高中复合函数探究-

【才．ｍｌ　【教珐新探】　严守化学实验规程强化安全意识　

黑龙江宝清●赵强　化学实验前，教师应引导学生认真学习实验（或操作）的内容　要求，熟知有关药品的取用方法、用量、仪器的性能及使用方法、注　意事项等。强化安全意识，严守操作规程，可以预防意外伤害。　一、操作规范。谨防中毒　①取用药品，要先查清试剂标签，注意剧毒品的特别标记。　②所有试剂严禁口尝，严禁在实验室饮水、吃食物，吸烟，不　能用化学仪器作餐具，离开实验室要洗手、漱口。　③吸取液体试剂时，用吸尔球或胶头滴管，不能用嘴吸，切　勿将鼻靠近试剂瓶口。辨别气味时，应当用手在瓶口轻轻扇动　而闻之。　④取用或制取有毒物质时（如溴、硫化氢、砷化物、氮的氧化　物等），除在通风橱内进行外，还应带上防毒面罩、胶皮手套。　二、小心谨慎。防止失火、爆炸　远离火源或正确用火是防燃、防爆的基本原则。如已着火，及　时切断火源，选用正确的灭火手段，迅速隔绝空气，降温是灭火的　关键。具体操作应遵守以下几点：　（ｆ、开启使用易燃化学试剂时，首先要消灭火源，降低温度，不　准将瓶口对人。挥发性易燃物不能用明火加热，而用水浴加热。　’　②不可以向燃着的酒精灯内加酒精，不能用酒精灯点燃另一　只酒精灯，酒精灯不能吹灭。高温灼烧后的坩埚、燃烧匙等，应冷　却后再放回原处。　③突然起火，应迅速切断火源、电源，根据着火物质的性质，　选择最佳灭火方法。１）钠、钾、钙等活泼金属着火，不能用水、泡沫　灭火器灭火，而应用沙土灭火。２）溶或微溶于水的有机物（如醇、　醚、酮、酯等）少量着火，则应用泡沫灭火器或二氧化碳灭火。而苯　等芳香族化合物着火，最好用沙子灭火。３）蒸气有毒物质（如苯、　氯仿、硝基苯、苯胺、甲醇等）在灭火时除选用合适的灭火方式外，　还必须带上防毒面具、口罩等。　④规范、谨慎操作，防止爆炸。做实验时必须做到：１）点燃易　爆气体时必须检验纯度（如氢气、甲烷等），做爆鸣实验慎用玻璃　仪器。２）不得将氧化剂和还原剂放在一起研磨，不要用纸片称量　过氧化物；移动有爆炸性药品时，不得振动，不用磨口玻璃瓶盛爆　炸性药品。３）有爆炸性药品使用的残余部分，要当场销毁，不能随　便扔、放。　三、仔细认真。严防腐蚀　①取用或制取强酸、强碱、浓氨水、氢氟酸、溴水及其他强氧　化剂时，要戴上防护手套、眼镜、面罩。　②稀释浓硫酸时，要将浓硫酸慢慢加入水中并搅拌，中和浓　酸、浓碱时要先稀释。　③做有关浓酸、浓碱的加热实验时，眼睛要离开一定距离，防　止飞溅。　④移动具有腐蚀性药品时，要先做好自我保护，轻拿轻放。　

（黑龙江省宝清县五九七农场中学）　高中复合函数探究　

山东　胶州●赵培军　复合函数是高中数学的一个非常重要的概念，虽然在人教　Ａ、Ｂ版本（必修）中都没有涉及，但是在课本中却又出现了不少与　复合函数有关的问题，高考更是考查的热点和难点。结合自己平　时教学的实际，个人认为应该在学生学习必修１第二章《基本初　等函数Ｉ》后，给学生补充上复合函数的概念。　一、概念　（１）基本初等函数。高中课本主要指：一次函数、二次函数、反　比例函数、幂函数、指数函数、对数函数。　（２）复合函数的定义。一般来说，如果ｖ是ｕ的函数，而ｕ又　是ｘ的甬数，即ｙ＝　ｕ），ｕ＝ｇ（ｘ），那么Ｙ关于ｘ的函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）】叫作　由ｙ：ｆ（ｘ）及ｕ＝ｇ【ｘ）复合而成的复合函数。其中ｕ叫作中问变量，ｆ　称为外层函数，ｇ称为内层函数。例如：　ｘ）＝ｘ２＋２ｘ＋１，ｇ（ｘ）：３　，复合　函数ｔＩｇ（ｘ）ｌｆｌＯ把ｆ（ｘ）里的ｘ替换成ｇ（ｘ），所以ｆ【ｇ（ｘ）】：（ｇ（ｘ））　＋２ｇ（ｘ）＋１－　（３甲＋２・３　＋１。即外层函数里套着内层函数，通俗点说就是一个初　等函数（二次函数）里面套着另外一个初等函数（指数函数），但要　注意的是绝不是两个初等函数的相乘或相除。再如：ｙ＝ｌｏｇ２　（ｘ２＋４ｘ＋６）是由ｙ＝ｌｏｇ￣Ｕ，及ｕ：ｘ　＋４ｘ＋６复合而成的。在此，要让学生　分清两点：①该函数到底是不是复合函数。②函数到底是由哪两　个初等函数复合而成。这是以后学习选修部分求导的基础。　二、几类常见问题　（１）复合函数的定义域。函数的定义域是指函数的对应关系　中的原象的集合，即自变量ｘ的取值范围，在求复合函数的定义　回７８【２０１　３．７】　域时要注意定义域一定是求Ｘ的取值范围。例１：若函数ｙ＝ｆ（２ｘ）　的定义域是【一１，１］，则ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为——。解析：由一１　ｓ　ｘ曼１　一２曼２ｘｓ２，知ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域是【＿２，２１。很多资料都是从内　外层函数的角度去解析的，这适用于理解能力很好的学生。我认　为，把握好三点，就能解决这类“抽象函数定义域”问题：①定义域　一定是指ｘ的取值范围，②括号的范围是相同的，③此处的两个　Ｘ不是同一个。　（２）复合函数的解析式。例２：已知二次函数ｆ（ｘ）满足ｆ（２ｘ＋１）　

：４ｘ２＋４ｘ＋５，求　ｘ）。解析：本题可用待定系数法、拼凑法、换元法。　

其中换元法更具有一般性。令ｔ＝２ｘ＋１，则ｘ＝　．ｆ（Ｉ）：４・（　）　二　上　

２＋４・　＋５＝ｔ　＋４＇．．．　ｘ）＝ｘ２＋４，同时要注意定义域问题。　Ｚ　

（３）复合函数的值域。复合函数的值域与一般函数的值域求　

法基本一致，主要的思想是换元法，通过换元把不会的问题转化　为我们熟悉的求基本初等函数的值域问题，当然．此处还是要特　别注意定义域优先的原则和换元要求出新元（引进参数）的范围。　

例３：求函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ￣（８ｘ）・ｌｏｇ（Ｘ），ｘＥ【　，８］的值域。解析：ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２　＿ｒ　厶　

（８ｘ）‘ｌｏｇ（　ｘ）＝（１ｏｇ２ｘ＋３）・（１ｏｇ２ｘ－２）＝（１ｏｇ２ｘ）２＋ｌｏｇ＃－６，换元令ｔ＝ｌｏｇ＃，则　叶　ｔＥ卜１，４】，转化为二次函数ｙ＝ｔ２＋ｔ一６在闭区间【一１，４］求值域问题，易　

得ｙＥ卜竿，１４】，注意换元要求出新元的范围。例４：求函数ｙ＝（｝）　【教若新探】　【才・思】　《创建原理图元件》教学设计　

江苏昆山●任丽君　《电子线路辅助设计Ｐｒｏｔｅｌ　９９ＳＥ））课，是一门具有很强的技　术性、专业性、实践性和综合性的新兴学科。这要求教师不能继　续沿用传统死板的教学风格，必须对单调的讲授方式加以改进。　以《创建原理图元件》为例，笔者在教学过程中采用任务驱动等　教学方法，收到良好效果。　教材分析：本节课是高等职业学校电子信息类、电气控制类　专业规划教材《电子线路辅助设计Ｐｒｏｔｅｌ　９９ＳＥ））第三章第二节的　内容。这部分内容以实践操作为主，主要介绍了自制元件的流程　和方法，它是整个ＰＣＢ设计中最常遇到、最为基础的环节。　学情分析：中职电子专业二年级学生，在知识技能方面，经　过一年专业基础课程的学习，能看懂简单的原理图，焊接过印刷　电路板，并完成了无线电调试中级技能训练。因此，学生具备一　定的专业知识。在学习能力方面，多数学生都有操作经验，愿意　与老师、同学合作，有表现欲望，但大部分同学对理论指导不感　兴趣，更喜欢动手操作。　教学目标。①知识技能目标：了解创建原理图元件的基本流　程；能够正确放置元件管脚，并对管脚的相关属性进行设置；②　情感目标：培养学生的探究能力，引导学生自主学习；培养学生　的团队合作精神和对专业课的学习兴趣；③重点：制作原理图元　件的流程和相关操作方法；④难点：元件管脚的放置及相关属性　的修改。　教法学法：本节课运用到任务驱动法、直观演示法、互动教　学法、汇报展示法让学生在讨论中学习，在操作中熟练，在展示　中自我定位，进而达到预期的教学目标。　教学过程如下。　一、安排任务提出问题　给出任务原理图（图１）并对任务进行分析，指出元件ＩＣ１　在元件库中找不到，应该怎么做？【设计意图：应用任务驱动、情　景导人激发学生学习兴趣和求知欲】　—ｌ土ｃ　ｌ　Ｉ　１　ｗ　∞　∞　Ｘ　叫　璺．　∞　ｌ１　ｒ＇　ｒ　【　ｒ１　，ｒ　ｒ　Ｅ　专　．　—ｇ　∞　斑　哦舯　哪　嗽　ｕ　咖　帆　删　ａｌＩＩ．十　韩　Ｈ嘲．１　ｈ　ｌ　二、组织学生进行讨论　组织学生进行讨论，并根据学生情况进行启发，层层引入问　题。问题１：绘制原理图时遇到元件库中没有元件应该怎么办？　（自制元件）问题２：尝试说出一个元件符号一般由哪几部分组　成？ｆ设计意图：通过自主探究和思考，为第三环节要讲的内容做　铺垫，同时也培养学生的探究能力和团队合作能力。】　三、讲授新课直观演示　、　①讲授。知识点一：元件符号的一般组成；知识点二：创建原　理图元件的一般流程。②教师采用广播教学演示操作全过程，学　生在观看演示的同时对相关操作进行记录，完成学生工作任务　单以便在操作实践环节查阅；③总结操作时应注意的问题，以减　少学生出错概率。包括：元件位置、管脚的放置方向、元件管脚的　外形、元件管脚名的设置、及时保管。【设计意图：应用形象直观　的对比法告诉学生什么样的操作会导致什么样的错误，培养学　生科学正确的操作步骤和谨慎细心的工作态度来减少错误的发　生，增加学生的自信心。】　四、课程实践操作练习　教师安排学生进行课堂实践，完成教学任务，在学生完成任　务的过程中巡视观察，做技术支持，帮助有需要的同学解决问　题。【设计意图：让学生在操作过程中巩固本节所学新知识。】　五、作业展示总结交流　引导学生以小组的方式对自己和同学的作品进行客观评价　并对操作中遇到的问题进行总结、梳理。【设计意图：通过作业展　示帮助同学进行正确的自评和互评；总结交流帮助学生对所学　知识进行总结提高，同时也培养了学生的团队合作能力。】　六、布置作业拓展延伸　作业１：制作如图２所　示７段ＬＥＤ数码管（巩　固）。作业２：查阅相关资　料，思考如何制作集成电路　元件（拓展）。【设计意图：巩　固本项目所学知识、对项目　的内容进行拓展延伸、为下　个项目的学习做好准备。】　

（图２）　（江苏省昆山第一中等专业学校）　

ｘ＝＋２ｘ＋２的值域。解析：换元令ｔ＝Ｘ　＋２ｘ＋２：ｆｘ＋１）　＋１　１，转化为求指　数函数ｙ＝（　）’ｔ，ｔ　１值域问题，易得：ｙｅ（０，　１】，注意指数函数本　二　二　身值域范围（０，＋　ｏ　

（４）复合函数的单调性。关于复合函数的单调性，我们遵循同　增异减的原则，即：ｙ＝　ｕ）与ｕ＝ｇ（ｘ）增减性相同，则ｙ＝ｆ【ｇ（ｘ）】是增函　数，ｙ＝ｆ（ｕ）与ｕ＝ｇ（ｘ）增减性相反，则ｙ：｛Ｉｇ（ｘ）】是减函数。例５：求函数　ｙ＝ｌｏｇ．（４ｘ—ｘ２）的单调增区间。解析：首先求出函数的定义域　亍　．　４ｘ—ｘ　０ｊＯ＜ｘ＜４，函数由ｙ＝ｌｏｇ，ｕ及ｕ＝４ｘ—ｘ　复合而成，函数　

ｙ＝ｌｏｇ．Ｉ１在（０，＋。。）上单调递减，ｕ＝４ｘ＿ｘ２在（２，４）上单调递减，由复　｝　

合函数的单调性知：函数单调增区间为（２，４）。注意：函数的单调区　间是定义域的子集，判断完单调区间后应该与定义域求交集。　总之，高中数学《必修Ｉ》对复合函数的教学不能忽视，但是　也不能挖掘太深，主要掌握好如何分清内外层函数，比较简单的　定义域、解析式、值域、单调区间问题即可。这样。既能为后面选修　学习复合函数的求导打下良好的基础，又能深刻理解函数概念。