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第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(十二)新定义或新概念问题试题

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专题复习(十二) 新定义或新概念问题1．(2016·广州)定义新运算，a*b ＝a(1－b)，若a ，b 是方程x 2＋x ＋14m ＝0(m<0)的两根，则b*b －a*a 的值为(A )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关2．(2016·安庆二模)定义：经过原点的抛物线y ＝a(x ＋m)2＋n(a<0)与x 轴交于点A ，顶点为P ，当△OAP 为等腰直角三角形时，称抛物线y ＝a(x ＋m)2＋n(a<0)为“正抛线”．则下列关于正抛线的描述中，正确的是(A ) A ．an ＝－1 B ．m ＋n ＝0 C ．m ＝n D ．mn ＝a －23．(2016·岳阳)对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b}＝b ；如：max{4，－2}＝4，m ax{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是(B ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．44．(2016·合肥六大名校押题卷)定义运算：x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1＋y ）（x≥y），y （1－x ）（x<y ），则(x －1)⊗2＝⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）x≥32（2－x ）x<3．5．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a ，b)，N(c ，d)，规定(a ，b )⊕(c，d)＝(a ＋c ，b ＋d)，则称点Q(a＋c ，b ＋d)为M ，N 的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C 的坐标是(1，8)．6．(2016·马鞍山二模)对于任意非零实数a ，b ，定义运算“⊕”，使下列式子成立： 1⊕2 ＝－32，2⊕1 ＝32，(－2)⊕5 ＝2110，5⊕(－2) ＝－2110，…，则a⊕b＝ a 2－b2ab.7．(2016· 株洲)已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点(Fermat point )，已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P 就是△ABC 的费马点，如图，若点P 是腰长为2的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF 1. 8．(2016·宿州灵璧县一模)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A ，B ，C ，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆直径，半圆圆心M(1，0)，半径为2，则经过点D 的“蛋圆”的切线的解析式为y ＝－2x －3.提示：根据圆心坐标及圆的半径，结合图形，可得点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，利用待定系数法确定抛物线解析式，因为经过点D 的“蛋圆”切线过D 点，所以本题可设它的解析式为y ＝kx －3，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．9．(2016·淮北濉溪县三模)若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3＝22－12，7＝42－32，8＝32－12，因此3，7，8都是“智慧数”． (1)18不是“智慧数”，2 017是“智慧数”(填“是”或“不是”)； (2)除1外的正奇数一定是“智慧数”吗？说明理由．解：(1)提示：2 017＝1 0092－1 0082.(2)除1外的所有正奇数一定是“智慧数”．理由：设这个奇数为2n ＋1(n 为正整数)，2n ＋1＝(n ＋1)2－n 2，所以除1外，所有正奇数一定是“智慧数”．10．(2016·芜湖繁昌县一模)定义一种新运算：观察下列式子：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4－1＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4－3＝13. (1)请你想一想：a⊙b＝4a ＋b ；(2)若a≠b，则a⊙b≠b ⊙a(填入“＝”或“≠”) (3)若a⊙(－2b)＝4，请计算 (a －b)⊙(2a＋b)的值． 解：∵a⊙(－2b)＝4a －2b ＝4， ∴2a －b ＝2. (a －b)⊙(2a＋b) ＝4(a －b)＋(2a ＋b) ＝4a －4b ＋2a ＋b ＝6a －3b ＝3(2a －b) ＝3×2 ＝6.11．(2016·阜阳陈梦中学二模)设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为(a ，b)，(c ，d)，当a ＝－c ，b ＝2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝mx 2＋nx 和二次函数y 2＝nx 2＋mx ，函数y 1＋y 2恰好y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，求m 与n 的关系．解：(1)二次函数y ＝x 2＋x ＋1的图象顶点为(－12，34)．∴y ＝x 2＋x ＋1的“反倍顶二次函数”的顶点(12，32)．则y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”为y ＝(x －12)2＋32，即y ＝x 2－x ＋74.(答案不唯一，满足y ＝a(x －12)2＋32，a>0即可)(2)由题意，得y 1＋y 2＝mx 2＋nx ＋nx 2＋mx ＝(m ＋n)x 2＋(m ＋n)x ，y 1－y 2＝mx 2＋nx －nx 2－mx ＝(m －n)x 2＋(n －m)x. 函数y 1＋y 2是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”， ∴－（m ＋n ）24（m ＋n ）＝（m －n ）22（m －n ）.12．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝2x 2－4mx ＋2m 2＋1和y 2＝ax 2＋bx ＋5，其中y 1的图象经过点A(1，1)，若y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y 2的最大值．解：(1)设顶点为(h ，k)的二次函数的关系式为y ＝a(x －h)2＋k ，当a ＝2，h ＝3，k ＝4时，二次函数的关系式为y ＝2(x －3)2＋4. ∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a ＝3，h ＝3，k ＝4时，二次函数的关系式为y ＝3(x －3)2＋4. ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵y ＝2(x －3)2＋4与y ＝3(x －3)2＋4顶点相同，开口都向上，∴y ＝2(x －3)2＋4与y ＝3(x －3)2＋4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以：y ＝2(x －3)2＋4与y ＝3(x －3)2＋4. (2)∵y 1的图象经过点A(1，1)，∴2×12－4·m·1＋2m 2＋1＝1.解得m 1＝m 2＝1.∴y 1＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1.∴y 1＋y 2＝2x 2－4x ＋3＋ax 2＋bx ＋5＝(a ＋2)x 2＋(b －4)x ＋8. ∵y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴y 1＋y 2＝(a ＋2)(x －1)2＋1＝(a ＋2)x 2－2(a ＋2)x ＋(a ＋2)＋1. 其中a ＋2＞0，即a ＞－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4＝－2（a ＋2），8＝（a ＋2）＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10. ∴函数y 2的表达式为y 2＝5x 2－10x ＋5.∴y 2＝5x 2－10x ＋5＝5(x －1)2. ∴函数y 2的图象的对称轴为x ＝1. ∵5＞0，∴函数y 2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y 2的图象开口向上， ∴y 2随x 的增大而减小．∴当x ＝0时，y 2取最大值，最大值为5×(0－1)2＝5； ②当1≤x≤3时，∵函数y 2的图象开口向上，∴y 2随x 的增大而增大．∴当x ＝3时，y 2取最大值，最大值为5×(3－1)2＝20. 综上所述：当0≤x≤3时，y 2的最大值为20.13．(2016·宿州濉溪县三模)如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt △ABC 和Rt △BED 边长，易知AE ＝2c ，这时我们把关于x 的形如y ＝ax 2＋2cx ＋b 的二次函数称为“勾系二次函数”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系二次函数”；(2)试说明关于x 的“勾系二次函数”y＝ax 2＋2cx ＋b 的图象与x 轴必有交点；(3)若x ＝－1是“勾系二次函数”ax 2＋2cx ＋b ＝0的一个根，且四边形ACDE 的周长是62，求△ABC 面积．解：(1)当a ＝3，b ＝4，c ＝5时，“勾系二次函数”为y ＝3x 2＋52x ＋4.(答案不唯一)(2)y ＝ax 2＋2cx ＋b 的图象与x 轴．理由如下：根据题意，得Δ＝(2c)2－4ab ＝2c 2－4ab. ∵a 2＋b 2＝c 2，∴2c 2－4ab ＝2(a 2＋b 2)－4ab ＝2(a －b)2≥0，即Δ≥0. ∴勾系二次函数y ＝ax 2＋2cx ＋b 的图象与x 轴必有交点． (3)当x ＝－1时，有a －2c ＋b ＝0，即a ＋b ＝2c.∵四边形ACDE 的周长为2a ＋2b ＋2c ＝62，即2(a ＋b)＋2c ＝62， ∴32c ＝62，解得c ＝2. ∴a 2＋b 2＝c 2＝4，a ＋b ＝2 2.∵(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ，∴ab ＝2. ∴S △ABC ＝12ab ＝1.14．(2016·舟山)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”． (1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC.AD，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC ，BD.试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展：如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)，得到Rt △AB ′D ′(如图3)，当凸四边形AD′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．图1 图2解：(1)矩形或正方形等(只要写出一个)． (2)AC ＝B D ，理由： 连接PD ，PC.∵PE 是AD 的中垂线，PF 是BC 的中垂线， ∴PA ＝PD ，PC ＝PB.∴∠PAD ＝∠PDA，∠PBC ＝∠PCB. ∴∠DPB ＝2∠PAD，∠APC ＝2∠PBC. ∵∠PAD ＝∠PBC，∴∠APC ＝∠DPB. ∴△APC≌△DPB (SAS )．∴AC＝BD.(3)(Ⅰ)如图2，当∠AD′B＝∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E. ∴∠ED ′B ＝∠EBD′. ∴EB ＝ED′. 设EB ＝ED′＝x.由勾股定理可得AC ＝AD ＝AD′＝4.∵在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2. ∴42＋(3＋x)2＝(4＋x)2，解得x ＝4.5 过点D′作D′F⊥CE 于点F ，∴D ′F ∥AC.图3∴△ED′F∽△EAC.∴D′F AC ＝ED′AE ，即D′F 4＝ 4.54＋5.5，解得D′F＝3517.∴S △ACE ＝12AC·EC＝12×4×(3＋4.5)＝15.S △ED ′B ＝12BE·D′F＝12×4.5×3617＝8117.∴S 四边形ACBD′＝S △ACE －S ED ′B ＝15－8117＝10417.(Ⅱ)如图3，当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC 于E ，∴四边形ECBD′是矩形．∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，AE 2＋ED′2＝AD′2.∴AE ＝42－32＝7，∴S △AED ′＝12AE·ED′＝12×7×3＝372，S 矩形ECBD′＝CE ·CB＝(4－7)×3＝12－37.∴S △四边形ACBD′＝S △AED ′＋S 矩形ECBD′＝372＋12－37＝12－372.。

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中考数学八大题型集训：专题复习(2)新定义运算

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专题复习(二) 新定义运算、新概念问题新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．观察下表：式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)抓住x、y的排列规律；x在第n格是按(n＋1)排，每排是(n＋1)个x来排列的；y在第n格是按n排，每排是n个y来排列的，根据这个规律即可得解；(2)①按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出x、y的值；②求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n格的“特征多项式”，求出了x、y的值，所以可以建立最小值关于n的二次函数，根据二次函数的最小值性质便可求得．【解答】 (1)16x ＋9y 25x ＋16y (n ＋1)2x ＋n 2y(n 为正整数)(2)①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝－10，9x ＋4y ＝－16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－247，y ＝267.②设最小值为W ，依题意得： W ＝(n ＋1)2x ＋n 2y ＝－247(n ＋1)2＋267n 2＝27n 2－487n －247＝27(n －12)2－3127. 即有最小值为－3127，相应的n 的值为12.这类题首先要读懂题目中的新概念或定义，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点．1．已知m ＝x ＋1，n ＝－x ＋2，若规定y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m －n （m≥n），1－m ＋n （m ＜n ），则y 的最小值为()A ．0B ．1C ．－1D ．22．在平面直角坐标系中，任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)规定运算：①A ○+B ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；②A ○⨯B ＝x 1x 2＋y 1y 2；③当x 1＝x 2且y 1＝y 2时，A ＝B. 有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则A ○+B ＝(3，1)，A ○⨯B ＝0； (2)若A ○+B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (3)若A ○⨯B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (4)对任意点A 、B 、C ，均有(A ○+B)○+C ＝A ○+(B ○+C)成立． 其中正确命题的个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对于实数a 、b ，定义一种运算“○⨯”为：a ○⨯b ＝a 2＋ab －2，有下列命题： ①1○⨯3＝2； ②方程x ○⨯1＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1； ③不等式组⎩⎨⎧<-⊗<-⊗-031,04)2(x x 的解集为－1＜x ＜4；④点(12，52)在函数y ＝x ○⨯(－1)的图象上． 其中正确的是()A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④4．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m※n＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)和Q(x ，y ′)，给出如下定义：若y′＝⎩⎪⎨⎪⎧y （x≥0），－y （x ＜0）， 则称点Q 为点P 的“可控变点”． 例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．(1)若点(－1，－2)是一次函数y ＝x ＋3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为________；(2)若点P 在函数y ＝－x 2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是－16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是________．6．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx ·cosy ＋cosx ·siny.据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24； ③sin2x ＝2sinx ·cosx ；④sin(x －y)＝sinx ·cosy －cosx ·siny.7．对于平面直角坐标系中任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，称|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为P 1、P 2两点的直角距离，记作：d(P 1，P 2)．若P 0(x 0，y 0)是一定点，Q(x ，y)是直线y ＝kx ＋b 上的一动点，称d(P 0，Q)的最小值为P 0到直线y ＝kx ＋b 的直角距离．令P 0(2，－3)．O 为坐标原点．则：(1)d(O ，P 0)＝________；(2)若P(a ，－3)到直线y ＝x ＋1的直角距离为6，则a ＝________．8．已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为____________．9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数时，若n －12≤x<n ＋12，则<x>＝n ，如<0.46>＝0，<3.67>＝4，给出下列关于<x>的结论：①<1.493>＝1；②<2x>＝2<x>；③若<12x －1>＝4，则实数x 的取值范围是9≤x<11；④当x≥0，m 为非负整数时，有<m ＋2 013x>＝m ＋<2 013x>；⑤<x＋y>＝<x>＋<y>.其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．10．若正整数n 使得在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．11．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n)＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0；③若点(p ，q)在反比例函数y ＝2x 的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t ，s)，N(4－t ，s)都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54.参考答案1．B 2.C 3.C 4.4≤a＜5 5.(1)(－1，2) (2)0≤a≤4 2 6.②③④7．(1)5 (2)2或－10 8.y ＝x 2－2x －3 9.①③④ 10.711 11.②③。

中考二轮专题复习：第12课时 阅读理解型问题

中考二轮专题复习：第12课时 阅读理解型问题

ABP 1 P 2 P 3 P 4第一部分阅读理解型问题解部分一、专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、考点精讲考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题（2011连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P1，P2三等分边AB ，R1，R2三等分边AC ．经探究知2121R R P P S 四边形＝13S △ABC ，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q1，Q2三等分边DC ．请探究2211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB ，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC ．若 S 四边形ABCD ＝1，求3322P Q Q P S 四边形．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB ，Q1，Q2，Q3四等分边DC ，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．A B C图1 P 1 P 2 R 2R 1 A B C 图2 P 1 P 2 R 2 R 1 D Q 1 Q 2 AP 1 P 2 P 3B【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。

中考数学必刷热点专题2：新概念题型的解题方法策略

中考数学必刷热点专题2：新概念题型的解题方法策略

中考数学专题二：新概念题型解题方法考点一：规律题型中的新概念例1 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应考点二：运算题型中的新概念2．若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）= ．考点三：探索题型中的新概念例3 如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB= °；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．对应训练3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念例4 （•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念：若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．考点五：阅读材料题型中的新概念 例5 （•常州）平面上有两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O 的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD 上，且到直线AB 的距离为p （p ＞0）的点的“距离坐标”为（p ，0）；在直线AB 上，且到直线CD 的距离为q （q ＞0）的点的“距离坐标”为（0，q ）；（3）到直线AB 、CD 的距离分别为p ，q （p ＞0，q ＞0）的点的“距离坐标”为（p ，q ）．设M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m ，n ），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①满足m=1，且n=0的点M 的集合；②满足m=n 的点M 的集合；（2）若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上，求m 与n 所满足的关系式．（说明：图中OI 长为一个单位长）对应训练5．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；②g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）．按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（）A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）中考真题演练1．概念：f （a ，b ）=（b ，a ），g （m ，n ）=（-m ，-n ）．例如f （2，3）=（3，2），g （-1，-4）=（1，4）．则g[f （-5，6）]等于（ ）A ．（-6，5）B ．（-5，-6）C ．（6，-5）D ．（-5，6）2．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若A ．5B ．6C ．7D ．8 点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．B ．C ．D ．20164．规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为 ． 5．概念：平面内的直线与相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线、的距离分别为a 、b ，则称有序非实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．36．新概念：[a ，b]为一次函数y=ax+b （a ≠0，a ，b 为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次1l 2l 1l 2l8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．BPBA1413．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．12（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．15．概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．。

2013年中考数学复习专题讲座二：新概念型问题(含答案)

2013年中考数学复习专题讲座二：新概念型问题(含答案)

2013年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-8=0，即4x=8，解得：x=2． 故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 对应训练2．（2012•株洲）若（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2，则（4，5）•（6，8）= ． 考点三：探索题型中的新概念例3 （2012•南京）如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角． （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角， ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= °；②若⊙O 的半径是1，AB=，求∠APB 的度数； （2）已知O 2是⊙O1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解； ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P 在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为四种情况得到∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系． 解：（1）①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB=90． ②如图，连接AB 、OA 、OB ． 在△AOB 中， ∵OA=OB=1．AB=，∴OA 2+OB 2=AB 2． ∴∠AOB=90°． 当点P 在优弧上时，∠AP 1B=∠AOB=45°；当点P 在劣弧上时，∠AP 2B=（360°﹣∠AOB ）=135°…6分（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为以下四种情况． 第一种情况：点P 在⊙O2外，且点A 在点P 与点M 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图① ∵∠MAN=∠APB+∠ANB ， ∴∠APB=∠MAN ﹣∠ANB ；第二种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点N 在点P 与点B 之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB ）， ∴∠APB=∠MAN+∠ANB ﹣180°；第三种情况：点P 在⊙O 2外，且点M 在点P 与点A 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图③． ∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°， ∴∠APB=180°﹣∠MAN ﹣∠ANB ， 第四种情况：点P 在⊙O 2内，如图④， ∠APB=∠MAN+∠ANB ．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练 3．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线y=-x 2+bx （b ＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线y=-x 2+b′x （b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念四、中考真题演练一、选择题1．（2012•六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键． 3． （2012•丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．2010B ．2012C ．2014D ．2016二、填空题4．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为 ．5．（2012•随州）概念：平面内的直线1l 与2l 相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ）三、解答题2．64解：∵（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2， ∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64， 故答案为64．一、选择题 1．A 2．B ．3． D解：∵3，6，9，12，…称为三角形数， ∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数， ∵2010÷12=167…6， 2012÷12=167…8， 2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数． 故选D ． 二、填空题 4．4 解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1， ∴4＜+1＜5， ∴[+1]=4， 故答案为：4． 5．C解：如图所示，所求的点有4个，三、解答题，，（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，2013年中考数学复习专题讲座三：开放性问题四、中考真题演练一、选择题1.考点：绝对值。