3．1.2 复数的几何意义1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．2．掌握实轴、虚轴、模等概念． 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．1．复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―――→一一对应复平面内的向量OZ →.3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2．1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点．( )(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( )答案：(1)√ (2)× 2．复数z ＝－12＋2i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B3．复数z ＝1＋3i 的模等于( )A ．2B ．4C.10 D ．2 2答案：C4．向量AB →＝(2，－3)对应的复数z ＝________．答案：2－3i探究点一 复数与复平面内的点对应求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点：(1)位于第二象限；(2)位于直线y ＝x 上．[解] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0， 解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2，1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上，得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.(1)复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示是解决此类问题的根据．(2)此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.1.在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解：若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＝0， 所以m ＝1，所以z ＝－2.探究点二 复数与复平面内的向量对应已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →对应的复数；(2)CA →对应的复数；(3)点B 对应的复数．[解] (1)由题意知O (0，0)，A (3，2)，C (－2，4)．AO →＝－OA →＝(－3，－2)，所以AO →对应的复数是－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →＝(3，2)－(－2，4)＝(5，－2)，所以CA →对应的复数是5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →＝(3，2)＋(－2，4)＝(1，6)，所以点B 对应的复数是1＋6i.在本例条件下，记△OAC ，△ABC 的重心分别为G 1，G 2.求证：O ，G 1，G 2，B 四点共线．证明：由向量的重心公式得OG 1→＝13(OA →＋OC →) ＝13[(3，2)＋(－2，4)]＝13(1，6)， OG 2→＝13(OA →＋OB →＋OC →) ＝13[(3，2)＋(1，6)＋(－2，4)]＝13(2，12)＝23(1，6)． 所以OG 1→＝13OB →，OG 2→＝23OB →. 所以向量OG 1→，OG 2→，OB →共线，所以O ，G 1，G 2，B 四点共线．(1)复数的向量表示法是解决此类问题的依据．(2)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.2.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k 1＝4k ， 所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38. 即a 的值为－38. 探究点三 复数的模的计算及模的几何意义(1)设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .(2)设z ∈C ，则满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？①|z |＝2；②|z |≤3.[解] (1)因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.又因为|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，所以a ＝±1，即z ＝±i.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，①|z |＝2，所以x 2＋y 2＝2，所以点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．②|z |≤3，所以x 2＋y 2≤9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)任何一个复数的模都是非负数，复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离．3.(1)复数z ＝2sin θ＋(cos θ)i 的模的最大值为( )A ．1B ．2C. 3D. 5(2)求满足条件2≤|z |＜3的复数z 在复平面上表示的图形． 解：(1)选B.|z |＝（2sin θ）2＋cos 2θ＝3sin 2θ＋1.当sin 2θ＝1时，|z |max ＝3×1＋1＝2.故选B.(2)如图，图形是以原点O 为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．理解复数的几何意义应注意的几点(1)复数z ＝a ＋b i 中的z 应小写，复平面内对应的点Z (a ，b )的Z 应大写．(2)复平面内点Z 的坐标是(a ，b )而不是(a ，b i)．(3)两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(4)复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的推广，因此|Z |≥0，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模． 数学思想——数形结合思想求解复数模的最值问题已知z ∈C ，|z －2i|＝2，当z 取何值时，|z ＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．[解] 如图所示，|z －2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0，2)为圆心，2为半径的圆．|z ＋2－4i|＝|z －(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M ，N ，使得M 或N 到定点P (－2，4)的距离最大或最小． 显然过P 与圆心连线交圆于M ，N 两点，则M ，N 即为所求．不难求得M (1，1)，N (－1，3)，即当z ＝1＋i 时，|z ＋2－4i|有最大值，为32；当z ＝－1＋3i 时，|z ＋2－4i|有最小值，为 2.[感悟提高] (1)本题利用了数形结合的思想，把|z ＋2－4i|转化为动点与点P (－2，4)的距离．(2)设复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示该圆的内部，|z |＞r 表示该圆的外部；②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示该圆的内部，|z －z 0|＞r 表示该圆的外部．[A 基础达标]1．下列不等式正确的是( )A ．3i ＞2iB ．|2＋3i|＞|1－4i|C ．|2－i|＞2D ．i ＞－i解析：选C.两虚数不能比较大小，A 、D 错误；又|2＋3i|＝13＜|1－4i|＝17，B 不正确，故选C.2．给出复平面内的以下各点：A (3，1)，B (－2，0)，C (0，4)，D (0，0)，E (－1，－5)，则这些点中对应的复数为虚数的点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.A ，C ，E 三点对应的复数分别为3＋i ，4i ，－1－5i ，是虚数，B ，D 对应的是实数，因此共有3个点．3．向量OA →对应的复数为1＋4i ，向量OB →对应的复数为－3＋6i ，则向量OA →＋OB →对应的复数为( )A ．－3＋2iB ．－2＋10iC ．4－2iD ．－12i解析：选B.向量OA →对应的复数为1＋4i ，向量OB →对应的复数为－3＋6i ，所以OA →＝(1，4)，OB →＝(－3，6)，所以OA →＋OB →＝(1，4)＋(－3，6)＝(－2，10)，所以向量OA →＋OB →对应的复数为－2＋10i.4．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－1或a ＞1B ．－1＜a ＜1C ．a ＞1D ．a ＞0解析：选B.因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1.5．已知θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π， 所以cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<0， sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4>0，故选B. 6．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9.答案：97．已知复数z ＝(a －2)＋i 对应的点在第一象限，且|z |＝17，则实数a ＝________． 解析：据题意得(a －2)2＋1＝17，即a 2－4a －12＝0，解得a ＝－2或a ＝6.当a ＝－2时，z ＝－4＋i 对应的点位于第二象限，与题意不符；当a ＝6时，z ＝4＋i 对应的点在第一象限，满足条件，故实数a ＝6.答案：68．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________．解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，等式两边取模，得|z |＝（|z |－1）2＋12.两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.答案：i9．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．10．复数z ＝3sin θ－(4cos θ)i 在复平面上对应的点Z ，求点Z 所在区域的面积． 解：由z ＝3sin θ－(4cos θ)i 得|z |＝（3sin θ）2＋（－4cos θ）2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＝－7sin 2θ＋16.因为0≤sin 2θ≤1，所以3≤|z |≤4.所以点Z 在复平面上对应的点在以原点为圆心、半径分别为r ＝3与R ＝4的圆环内(含边界)．所以所求的面积为S ＝πR 2－πr 2＝7π.[B 能力提升]1．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 的对应点的轨迹是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：选A.由|z |2－2|z |－3＝0，得(|z |＋1)(|z |－3)＝0.又因为|z |＞0，所以|z |＝－1(舍去)，所以|z |＝3.故复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．故选A.2．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________． 解析：复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a ＋1＞0， 解得－1＜a ＜2. 由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2＝2a 2－2a ＋5＝2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋92， 因为－1＜a ＜2，所以|z |∈⎝⎛⎭⎫322，3. 答案：⎝⎛⎭⎫322，3 3．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38. 即a 的值为－38. 4．(选做题)实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－5m －14)i 的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y ＝x 上．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15＞0，m 2－5m －14＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜3或m ＞5，－2＜m ＜7.解得－2＜m ＜3或5＜m ＜7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15＞0，m 2－5m －14＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15＜0，m 2－5m －14＜0. 可等价转化为(m 2－8m ＋15)(m 2－5m －14)＞0，即(m －3)(m －5)(m ＋2)(m －7)＞0，利用“数轴穿根法”可得：m ＜－2或3＜m ＜5或m ＞7，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数对应的点在直线y ＝x 上，需m 2－8m ＋15＝m 2－5m －14，解得m ＝293.此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．。
