2014年海淀区高三一模数学试题参考答案(理科)

1

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（理科） 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 96 10. 16 11. 2 12. 34 13. 324 14. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15．解：

（Ⅰ）π()sin3fxx ---------------------------2分

(1)(0)(0)1ffg------------------------------3分

π3sinsin032.-------------------------------5分

（Ⅱ）(1)()π()sin()sin1333ftftgttttt------------------------------6分

πππsincoscossinsin33333ttt ------------------------------7分

1π3πsincos2323tt------------------------------8分

ππsin()33t------------------------------10分

因为33[,]22t，所以ππ5ππ[,]3366t，------------------------------11分

所以π1sin()[1,]332t，-----------------------------12分

所以()gt在33[,]22上的取值范围是1[,1]2-----------------------------13分 2

16.解：

（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分

（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则

当a=34时，X=136元，当a>35时，354(35)7Xa元，

X的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分

{说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}

X的分布列为：

X 136 147 154 189

203

P 110 310 210

310 110

--------------------------------------9分

{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

13231()1361471541892031010101010EX

1655==165.5()10元--------------------------------------11分 （Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分

17．（Ⅰ）因为平面ABD平面BCD，交线为BD，

又在ABD中，AEBD于E，AE平面ABD

所以AE平面BCD.--------------------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE平面BCD可得AEEF.

由题意可知EFBD，又AEBD.

如图，以E为坐标原点，分别以,,EFEDEA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz

--------------------------4分

不妨设2ABBDDCAD，则1BEED.

由图1条件计算得，3AE，23BC，33BF

则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),(,0,0),(3,2,0)3EDBAFC-------5分

(3,1,0),(0,1,3)DCAD.

由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为EA. -----------------------------------6分

设平面ADC的法向量为(,,)xyzn，则 yzxEBCA1DF3

0,0.DCADnn即30,30.xyyz

令1z，则3,1yx，所以(1,3,1)n.------------------------------------8分

平面DCB的法向量为EA

所以5cos,5||||EAEAEAnnn，

所以二面角ADCB的余弦值为55------------------------------9分

（Ⅲ）设AMAF，其中[0,1].

由于3(,0,3)3AF，

所以3(,0,3)3AMAF，其中[0,1] --------------------------10分

所以3,0,(1)33EMEAAM--------------------------11分

由0EMn，即3303-(1-）---------------------------12分

解得3=(0,1)4.-----------------------------13分

所以在线段AF上存在点M使EMADC∥平面，且34AMAF.-------------14分

18．解

（Ⅰ）eaxya，-----------------------------------2分

因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：2yxm，

所以120m且0|2xy.----------------------------------4分

解得1m，2a-----------------------------------5分

（Ⅱ）法1：

对于任意实数a，曲线C总在直线的yaxb的上方，等价于 4

∀x,aR，都有eaxaxb，

即∀x,aR，e0axaxb恒成立，--------------------------------------6分

令()eaxgxaxb，----------------------------------------7分

①若a=0，则()1gxb，

所以实数b的取值范围是1b；----------------------------------------8分

②若0a,()(e1)axgxa，

由'()0gx得0x， ----------------------------------------9分

'(),()gxgx的情况如下：

x 0（-,） 0 （0,+）

'()gx  0 +

()gx  极小值 

-----------------------------------------11分

所以()gx的最小值为(0)1gb，-------------------------------------------12分

所以实数b的取值范围是1b；

综上，实数b的取值范围是1b．--------------------------------------13分

法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的yaxb的上方，等价于

∀x,aR，都有eaxaxb，即

∀x,aR，eaxbax恒成立， -------------------------------------------6分

令tax，则等价于∀tR，etbt恒成立，

令()etgtt，则()e1tgt，-----------------------------------------7分

由'()0gt得0t， ----------------------------------------9分

'(),()gtgt的情况如下：

t 0（-,） 0 （0,+）

'()gt  0 +

()gt  极小值 

-----------------------------------------11分

所以()etgtt的最小值为(0)1g， ------------------------------------------12分

实数b的取值范围是1b． --------------------------------------------13分

5

19．解：

（Ⅰ）设00(,)Axy,00(,)Bxy，---------------------------------------1分

因为ABM为等边三角形，所以003|||1|3yx. ---------------------------------2分

又点00(,)Axy在椭圆上，

所以0022003|||1|,3239,yxxy消去0y，-----------------------------------------3分

得到2003280xx，解得02x或043x，----------------------------------4分

当02x时，23||3AB；

当043x时，143||9AB.-----------------------------------------5分

{说明：若少一种情况扣2分}

（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB斜率存在.

设直线AB:ykxm，11(,)Axy，22(,)Bxy，AB中点为00(,)Nxy，

联立22239,xyykxm消去y得222(23)6390kxkmxm，------------------6分

由0得到222960mk① ----------------------------7分

所以122623kmxxk,

121224()223myykxxmk， ----------------------------8分

所以2232(,)2323kmmNkk，又(1,0)M

如果ABM为等边三角形，则有MNAB， --------------------------9分