二次函数知识点总结材料及相关典型题目

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分 二次函数基础知识

 相关概念及定义

➢ 二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

➢ 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

 二次函数各种形式之间的变换

➢ 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.

➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

 二次函数解析式的表示方法

➢ 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；

➢ 顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；

➢ 两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

➢ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

➢ 二次函数2axy的性质

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 二次函数2yaxc的性质

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 二次函数2yaxh的性质：

 二次函数2yaxhk的性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质性质

0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

 抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

➢ a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

➢ 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa.特别地，y轴记作直线0x.

➢ 顶点坐标坐标：），（abacab4422

➢ 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

 抛物线cbxaxy2中，cba,,与函数图像的关系

➢ 二次项系数a

二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．

⑴ 当0a时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当0a时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小

➢ 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在0a的前提下，

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵ 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

➢ 常数项c

⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

 求抛物线的顶点、对称轴的方法

➢ 公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．

0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． ➢ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.

➢ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

 用待定系数法求二次函数的解析式

➢ 一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

➢ 顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

➢ 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.

 直线与抛物线的交点

➢ y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c).

➢ 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).

➢ 抛物线与x轴的交点:二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；

③没有交点0抛物线与x轴相离.

➢ 平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.

➢ 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组

2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

➢ 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故

acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121

 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

➢ 关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

➢ 关于y轴对称

2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

➢ 关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；

➢ 关于顶点对称

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；

2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．

➢ 关于点mn，对称

2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk

➢ 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

 二次函数图象的平移

➢ 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

➢ 向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

➢ 三点式。

1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（3，0），B（32，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

➢ 顶点式。

1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

➢ 交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。