfinitedifferenceschemesarerelativelyeasytocodeandhaveexcellentparallelefficiency.

However,becauseofthelocalcharacteristicdecompositionandtheevaluationofthenon-linearsmooth

indicators,themethodsareCPUtimecostly,especiallyforthehigherorderversions.Anaturalquestionis

whetheritisworthwhiletousesuchhighordermethods.Theanswertothisquestionisproblemdependent.

Formanyproblemscontainingonlysimpleshockswithalmostlinearsmoothsolutionsinbetween,suchas

thesolutionstomostRiemannproblems(shocktubeproblems),agoodsecondordermethod,suchasPPM

[4]orotherTVD[6]methods,wouldbetheoptimalchoice.However,whenthesolutioncontainsboth

discontinuitiesandcomplexsolutionstructuresinthesmoothregions,ahigherordermethodmaybemore

economicalinCPUtime,asdemonstratedbytheexamplesinthispaper.

2.Twonumericalexamples

Inthissection,weusethedoubleMachreflectionproblemandtheRayleigh–Taylorinstabilityproblem

asexamplesforproblemswithbothdiscontinuitiesandcomplexsolutionstructurestodemonstratethe

resolutionofhighorderWENOschemes.BothproblemsareforthetwodimensionalEulerequationsof

compressiblegasdynamics,namelyEq.(1.1)with

u¼ðq;q󰀃u;q󰀃v;EÞT;

fðuÞ¼ðq󰀃u;q󰀃u2þp;q󰀃u󰀃v;󰀃uðEþpÞÞT;

gðuÞ¼ðq󰀃v;q󰀃u󰀃v;q󰀃v2þp;󰀃vðEþpÞÞT:

Hereqisthedensity,ð󰀃u;󰀃vÞisthevelocity,Eisthetotalenergy,pisthepressure,relatedtothetotalenergy

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高等计算流体力学讲义(3)

高等计算流体力学讲义(3)

1 高等计算流体力学讲义（3）

§2 Riemann问题

1．预备知识：Euler方程解的结构

我们讨论Euler方程解的结构。在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有

constR，沿audtdx （1）

其中 auR12。且全场

Sconst。 （2）

在这种情况下，Euler方程的光滑解有如下几种可能。

1）在求解域中，Riemann不变量auR12均不为常数。

这是最一般的情况，Euler方程的解比较复杂，通常无解析解。

2）均匀流：Riemann不变量auR12均为常数。此时，令

0RR，

有：

0000()/21()4uRRaRR，

可见，此时流动是均匀的。

3）简单波：有一个Riemann不变量在某区域内为常数（00RRorRR）。

以0RR的情况为例。此时

021RuaR。 （3）

且沿dxuadt，有

21uaconst。

这个常数具体的数值与特征线的起点有关。由此我们知道，沿dxuadt，有 2 00()/21()4uRconstaRconst。

这说明，沿dxuadt，u和a均为常数，即特征线是直线。由均熵条件，密度和压力p沿特征线dxuadt也为常数。参见上图，由于uau，所以流线dxudt（或流体质点）从左侧穿过特征线dxuadt，这种简单波称为左简单波或向后简单波。简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。设流线与dxuadt交点处，流线的切线方向为。把（3）式沿求方向导数，得：

201ua

当0u，有

()0,0,0,0apuc。

第二章发展方程的有限元分析

第二章发展方程的有限元分析

第二章 发展方程的有限元分析

W. B. J. ZIMMERMAN，B. N. HEWAKANDAMBY

Department of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,

Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United Kingdom

E-mail:

科学研究和工程应用中的偏微分方程（PDE）多源自复杂的平衡方程。常见的偏微分方程主要来自质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒定律。由于这些守恒定律是整个域上的积分方程，所以在连续性假设下，偏微分方程很容易用有限元方法近似描述。本章介绍了COMSOL Multiphysics中典型的三种不同类型“时间－空间”系统偏微分方程——椭圆方程，抛物线方程和双曲线方程。本章还对有限元方法进行了总体介绍，结合应用实例讲解有限元方法精确计算的特性，更深层次的内容将在后续章节中引出。

1. 简介

在科学研究和工程应用中常会遇到满足守恒定律约束的偏微分方程，通常以积分形式出现。所有由质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒控制的传递现象都会产生连续逼近的偏微分方程。相信化工人员对传热、传质和动量传递现象不会感到陌生。

与前一章COMSOL Multiphysics化工实例中介绍的零维、一维空间系统相比，化工课程中通常不会出现超过二维或三维的偏微分方程计算。从文献[1]中找到一个非常珍贵的例子。实际上，很多常见的化工模型和公式都是由实际过程中更高维数的动力学过程简化而来的。流体动力学中的阻力系数，传热传质系数，多相催化的Thiele模型，精馏塔设计中的McCabe-Thiele图等许多描述高维数系统传递现象或非稳态动力学过程的技术，都是半经验性的方法，也许可以用偏微分方程来描述这些过程，但是由于基本物理、化学现象的复杂性，这些方程通常很难求解。所以对于初步的设计计算，这些快速计算的简化方法很受欢迎，但是对于细节设计、设计翻新、过程分析和优化过程，只有简化方法是不够的。在基础科学研究过程中，这些方法仍然不断地从化学工程师传给生物学家、材料学家等，逐渐应用到各个领域的工作中。但是计算流体动力学（CFD）的出现彻底改变了这些方法在传导模型中的地位。虽然CFD在传导现象可视化和量化方面具有独特优势，但是唯象方法对于描述分布系统模型仍然有非常重要的作用。

钝锥高超音速绕流脉冲扰动研究

钝锥高超音速绕流脉冲扰动研究

第３４卷第３期　２０１３年３月　哈尔滨工程大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｒｂｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．３　Ｍａｒ．２０ｌ３　

钝锥高超音速绕流脉冲扰动研究　

王振清，唐小军，孟祥男，吕红庆　

（哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）　

摘要：为了探究来流脉冲扰动波对高超音速流动的干扰，采用７阶迎风ＷＥＮＯ格式对无粘通量项离散和６阶中心差分　格式对粘性项离散，并使用３阶总变差减少龙格一库塔法进行时间推进求解Ｎ—Ｓ方程．基于６马赫绕钝锥自由来流，在稳　定流场来流外边界加入一个脉冲扰动波，直接数值模拟了脉冲扰动的演变发展过程，并基于ＡＢＡＱＵＳ有限元软件模拟　了钝锥体的瞬态压力响应，分析了对气动热力学特性及钝锥力学特性的影响．结果显示，数值方法精确捕捉到了脉冲扰　动的演变发展，在脉冲波作用下，弓形激波出现变形，来流扰动波参数被放大数倍甚至数十倍，近壁面区域产生了涡；流　场气动热力学特性和结构压力响应显著地受到脉冲波扰动影响，钝锥头部区域表面的热力学特性变化趋势显著地异于　非头部区域，且前者变化较后者显著，后者沿驻点线大致呈线性增长趋势．　关键词：脉冲扰动；高超音速流动；钝锥；高阶精度；直接数值模拟　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－７０４３．２０１２０６００１　网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／２３．１３９０．Ｕ．２０１３０３０５．０９３４．００８．ｈｔｍｌ　中图分类号：０３６９文献标志码：Ａ文章编号：１００６－７０４３（２０１３）０３－０２９８－０８　

Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｐｕｌｓｅ　ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ　

ｉｎ　ｈｙｐｅｒｓｏｎｉｃ　ｆｌｏｗ　ｏｖｅｒ　ａ　ｂｌｕｎｔ　ｃｏｎｅ　

ＷＡＮＧ　Ｚｈｅｎｑｉｎｇ，ＴＡＮＧ　Ｘｉａｏｊｕｎ，ＭＥＮＧ　Ｘｉａｎｇｎａｎ，ＬＵ　Ｈｏｎｇｑｉｎｇ　

XFlow2011_验证考题报告-ValidationGuide

XFlow2011_验证考题报告-ValidationGuide

XFlow2011ValidationGuide

©2010NextLimitTechnologies

Contents

Index......................................i

1Theory1

1.1LatticeGasAutomata..........................1

1.2Boltzmann’stransportequation.....................2

1.3LatticeBoltzmannMethod.......................3

1.4Turbulencemodeling...........................4

2Lid-drivencavityflow9

3Naturalconvectioninacavity13

4Automotiveaerodynamics19

5Multi-phaseflows25ii1

Theory

Intheliteraturethereareseveralparticle-basednumericalapproachestosolvethe

computationalfluiddynamics.Theycanbeclassifiedinthreemaincategories:

(i)algorithmsmodelingthebehaviorofthefluidatmolecularlevel(e.g.Direct

SimulationMontecarlo);(ii)algorithmswhichsolvetheequationsatamacroscopic

level,suchasSmoothedParticleHydrodynamics(SPH)orVortexParticleMethod

(VPM),andfinally,(iii)methodsbasedonamesoscopicframework,suchasthe