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近四年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

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最新实用优秀的中小学word文档 高中数学竞赛初赛试题

一 选择题

1.如果集合.AB同时满足1.2.3.4AB1AB,1,1AB就称有序集对,AB为“好集对”。这里的有序集对,AB意指当AB，,,ABBA和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862ABCD

２.设函数lg101xfx,122xxff方程的解为( )

2222.loglg21.lglog101.lglg21.loglog101ABCD3.设100101102499500A是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( )

4.在直角ABC中, 90C,CD为斜边上的高,D为垂足.

,,1ADaBDbCDab.设数列ku的通项为1221,1,2,3,,kkkkkkuaababbk则( )

2008200720062008200720062008200720082007

2007200820082007 ..

.. uuuuuuuuuuABCD

5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列na,易见123451,3,7,9,13aaaaa那么2007____________a

192759.. 55 .. ABCD2831 9597

6.设001cos31cos3AB0000001+cos7+1+cos111+cos871-cos7+1-cos111-cos87 + +

+ +则:AB

.. .. ABCD222-12+1222-2+

二.填空题

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.

8.设2007n,且n为使得nnia=2-22+2取实数值的最小正整数,则对应此n的783660ABCD最新实用优秀的中小学word文档 na为

9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.

10.平行六面体1111ABCDABCD中,顶点A出发的三条棱1,,ABADAA的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,ACBDDBCA的长度(按顺序)分别为___________________

11.函数,fxgx的迭代的函数定义为12,,fxfxfxffx

1121,,,nnnnfxffxgxgxgxggxgxggx其中n=2,3,4…

设23,32fxxgxx,则方程组969696fxgyfygzfzgx的解为_________________

12.设平行四边形ABCD中，3,4,2,2ABADBD则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________

三解答题

13.已知椭圆22412:3yx和点,0,Qq直线,lQAB过且与交于两点(可以重合).

1)若AOB为钝角或平角(O为原点), 4,q试确定l的斜率的取值范围.

2)设A关于长轴的对称点为1A,,4,Fq为椭圆的右焦点试判断1,AFB和三点是否共线,并说明理由.

3)问题2)中,若14,,,qAFB那么三点能否共线?请说明理由.

14. 数列nx由下式确定: 112,1,2,3,,121nnnxxnxx,试求20072007lglg.xkx整数部分(注a表示不大于a的最大整数,即a的整数部分.)

15. 设给定的锐角ABC的三边长,,,,,abcxyz正实数满足,ayzbzxcxypxyz其中p最新实用优秀的中小学word文档 为给定的正实数,试求222sbcaxcabyabcz的最大值,并求出当s取此最大值时, ,,xyz的取值.

2008年安徽省高中数学联赛初赛试题

一、选择题

1. 若函数yfx的图象绕原点顺时针旋转2后，与函数ygx的图象重合，则（ ）

（A）1gxfx （B）1gxfx（C）1gxfx（D）1gxfx

2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）

（A）椭圆 （B）双曲线的一部分 （C）抛物线的一部分 （D）矩形

3.下列4个数中与cos1cos2cos2008最接近的是（ ）

（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）2008

4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

5.12008写成十进制循环小数的形式10.0004986254986252008，其循环节的长度为( )

(A)30 (B)40 (C)50 （D）60

6.设多项式200820080120081xaaxax，则012008,,,aaa中共有（ ）个是偶数。

（A）127 （B）1003 （C）1005 （D）1881

二、填空题

7.化简多项式1nnkkmkmnkkmCCxx

8.函数35sin54cos3sinxfxxx的值域为

9.若数列na满足111110,,21nnnaaaanaa，且具有最小正周期2008，则1a

10.设非负数122008,,,aaa的和等于1，则12232007200820081aaaaaaaa的最大值

为

11.设点A1,1，B、C在椭圆2234xy上，当直线BC的方程为 时，ABC的面积最大。

12.平面点集,|1,2,,;1,2,,Gijinjn，易知2G可被1 个三角形覆盖（即各最新实用优秀的中小学word文档 点在某个三角形的边上），3G可被2个三角形覆盖，则覆盖2008G需要 个三角形。

三、解答题

13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求的分布。

14.设111,,2nnaanan，其中x表示不超过x的最大整数。证明：无论1a取何正整数时，不在数列na的素数只有有限多个。

15.设圆1O与圆2O相交于A，B两点，圆3O分别与圆1O，圆2O外切于C，D，直线EF分别与圆1O，圆2O相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.函数2()24fxxxx的值域是 .

2.函数y 的图象与xye的图象关于直线1xy对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .

4.设椭圆22111xytt与双曲线1xy相切，则t .

5.设z是复数，则|1||||1|zziz的最小值等于 .

6.设a，b，c是实数，若方程320xaxbxc的三个根构成公差为1的等差数列，则a，b，c应满足的充分必要条件是 .

7.设O是ABC的内心，5AB，6AC，7BC，OPxOAyOBzOC，0,,1xyz，动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 .

二、解答题（共86分）

9.（20分）设数列na满足10a，121nnaa，2n.求na的通项公式.

最新实用优秀的中小学word文档 10.（22分）求最小正整数n使得224nn可被2010整除.

11.（22分）已知ABC的三边长度各不相等，D，E，F分别是A，B，C的平分线与边BC，CA，AB的垂直平分线的交点.求证：ABC的面积小于DEF的面积.

12.（22分）桌上放有n根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题

一、填空题（每小题8分，共64分）

1．以X表示集合X的元素个数. 若有限集合CBA,,满足20BA，30CB，40AC，则CBA的最大可能值为 .

2．设a是正实数. 若Rxaaxxaaxxxf，222252106)(的最小值为10，则a .

3．已知实系数多项式dcxbxaxxxf234)(满足2)1(f，4)2(f，6)3(f，则)4()0(ff的所有可能值集合为 .

4．设展开式2)15(10nxaxaaxnnn，. 若),,,max(102011naaaa，则n .

5．在如图所示的长方体EFGHABCD中，设P是矩形EFGH的中心，线段AP交平面BDE于点Q.

若3AB，2AD，1AE，则PQ .

6．平面上一个半径r的动圆沿边长a的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 .

7．设直角坐标平面上的点),(yx与复数iyx一一对应. 若点BA,分别对应复数1,zz（Rz），则直线AB与x轴的交点对应复数 （用z表示）. 第5题

第6题

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2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

第 页 1 2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一 选择题

1.如果集合.AB同时满足1.2.3.4AB1AB,1,1AB就称有序集对,AB为“好集对”。这里的有序集对,AB意指当AB，,,ABBA和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862ABCD

２.设函数lg101xfx,122xxff方程的解为( )

2222.loglg21.lglog101.lglg21.loglog101ABCD3.设100101102499500A是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( )

4.在直角ABC中, 90C,CD为斜边上的高,D为垂足.

,,1ADaBDbCDab.设数列ku的通项为1221,1,2,3,,kkkkkkuaababbk则( )

2008200720062008200720062008200720082007

2007200820082007 ..

.. uuuuuuuuuuABCD

5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列na,易见123451,3,7,9,13aaaaa那么2007____________a

192759.. 55 .. ABCD2831 9597

6.设001cos31cos3AB0000001+cos7+1+cos111+cos871-cos7+1-cos111-cos87 + +

+ +则:AB

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

1

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2024年全国高中数学联合竞赛

一试（A卷）参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各

题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷

时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，

第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 若实数1m满足

98log(log)2024m，则

32log(log)m的值为 ．

答案：4049．

解：

323898log(log)log(3log)12log(log)1220244049mmm．

2. 设无穷等比数列{}

na的公比q满足01q．若{}

na的各项和等于{}

na各

项的平方和，则

2a的取值范围是 ．

答案：1

,0(0,2)

4．

解：因为数列{}

na的各项和为1

1a

q，注意到{}

na各项的平方依次构成首项

为2

1a、公比为2q的等比数列，于是2{}

na的各项和为2

1

21a

q． 由条件知2

11

211aa

qq

，化简得

11aq．

当(1,0)(0,1)q时，2

2111

(1),0(0,2)

244aqqq．

3. 设实数,ab满足：集合2{100}AxxxaR与3{}BxbxbR

的交集为[4,9]，则ab的值为 ．

答案：7．

解：由于2210(5)25xxaxa，故A是一个包含[4,9]且以5x

为中点的闭区间，而B是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A，故9a．

进一步可知B只能为[4,)，故0b且34bb，得2b．

2024年江西省高中数学联赛初赛试卷答案

2024年江西省高中数学联赛初赛试卷答案

第1页共7页

2024年全国高中数学联赛江西省预赛

试题参考答案

（6月23日上午9:3012:00−−）

一、填空题（每小题7分，共56分）

1.设集合{2,3,4,,4050}A=,集合{(,)|log8log6,,}

abBabbaaAbA=+=,

则集合B的元素个数为 ．

答案：68．

解：由题log2

ab=或4,又22463396940504096648===,所以集合B的

元素个数为(631)(71)68−+−=.

2.设复数z满足242

||0

21z

z

z−

+=

−,则|1|z+的值为 ．

答案：2．

解：由题1

2z, 所以 2

2(42)(21)

||0

|21|zz

z

z−−

+=

−.从而

2221

(21)|21|||

2zzz−=−−,得||2z=. 设21zbi−=(其中Rb),再由

22|2||1|zbi==+得27b=,所以11

|1||3|972

22zbi+=+=+=.

3.P是棱长为2的正四面体ABCD面BCD的中心,,MN分别是面

,ABDACD上的动点,则PMMNNP++的最小值为 ．

答案：8

2

9．

解：如图1,点,ST分别是点P关于面ABD,面ACD的对称点,线段,PSST分

别和面ABD交于点

0,QM,线段,PTST分别和面ACD交于点

0,RN,点,EF分别

是棱,DBDC的中点.则线段ST的长度与PMMNNP++相等，且是所求的最小

值.点P和线PS在面ACE,点P和线PT在面ABF上,从而QR在面AEF上,且

////QREFST,2STQR=.为便于计算边长比例和角度,我们先设正四面体的棱

长为6,则33EAEC==,3EP=,从而

222761

cos

2273PEQ−

==

,1

39EQEQEQ

EAECEP===, 第2页共7页

所以88

22,

99STQREFBC===故PMMNNP++的最小值为8

2

9.

4.222

444cos20cos40cos80

sin20sin40sin80++

2024年浙江省宁波市高中数学竞赛试题(含答案)

2024年浙江省宁波市高中数学竞赛试题(含答案)

第1页，共9页2024年宁波市高中数学竞赛试题

一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知两圆𝐶

1，𝐶

2，则“𝐶

1，𝐶

2有且仅有三条公切线”是“𝐶

1，𝐶

2相切”的( )

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

2.若𝛼∈{

1

2,1,2}

，则函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑎

ln(𝑥2

+1)

的图象不可能是( )

A. B.

C. D.

3.

已知对任意平面向量𝐴𝐵=(𝑥,𝑦)

，把𝐴𝐵

绕其起点沿逆时针方向旋转𝜃

角得到向量𝐴𝑃=(𝑥cos𝜃−𝑦sin𝜃,𝑥sin

𝜃+𝑦cos𝜃)

，叫做把点𝐵

绕点𝐴

沿逆时针方向旋转𝜃

角得到点𝑃.

已知圆锥曲线𝛤:7𝑥2

+2𝑥𝑦+7𝑦2

=24

经过旋

转后其方程可以变为标准方程，则此曲线的离心率为( )

A. 1

2

B. 3

2C. 1

D. 2

4.已知△𝐴𝐵𝐶

的内心为𝐼

，垂心为𝐻

，∠𝐵=𝜋

4，若𝐼𝐻//𝐵𝐶

，则∠𝐶的大小落在区间( )

A. (0,𝜋

6)

B. (𝜋

6,𝜋

4)

C. (𝜋

4,𝜋

3)

D. (𝜋

3,𝜋

2)

二、多选题：本题共3小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

5.设𝑎

，𝑏

，𝑐

是互不相等的正数，若关于𝑥

的不等式𝑎𝑥

−𝑏𝑥

+𝑐𝑥

>0

成立.

当且仅当

𝑥

∈

(−∞,1)

，则( )第2页，共9页A. 𝑎+𝑐<2𝑏

B. 1

𝑎+1

𝑐>2

𝑏

C. 𝑒𝑎

+𝑒𝑐

>2𝑒𝑏

D. ln𝑎+ln𝑐<2ln𝑏

6.数列{𝑎

𝑛}

是等差数列，周期数列{𝑏

𝑛}

满足𝑏

𝑛=cos(𝑎

𝑛).

若集合𝑋={𝑥|𝑥=𝑏

𝑛,𝑛∈𝑁∗

}

，中恰有三个元素，

则数列{𝑏

𝑛}

的周期𝑇

的取值可能是( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

7.已知棱长为2

的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴