农大数理统计课件 (1)

E ( Y ) E (Y 1 ) E (Y 2 ) E (Y n ) 0 D ( Y ) D (Y 1 ) D (Y 2 ) D (Y n ) n
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(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
n(n1 )(n2)!pk22qn2(k2)np
k2(k2)!(nk)!
n 2
n ( n 1 )p 2 C n k 2 2 p k 2 q n 2 (k 2 ) n p n ( n 1 )p 2 n p k 2 0
所以 V a r(X ) E (X 2 ) [E X ]2 n p q .
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(3)泊松分布P(λ)
分布列为： P(Xk)ke, k0,1,2, .
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0
1ln1 1 1ln21 222 2 2
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E(Y2) g2(x)fX(x)dx 12ln2 x1dx
0
1 l2 n 1 1 l1 n 1 l2 n 2 1 l2 n 2 2 22
D (Y ) E (Y 2) E 2(Y )
1 2ln 221ln 2 1 2ln 21 2 2
试 问 哪 一 个 人 的 射 击 水 平 较 高 ？
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例1（续） 解 ： 比 较 两 个 人 的 平 均 环 数 ．
甲的平均环数为
E X 8 0 . 3 9 0 . 2 1 0 0 . 5 9.2 环
乙的平均环数为

0.8 0.7 0.8 0.7 0.94 .
或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.94.
或者 P A B P AB A B AB
P AB P A B AB 0.94 .
A、B独立
概率的性质
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B独立 练习： B与 A独立
定理 以下四事件等价： (1) 事件A、B相互独立；
(2) 事件A、B相互独立；
(3) 事件A、B相互独立； (4) 事件A、B相互独立。
解：由题意
P( AB) P( AB)
A与B独立，则 A与B ；与B也独立 A
P( A) P(B) P( A) P(B)
P ( A)1 P ( B) 1 P ( A)P ( B)
1 P ( A) P ( B ) 3
练习 设两个相互独立的事件A与B都不发生的 概率为1/9， A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P(A)=( 2/3 )
解：由题意

P( AB) P( AB)
P ( A) P ( B)
上一题 结论
2
A与B独立，则 A与B 也独立
P( AB) P( A) P(B) 1 P( A)
2 P ( A) 3
例 设0<P(A)<1,则 A与B相互独立 P(B | A) P(B) P(B | A) P(B)
可见
P(A)= P(A|B)
, 即事件A、B独立.

P( A) = P(B) = P(C ) = 4 = 1 82
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1

]
为底边，作高为 fi xi'
频率直方图.
的矩形，xi' xi'1 xi' , i 1,2,, n 1 ,即得
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三、几个在统计中常用的概率分布
1、正态分布 N (m,s 2 )
密度函数： p(x)
1
( xm )2
e 2s 2 分布函数：F (x)
2p s
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
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4. F 分布 F（n1，n2） 若 X~ 2 （n1），Y~ 2 （n2），且相互独立，则随机变量
X
F n1 Y
n2
服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F~ F（n1，n2）.
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1、总体方差s 2 已知
用 u 检验，检验的拒绝域为
W {z u } 1 2
即 W {z u1 或z u1 }
2
2
2．总体方差s 2 未知
用样本方差s 2 代替总体方差s 2 ，这种检验叫 t 检验.
H0
H1
Ⅰ m m0 m m0 Ⅱ m m0 m m0 Ⅲ m m0 m m0
其中 m 为均值，s 2 为方差， x .
1
e dy x
( ym )2 2s 2
2ps
标准正态分布：N（0，1）
0.4
密度函数
j (x)