动点轨迹[下学期]江苏教育出版社

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动点轨迹方程的常见求法

湖南省临澧县第一中学 朱福文 胡鸥 415200

一、待定系数法；

它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。

例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。

解：如果双曲线和椭圆的焦点在x轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x轴上，那么可设椭圆方程为22ax+22by= 1，双曲线的方程为22mx－22ny= 1。

2c = 213 , c = 13 .

a – m = 4 , mc: nc = 73 , a = 7 , m = 3 .

 b2 = a2－c2 = 36 , n2 = c2－ m2 = 4 .

椭圆方程为492x+362y= 1，双曲线的方程为92x－42y= 1 ；

如果双曲线和椭圆的焦点在y轴上，同理可得：

椭圆方程为492y+362x= 1，双曲线的方程为92y－42x= 1 。

二、直译解析法；

该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。

例2、已知两定点A、B，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB成立的动点P的轨迹方程。

解： 以点A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，

y

建立直角坐标系如右图： P (x,y)

则B点坐标为(3, 0)，设P点坐标为(x, y),

∠PAB =  , 则∠PBA =2 A B x

ＶＯ１．　Ｎｏ４　妲科　希　面　ｒ丽　Ｏｅｔｏｂｅｒ　２００９　动点的轨迹方程求解途径分析　罗东海　（江苏省连云港市开发区高级中学江苏连云港２２２０６７）　摘要：动点的轨迹方程是解析几何的重要内容，也是高考考查的热点和难点，只要抓住几何条件、通过合理求解途径，我们定　能攻克之　关键词：轨迹方程　求解途径　中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标识码：Ｃ　文章编号：１６７１—８４３７一（２００９）４—００４６—０１　求动点的轨迹方程是解析几何的最重要、最基本内容之一，也　是高考考查的热点之一，但这类问题把基本知识、方法技巧、逻辑思　维能力、解题能力融为一体，学生往往感到难以下手，得分率不高．　下面给出六道例题分类解析，供读者参考。　１　直接法　若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的数量关系．则我　们只须将这种关系转化为含有Ｘ、Ｙ的数值表达式，再化简整理便可　得到曲线的轨迹方程．这种求轨迹方程的方法叫直接法。　例１．（１９８９年上海高考题）Ｆ为定点　１为定直线，点Ｆ到直线１的距离为ｐ（ｐ＞０），　点Ｍ在直线ｌ上滑动，动点Ｎ在ＭＦ的延　长线上，且满足甜　击，求动点　Ｎ的轨迹方程及轨迹．　Ｊ　ｙ　／　／　ｏ　Ｘ　解：如图，作ＦＫ上ｌ于Ｋ，以Ｆ为原点，直线ＫＦ为Ｘ轴建立平　面直角坐标系，设Ｎ（Ｘ，ｙ）（ｘ＞０），则直线ｌ方程为：ｘ：＿ｐ，记ＭＮ的斜　率为ｋ，则点Ｍ，Ｎ的坐标分别为（一ｐ，－ｏｋ），（ｘ，ｋｘ），且有ｌＭＦ　ｌ＝ｐ　Ｖｌ＋ｋ‘，ｌＦＮ　ｌ＝ｘＶ１＋　．依题意得：ｌＦＮ　ｌ・ｌＭＦ　ｌ＝ｌＭＮ　ｌ，即（ｘ　、／ｌ＋　）（ｐ、／ｌ＋ｋ　）＝（ｘ＋ｐ）、／１＋ｋ　，将ｋ＝　代人得ｐ、／ｘ　＋ｙ２＝ｘ十ｐ，　整理得（ｐ‘一１）ｘ‘＋ｐ‘ｙ．一２ｐｙ－ｐ‘＝ｏ（ｘ＞０）．　（１）当０＜ｐ＜ｌ时，所求轨迹双曲线的右支．　（２）当ｐ＝ｌ时，所求轨迹是抛物线　在ｙ轴右侧部分．　（３）当ｐ＞ｌ时，所求轨迹是椭圆在　Ｙ轴右侧部分．　２　定义法　卜【　ｌ＼　五　／。　毛Ｍ　厶　ｒ　ｔｑ　Ｋ　：　当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲　线、抛物线等），我们可以根据定义写出动点的轨迹方程。　例２（１９９８年全国理）如图，直线１　和１　相交于点Ｍ，１　上１２，点　Ｎ∈ｌｌ＇以Ａ、Ｂ为端点的曲线段Ｃ上任一点到１　的距离与到点Ｎ　的距离相等．若△ＡＭＮ为锐角ｊ角形，ｌＡＭ　ｌ＝、／１７，ｌＡＮ　ｌ＝３，且　ｌＢＮ　Ｉ＝６，建立适当的坐标系，求曲线段ｃ的方程．　解：如图，以ｌ　为Ｘ轴，线段ＭＮ的垂直平分线为Ｙ轴，点Ｏ为　坐标原点，建立如图所示坐标系．　‘．‘曲线段Ｃ上任一点到ｌ　的距离与到点Ｎ的距离相等．　．‘．曲线段Ｃ是以点Ｎ为焦点，以１　为准线的抛物线的一段，　其中Ａ、Ｂ分别为Ｃ的端点，Ｃ的方程为：ｙ２＝２ｐｘ（１）＞０）（ｘ　ｘ　Ｘ。，　ｙ＝０）．　过Ａ、Ｂ分别作垂直于ｌ。、１　的线段，则　Ｐ＝ｌＭＦ　ｌ＋ｌＦＮ　Ｉ＝３＋￣／３ｚ一［（　）　一３　］＝４　叉ｌＯＦ　Ｉ＝『ＭＦ　Ｉ—ｌＭＯ　Ｉ＝３—２＝１，ｌＯＫ　ｌ＝ｌＭＫ　ｌ—ｌＭＦ　ｌ＝６．２＝４　故曲线段Ｃ的方程为ｙ２＝８ｘ（１＿＜ｘ　４，ｙ＞０１　３　代入法　代人法又称转移法或相关点法，若动点Ｐ（ｘ，ｙ）依赖于已知曲线　上的另一动点Ｑ（ｘ’，ｙ’）而运动，且可求出关系式Ｘ’＝ｆ（ｘ，ｙ），ｙ．＝ｇ（ｘ，ｙ）。　于是将这个点的坐标表达式代人已知曲线的方程　化简后即得Ｐ点　的轨迹方程　例３（２００５年辽宁高考题）　２　２　已知椭圆　＋　：１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别是Ｆｌ（一ｃ，０）、Ｆ２　ｂ　（ｃ，０），Ｑ是椭圆外的动点，满足点Ｐ是线段Ｆ，Ｑ与该椭圆的交点，　点Ｔ在线段Ｆ２Ｑ上，并且满足　・　＝０，Ｉ　ｌ≠０　（Ｉ）设ｘ为点Ｐ的横坐标，证明ｌＦ。Ｐ　Ｉ＝ａ＋　ｘ；　。‘　。　ａ　．　．　．　≯　ｉ　一　Ｏ）在轨迹上．　当ｌ　＿≠０且Ｉ帚　ｌ≠０时，由　・　＝０，得　上　又ｌ　Ｉ－Ｉ￣　Ｉ，所以Ｔ为线段Ｆ　Ｑ的中点．　设点Ｑ的坐标为（ｘ’，ｙ’），则　因此｛嵩　ｘ＝　ｙ＝晕　①　由｝Ｆ　１＝２ａ得（ｘ’＋ｃ）２＋ｙ’　ａ２．②　将①代人②，可得ｘ　＋ｙ２＝ａ　．　－口　．　１　．　ＩＩ　口　．　‘　综上所述，点Ｔ的轨迹ｃ的方程是ｘ２＋ｙ２＝ａ　（ＩＩＩ）解题过程略．　４　参数法　有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，　但易发现这个动点受到另一个变量的制约。则可取这样的变量为参　数，使动点的坐标与参数建立起函数关系式，然后消去参数可得到　所求的轨迹方程．这种方法叫参数法．要特别注意参数范围对动　点（ｘ，Ｙ）的范围限制．　例４（２００４年辽宁高考题）设椭圆方程为．过点的直线交椭圆　

立体几何中的轨迹问题

在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．

立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：

1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；

2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．

轨迹问题

【例1】 如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是 ( )

解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB

∴EG⊥AC

∴AC⊥平面EFG，

∵P∈FG，E∈平面EFG，

∴AC⊥PE．

另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PEAC；C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成π4角，显然不满足PEAC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC．

评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．

Geogebra辅助高中立体几何解题教学实践——以动点轨迹问题为例

发表时间：2020-12-31T11:25:00.940Z 来源：《中小学教育》2020年第26期 作者： 张茜茜

[导读] 立体几何中点动点轨迹问题主要考察学生的空间想象能力

张茜茜

黑龙江省牡丹江市第一高级中学

立体几何中点动点轨迹问题主要考察学生的空间想象能力，要求学生能构建出变化过程中的不变关系，并选用恰当的方法解答。在立体几何问题中，属于难度中等偏上的问题。

例1.如图，已知分别是棱长为1的正方体的棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（ ）

A.一条线段 B.一段圆弧 C.一个球面区域 D.两条平行线

图1

【课件制作】

（1）在3D绘图区绘制棱长为1的正方体，作图时将点放置在坐标原点，A点放置在轴上；

（2）在棱上任取一点，以为圆心为半径做球，球与棱的交点记为，则； （3）记的中点为

图2.课件1制作

【例题讲解】

方法一、几何法

讲解思路：先借助Geogebra观察点的运动轨迹，再用数学语言描述。 【Geogebra操作】：右键单击点选择“跟踪”——右键单击点选择“启动动画”——旋转视图从不同的角度观察。

图3 例1解析1 图 4 例1解析2

【问1】请同学们思考：运动的过程中有没有不变关系？线段的长度如何使用？

【分析】当运动时，（不与正方体定点重合时）始终为的斜边，为斜边上的中线，故。所以在以为球心，半径为的球面上。

图5 例1解析3

【问2】根据动态演示结果，轨迹应该是一条曲线，请同学们想一想，关于中点我们还有什么结论？

【分析】可以考虑过点构造中位线。当运动时，始终有，故始终在正方体的“中截面”内，如图所示。故点的运动轨迹是一段圆弧。 【Geogebra操作】：先按图执行指令，再拖动点观察线段的运动情况，验证始终在正方体的“中截面”内。

图6 软件操作

图7 例1解析4 图8 例1解析5方法二：坐标法

我们还可以通过求点的坐标满足的关系来判断，点的运动轨迹的形状。