中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b bc ==，，则a b b c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤43．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =BC =4-CD ＝AD 边的长为（）． （A ）（B ）64 （C ）64+ （D ）622+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444-⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭--=+--k k k k x x （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（第3题）5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-） （C ）（2012，2-） （D ）（0，2）二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AEAD= ．10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．（第8题）（第9题）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=．12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）. （1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案1\解：D 由题设得12012101111110aa b b c b c b +++===+++． 2\解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4． 3\解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AECF＝DF ＝于是 EF ＝4过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4\解：B 由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5\解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+），由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 6\解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0． 7\解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）．8\解：11133y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以， 过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．9\解：215- 见题图，设,FC m AF n ==． 因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n nm m+-=，解得n m =，或n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF nAD BC FC m====， 即AE AD10\解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足 []012 3 n k += ，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 == ，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720== ，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9． 11\证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EF AHBC AP=， 从而 EF PDBC AP=， 所以 tan PD EFPAD AP BC∠==. …………（20分）12\解：（1）因为点A （1，4）在双曲线ky x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 （第11题）44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）．因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩，…………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BOCO. 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分） 13\解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分） （1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分）（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数. 当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14\解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12n a a a <<< 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++，33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61.综上所述，n的最大值为61. …………（20分）。
2018年第十四届“IMC国际数学竞赛”（中国赛区初赛）五年级（初赛）试题一、填空题I（每小题6分，共60分）1.计算：55×55+64×46+73×37=．2.已知四位数2ab8，不管b如何取值，四位数都不是11的倍数．那么a=．3.为了迎接2018新年的到来，在下面的乘法竖式谜中，只出现了“2018”的字样．其他的数字中有6个数字被方块盖住，有6个数字被移除．请补充完整这个数字谜，得到的乘．积最大为4.用其中的数字2、0、1、7、1、2组成三个两位数，它们的乘积N最大时，那么最大的因数为．5.鸡兔同笼，鸡的头数比兔头数多6只，兔子的总脚数却是鸡的总脚数的1.5倍．那么鸡兔一共有只．6.一个四位数，把个位数字调到首位，得到新四位数比原数的4倍还多129．那么这个四位数为．7.如图，四边形ABCD的面积为60平方厘米，ED=2AE，BF=2FC，连结BE、DF，G、H分别是BE、DF的中点．那么阴影四边形EGFH的面积为平方厘米．8.一个五位数，数字和是18，且是18的倍数，又出现过相邻两位是18．那么这个五位数最小为．9.下面是一个六宫数独格，每行和粗线隔开的6个空格中都是1∼6各一个，每列数字互不相同．淘气的小明把方格内数字全部擦去，又把一部分1×2的长方形内所填两数之和写在这个长方形较短边的外部．聪明的小同学，请你复原这个六宫数独．那么a、b、c、d处所填数组成的四位数abcd是．10.6名小朋友站成一排照相，其中甲、乙不能相邻，乙、丙必须相邻．那么共有种不同站法．二、填空题II（每小题8分，共40分）11.计算：3317×2.4+6717×225−3617+413175÷12+12+18=．12.把6个相同的红球与3个相同的蓝球排成一行，2个蓝球之间至少有2个红球．那么共有种不同的排法．13.一个多位数100101102102···199200，被7去除，所得余数为．14.如图，G、H分别是六边形ABCDEF中两边AF、AB的中点，连接CG、EH、CE交于点O．如果六边形ABCDEF的面积为360平方厘米，那么阴影部分三角形COE的面积为平方厘米．15.甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行．甲每分钟行100米，乙每分钟行80米．出发一段时间后，两人在C处相遇．如果甲出发后，途中车辆出现故障，修好故障共用7分钟，然后立即继续出发，两人在D处相遇．若C、D到中点E的距离相等．那么A、B两地相距米．。
2010 年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分） 1.B 2.A 3.C 4.C 5.D二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6. 7.8% 7. +, 1 8. 51 9. 100 10. 48t << 三、 解答题（共4小题，每小题15分，共60分）11．解：（1）设y kx b =+，∵x ＝4时，y ＝400；x ＝5时，y ＝320. ∴4004,3205.k b k b =+⎧⎨=+⎩解之，得80,720.k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数关系式为80720y x =-+ ………………… 5分 （2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），当y ＝380时，38080720x =-+，得 x ＝4.25,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元), 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少. .……………………………… 10分（3）设该班每年购买纯净水的费用为W 元，则W ＝xy ＝x （－80x +720） ＝2980()16202x --+，∴当 x ＝92时，W 最大值＝1620，要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a ≥W 最大值+780，即 50a ≥1620+780， 解之，得 a ≥48.所以a 至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯……………1 5分12．证明：连结CG. ∵BD ⊥AC ，EF 垂直平分BC ，∴BG=CG ，BE=EC=21BC ∵DF=21BC ，∴DF=BE .……………………………… 5分在△BEG 和△FDG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FD BE FDG BEG FGD BGE∴△BEG ≌△FDG （AAS ）∴∠F=∠GBE=∠GCB ， GE=GD .………………… 10分 而GE ⊥BC ，GD ⊥AC ，∴CG 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠F. ………………… 15分13．解：（1） 当x =－1和x =3时， y 值相同 , 即y =a －b +c =9a +3b +c . ∴b=－2a , 则 x M = －1222=--=aa ab .∵ 点M 在y=3x －7上 , ∴ y M = 3－7=－4 , ∴M(1,－4) . 设y = a (x －1)2－4 ,∵当x = 4时, y =3×4－7= 5 .把当x = 4 , y = 5 代入上式 , 5 = a （4－1）2－4 , a=1.∴ y = (x －1)2－4 或y =x 2－2x －3 . .……………………………… 4分（2） 当x = 0时 y =－3 , ∴ C(0,－3).当y = 0时 x 1=－1, x 2=3 . ∴ A(－1，0) , B （3，0）.∴ 直线BM 为 y=2x －6 . ∵ x P = OQ = t , ∴ y P = 2t －6.∴ S = S △AOC +S 梯OCPQ =12 ×1×3+12×（3＋│2t －6│）×t = 32 +9-2t 2 ·t = －t 2＋92 t ＋32. .……………………………… 8分 （3）P 1（2,－2）, P 2（75 ,－165 ）, P 3（520102,5105-+）……………………… 12分 （4）（－1，－3）或 (910 ,－2710 ) 、（－110 ,310） …………………………… 15分 14．解：(1) ∵AE ⊥B D ，∴BE⌒ =DE ⌒ ，∴∠E B D=∠EC B . ∵∠A B H=∠D B H ，∠B HE=∠EC B +∠C B H ，∠H B E=∠D B H+∠E B D ，∴∠B HE=∠H B E. ∴B E=HE. ……………………………5分(2) 连结QC 、T B ，则∠B CQ+∠C B Q=90°，又∠B DQ+∠ATD=90°，而∠B CQ=∠B DQ ，∴∠C B Q=∠ATD=∠AT B ，∴ΔA B G ∽ΔAT B ，∴A B 2=A G•AT ， ∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴B E=12 EC ，∴ΔB EO ∽ΔC B E ，∴OE BO =BE EC =12设⊙A 的半径为R ，由A B 2－OA 2=B O 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴A T•AG=A B 2=25. ……………………………… 10(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔB AG ∽ΔTAD)(3)答：②MN R的值不变. 证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、B M ，则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ，∴MN R =2NK O 1N=2sin ∠NO 1由直线y=34x +3 得 O B =OD=4，OM ⊥B D ，∴∠B MO=∠DMO ，又∠B MO=∠A B M+∠B AM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ，∵∠A B M=∠PNM ，∴∠MPN=∠B AM=∠NO 1K ，MN R=2sin ∠B AM=2×BO AB = 85 ， 所以 MN R 的值不变，其值为 85. ……………15分 Q O H G F E D C B A x y T。
