高三复习函数的零点部分高考试题汇编.doc

十年高考数学分类汇编 _02 函数江苏高考数学 _函数 _十年汇编（ 2005-2017 ）一．基础题组1. 【 2005 江苏，理 2】函数y 1 x3( x R) 的反函数的解 析表达式为（）2+（ A ）ylog2 x2（ B ） ylog 2 x 332（ C ） y3 x （ D ） ylog 22 log 223 x2. 【 2005 江 苏 ， 理15 】 函 数 ylog 0.5 (4x 23x) 的 定 义 域为 .3. 【 2005 江苏，理 aa ∈ k, k 1 , k ∈ ，则 k = .16】若 3 =0.618, Z 4.【2005江 苏 ， 理17 】 已 知a b为 常 数 ， 若, f ( x) x 24x 3, f (ax b)x 2 10 x 24, 则 5a b.5.【 2007 江苏，理 6】设函数 f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线 x=1 对称，且当 x ≥1时， f （ x ）＝ 3x -1 ，则有（ ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2 ）B. f （ 2 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 3323C. f （ 2）＜ f （ 1）＜ f （ 3）D.f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）3 3 2 2 3 36. 【 2007江苏，理 】设 f （ x ） =l g （ 2 a ）是奇函数，则使 f （ x ）＜ 0 8 1 x的 x 的取值范围是（） A. （-1 ， 0） B. （0，1）C.（ - ∞， 0）D.（ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）7. 【 2007 江苏，理 16】某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm ，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 . 将 A 、B 两 点间的距离 d （cm ）表示成 t （s ）的函数，则 d= __________，其中 t ∈0， 60].8. 【 2009 江苏，理 10】. 已知 a5 1 ，函数 f ( x) a x ，若实数 m 、 n 满足2f (m)f ( n) ，则 m 、 n 的大小关系为 ▲ .9. 【 2010 江苏，理 5】设函数 f ( x) ＝x(e x＋ ae －x )( x ∈R) 是偶函数，则实数 a 的值为 __________．10. 【2011 江苏，理 2】函数 f ( x) log 5 (2x 1) 的单调增区间是.11. 【2011 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f x2的图象交于 P, Q 两点，则线段 PQ 长的最小值为.x12. 【 2011 江苏，理 11 】已知实数 a0 ，函数 2x a, x1f (x)2a, x，若x 1f (1 a) f (1 a) ，则 a 的值为.13. 【2012 江苏，理 5】函数 f (x)1 2log 6 x 的定义域为 __________．14. 【2012 江苏，理 10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间－ 1,1]上， f x ax 1, 1x0, a ， b ∈ 13 ＝其中 R. 若 ，则 ＋ 的值为bx2 ,0x1,22x 1__________．15. 【2014 江苏，理 10】已知函数 f ( x) x 2 mx 1，若对于任意的 xm,m 1都有 f ( x)0 ，则实数 m 的取值范围为.16. 【 2016 年高考江苏卷】函数 y= 3 - 2x - x 2 的定义域是.17.【2016 年高考江苏卷】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)x a, 1 x 0,R. 若 f ( 5) f ( 9) ，则 f (5a) 的值是上， f ( x)2其中 ax ,0 x 1,225▲ .二．能力题组1. 【2010 江苏，理 14】将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪2成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)，则 S 的最小值是 __________．梯形的面积2. 【 2012 江苏，理 17】如图，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面， 单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨 迹在方程 y ＝kx － 1(1 ＋k 2) x 2( k ＞0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关． 炮20的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013 江苏，理 13】在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A a ，a ，P 是函数1 ()y( xx＞ 0) 图象上一动点．若点 P ，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 __________．4. 【2014 江苏，理 13】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0,3 时， f ( x) x22x1，若函数 y f (x)a 在区间 3,4 上有 10个零点（互不2相同），则实数 a 的取值范围是.5. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f (x) | ln x |， g (x)0,0 x 14 | ，则方| x 22, x 1程 | f ( x) g (x) | 1实根的个数为三．拔高题组1. 【 2005 江苏，理 22】已知 a R, 函数 f (x) x 2 x a .a =2 时，求使 f （ x ）＝ x 成立的 x 的集合；（Ⅰ）当（Ⅱ）求函数 y ＝f ( x) 在区间 1,2] 上的最小值 .2. 【 2006 江苏，理 20】设 a 为实数，设函数f (x) a 1x 2 1x 1x 的最大值为 g( a).（Ⅰ）设 t ＝ 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函数m( t )（Ⅱ）求 g( a)（Ⅲ）试求满足 g( a) g ( 1) 的所有实数 aa3. 【2007 江苏，理 21】已知 a ，b ，c ，d 是不全为零的实数， 函数 f （x ）=bx 2 +cx+d ，g（x ）=ax 2+bx 2 +cx +d. 方程 f （ x ） =0 有实数根，且 f （x ）=0 的实数根都是 g （f（ x ））=0 的根；反之， g （ f （ x ））=0 的实数根都是 f （x ）=0 的根 . （ 1）求 d 的值；（3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=l ，f （1）=0，求 c 的取值范围 . （7 分）4. 【 2008 江苏，理 20】已知函数 f1( x) 3x p1， f2 (x) 2 3x p2（x R, p1, p2为常数）．函数 f (x)定义为：对每个给定的实数 x ，f 1 ( x ), 若 f 1 ( x ) f 2 ( x )f ( x )f 2 ( x )f 2 ( x ), 若 f1 ( x )（ 1）求f ( x) f1( x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1, p2表示）；（ 2）设a,b是两个实数，满足 a b ，且p1, p2(a,b) ．若f (a) f (b)，求证：函数f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为b a（闭区间 [m, n] 的长度定义2为 n m ）5.【2009 江苏，理 19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m；如果他买进该m a产品的单价为 n 元，则他的满意度为n. 如果一个人对两种交易( 卖出或买进 )n a的满意度分别为 h1和 h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为m A元和m B元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙(1)求 h甲和 h乙关于m A、m B的表达式；当m A5m B时，求证：h3甲 = h乙；(2)设 m 3m ，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？A5 B最大的综合满意度为多少？(3)记 (2)中最大的综合满意度为 h0，试问能否适当选取 m A、 m B的值，使得h甲h0和 h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.6.【2009江苏，理20】设a为实数，函数 f (x) 2x2( x a) | x a |.(1)若 f (0) 1，求a的取值范围；(2)求 f (x) 的最小值；(3) 设函数h(x) f (x), x (a,) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式．．．．h( x) 1的解集.7.【2016 年高考江苏卷】（本小题满分 16 分）已知函数 f (x) a x b x( a 0,b 0, a 1,b1) .a 2,b1（ 1）设 2 .①求方程f (x)=2 的根；②若对任意xR ，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数 m的最大值；（ 2）若 0 a1,b＞1，函数g x f x 2 有且只有1个零点，求ab的值.2017-14．（ 5 分）（2017?江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（ x） =，其中集合D={ x| x=，n∈N*}，则方程f （ x）﹣ lgx=0 的解的个数是．2017-20．（ 16 分）（2017?江苏）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1（ a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（ x）的极值点是 f （x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b2＞3a；（ 3）若 f（ x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．答案一．基础题组1. 【 2005 江苏，理 2】函数y 1 x3( x R) 的反函数的解析表达式为（ ）2+（ A ） y log 22（ B ） y x 33log 22x（ C ） y3 x （ ） y log 2 2log 22Dx32. 【 2005江 苏 ， 理15 】 函 数 ylog 0.5 (4x 23x) 的 定 义 域为.【答案】 [1,0) ( 3,1]44由题意得：log 0..5 (4x 23x) 0则由对数函数性质得：0 4x 23x10 4 x 2 3x[1,0) (3,1] 即 4x 23x1, 求得函数的定义域为：44 .3. 【2005 江苏，理】若 aa ∈k, k 1 ,k ∈ ，则 k=.163 =0.618,Z【答案】 k1.如图观察分析指数函数 y=3x 的图象，函数值为 0.168[ 1,0) 上，与 3a =0.168,a [ k, k 1)比较得 : k1.4.【 2005 江 苏 ， 理17 】 已 知 a, b为 常 数 ， 若f ( x)x 2 4x 3, f (axb) x 210 x 24, 则 5a b.【答案】 2由 f(x)=x 2+4x+3, f(ax+b)=x 2+10x+24,得：（ ax+b ）2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24, 即： a 2x 2 +2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,a 2 1比较系数得 ： 2ab 4a 10b 24b 3 24【 求得：a=-1,b=-7, 或 a=1,b=3 ，则 5a-b=2.x5. 2007 江苏，理 】设函数 f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线=16对称，且当 x ≥1时， f （ x ）＝ 3x -1 ，则有（ ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2 ）B. f （ 2 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 33 23C. f （ 2 ）＜ f （ 1）＜ f （ 3 ）D.f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）3 3 2 2 3 3【答案】 B6. 【 2007 江苏，理8】设 f （ x ）=l g （2a ）是奇函数，则使 f （ x ）＜ 0的 x 的取值范围是（ 1 x）A. （-1 ， 0）B. （0，1）C.（ - ∞， 0）D.（ - ∞， 0）∪（ 1，+∞）【答案】 A7.【 2007 江苏，理 16】某时钟的秒针端点 A 到中心点 O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 t =0 时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合 . 将 A、B 两点间的距离 d（cm）表示成 t （s）的函数，则 d= __________，其中 t ∈0， 60]. 【答案】 10sin t608.【2009江苏，理10】. 已知a 5 1，函数 f ( x) a x，若实数m、n满足2f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小关系为▲.9.【 2010 江苏，理 5】设函数 f ( x) ＝x(e x＋ ae－x)( x∈R) 是偶函数，则实数 a 的值为 __________．【答案】－ 1∵函数 f ( x) ＝x(e x＋ae－x) ，x∈R 是偶函数，x－ x∴设 g( x) ＝ e ＋ ae，x∈R.由题意知g( x) 应为奇函数 ( 奇函数×奇函数＝偶函数) ，又∵ x∈R，∴ g(0) ＝0，则 1＋ a＝ 0，∴ a＝－ 1.10.【2011江苏，理2】函数f ( x)log 5 (2x 1) 的单调增区间是.1,【答案】211,由 2x 10 ，得x22，所以函数的单调增区间是.11.【2011 江苏，理 8】在平面直角坐标系 xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f x2 的图象交于P, Q两点，则线段PQ长的最小值为.x12. 【 2011 江苏，理 11】已知实数 a2x a, x10 ，函数 f (x)2a, x，若x 1f (1 a) f (1a) ，则 a 的值为.3【答案】 4本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是 A 级要求， 中档题 . 由题意得，a3当 a 0 时，1 a 1,1a1 ， 2(1 a)a(1 a) 2a 2，不合，解之得3舍去；当a 0时，1 a1,1 a 1， 2(1 a) a (1 a) 2a ，解之得a4 .本题只要根据题意对 a分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错 . 要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识 .13. 【2012 江苏，理 5】函数 f (x)1 2log 6 x 的定义域为 __________．【答案】 (0 ， 6]要使函数 f (x)1 2log 6 x有意义，则需1，2log 6 x 0x ，解得 0＜x ≤ 6 ，故 f(x) 的定义域为 (0 ， 6] . 014. 【2012 江苏，理 10】设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间－ 1,1]ax 1, 1x0,13上， f ( x) ＝其中 a ， b ∈R. 若＋ 3 的值为f ( ) f ( ) ，则bx2 ,0x1,2 2a bx 1__________．15. 【2014 江苏，理 10】已知函数f ( x)x2mx1，若对于任意的x m,m 1都有 f ( x)0 ，则实数 m 的取值范围为.【答案】 (2 ,0) 2f ( m) m2m2 10,解得2据题意(m 1)2m(m 1)1m 0 ．f ( m 1)0,216. 【 2016 年高考江苏卷】函数 y= 3 -2x - x2的定义域是.【答案】3,1试题分析：要使函数式有意义，必有 3 2x x20 ，即 x2 2 x 30 ，解得3 x 1．故答案应填：3,1【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路 . 列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起 .17.【2016 年高考江苏卷】设f ( x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)x a, 1 x 0,R. 若f (5) f (9) ，则 f (5a)的值是上， f ( x)2其中 ax ,0 x 1,22 5▲ .二．能力题组1. 【2010 江苏，理 14】将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪2成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)，则 S 的最小值是 __________．梯形的面积32 3【答案】 3设剪成的上一块正三角形的边长为x.－ x) 243 － x) 2则 S ＝(3(3(0 ＜ x ＜ 1) ，3 － x 23 － 3 x 2144S ′＝43 － 6x 2 －－ 20x 63 2 ) 2(1 x ＝－ 4 3 － 6x 2 － 6 ，－ 20x3 x 2 ) 2(1令 S ′＝ ，得 x ＝ 1或 3(舍去 ．0 3 )x ＝ 1是 S 的极小值点且是最小值点 ．3tanC tan C sin C cos S sin C cos B sin C (sin B cos A cos B sin A)tan Atan B sin A cosCsin B cosCsin A sin B cosC∴ S min ＝4－123 . 3 (3 3)323 － 1 31 917】如图，建立平面直角坐标系 xOy ， x 轴在地平面上， y 2. 【 2012 江苏，理轴垂直于地平面， 单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点． 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ＝kx － 1(1 ＋k 2) x 2( k ＞0) 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关． 炮20的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物 ( 忽略其大小 ) ，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3. 【2013 江苏，理 13】在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A( a ，a) ，P 是函数 y1( x ＞0) 图象上一动点．若点 P ，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的x实数 a 的所有值为 __________．4. 【2014 江苏，理 13】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0,3时， f ( x) x 22x1，若函数 yf (x) a 在区间 3,4 上有 10 个零点（互不2相同），则实数 a 的取值范围是. 【答案】 (0, 1)2作 出函 数 f (x)x22x1, x [0,3) 的 图象 ， 可 见 f (0)1 ，当 x 1 时，22f ( x)极大 1 ， f (3)7，方程 f (x)a0 在 x [ 3,4] 上有10 个零点，即函数22y f ( x) 和图象与直线 y a 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，由于函数 f (x) 的周期为 3，因此直线 y a 与函数 f (x) x22x1, x [0,3) 的应该是4 个交点，则有21a (0, ) ．5. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f (x) | ln x |， g (x)0,0 x 1 ，则方| x 2 4 | 2, x 1程 | f ( x) g (x) | 1实根的个数为十年高考数学分类汇编_02 函数三．拔高题组1. 【 2005 江苏，理 22】已知a R,函数 f (x)x2 x a .a时，求使 f （ x）＝ x 成立的 x 的集合；（Ⅰ）当=2（Ⅱ）求函数 y＝f( x) 在区间 1,2]上的最小值 .1a,当 a1时 ;0,当1 a2时; m4(a 2),当 2 a 7时 ; 3【答案】（Ⅰ）{0,12}. （Ⅱ）a1,当 a7时;3( Ⅰ) 由题意 ,f(x)=x2x 2.当 x<2 时 ,f(x)=x2(2-x)=x,解得 x=0, 或 x=1;当 x 2时 , f ( x) x2( x 2)x, 解得 x 1 2.综上所述 , 所求解集为{0,12}. .( Ⅱ) 设此最小值为 m.①当 a 1时，在区间 [1，2]上，f(x)x3ax2 .f / (x) 3x22ax3x( x 2a)0, x(1,2),因为 :3则 f(x)是区间 1,2]上的增函数 , 所以 m=f(1)=1-a..十年高考数学分类汇编_02 函数2. 【 2006 江苏，理 20】设 a 为实数，设函数f (x) a 1x 2 1x 1x 的最大值为 g( a).（Ⅰ）设 t ＝ 1x1 x ，求 t 的取值范围，并把 f ( x) 表示为 t 的函数m( t )（Ⅱ）求 g( a)（Ⅲ）试求满足 g( a) g ( 1) 的所有实数 aa【答案】（Ⅰ） m t )= 12t a, t [ 2,2](at2十年高考数学分类汇编_02 函数a 1a2,2（Ⅱ） g (a)a 1 ,2a 1 ,2a222,a2 2（Ⅲ）2a 2, 或a=1 2十年高考数学分类汇编_02 函数a12a2,2 a 1 ,g (a)a1 ,2 22a22,a综上有2g( 1)2 a1 2, 解得 a2,与 a2矛盾 .a2a221a 012g ( 1)2情形 5：当2时，a，此时 g(a)=a+2,aa2 2,与 a1由a22矛盾 .2解得11 )1 情形 6：当 a>0 时，ag (2，此时 g(a)=a+2,aaa21 12解得 a由a，由 a>0 得 a=1.g (a) g( 1)2 a2 ,综上知，满足a的所有实数 a 为2或 a=1.3. 【2007 江苏，理 21】已知 a ，b ，c ，d 是不全为零的实数， 函数 f （x ）=bx 2 +cx+d ，g （x ）=ax 2+bx 2 +cx +d. 方程 f （ x ） =0 有实数根，且 f （x ）=0 的实数根都是 g （f（ x ））=0 的根；反之， g （ f （ x ））=0 的实数根都是 f （x ）=0 的根 .（ 1）求 d 的值；（3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=l ，f （1）=0，求 c 的取值范围 . （7 分）16【答案】（1）d=0. （2）0，4）. （3）0，）（ 3）由 a=1，f （1）=0 得 b= - c ，f （x ）=bx 2+cx =cx （ - x+1），g （f （x ）） f （ x ）f 2（ x ） cf （x ） c ]. ③= - +由 f （x ）=0 可以推得 g （f （x ））=0，知方程 f （x ） =0 的根一定是方程 g （f （ x ））=0 的根 .当 c=0 时，符合题意 . 2（x ）当 c ≠0时， b ≠0，方程 f （x ）=0 的根不是方程 f cf （ x ） c ④- + =0 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么2 2当（ - c ） -4 c ＜0，即 0＜ c ＜ 4 时， f （ x ） - cf （x ）+c>0，符合题意 .f x ）=- cx 2 cxcc 2 4c ，即 cx 2 cx c c 2 4c⑤（ + =– +2 =0，2则方程⑤应无实数根，所以有（ - c ）2-4 ccc 24c＜0 且（ - c ）2-4 ccc 24c＜0.22当 c ＜0 时，只需 - c 2 -2c c 2 4c ＜ ，解得 ＜ ＜ 16 ，矛盾，舍去 .0 0 c 3当 c ≥ 4 时，只需 - c 2 c c 2 4c ＜ ，解得 ＜ ＜ 16 .+20 0 c 3因此，4≤ c ＜16.30， 16综上所述，所示 c 的取值范围为 ） .34. 【 2008 江苏，理 20】已知函数 f 1( x)3x p 1， f 2 (x) 2 3x p 2 （ x R, p 1, p 2 为常 数 ）． 函 数 f (x) 定 义 为 ： 对 每 个 给 定 的 实 数 x ，f 1 ( x ), 若 f 1 ( x )f 2 ( x )f ( x )f 2 ( x )f 2 ( x ), 若 f 1 ( x )（ 1）求 f ( x)f 1( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件（用 p 1, p 2 表示）；（ 2）设 a,b 是两个实数，满足 a b ，且 p 1, p 2 (a,b) ．若 f (a) f (b) ，求证：函数f ( x) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和为 ba（闭区间 [m, n] 的长度定义为 n m ）2b a【答案】（1）p 1p 2log 32；（2） 23p 1x, xp 1f 1 ( x)再由3x p 1, x p 1 的单调性可知，函数f ( x) 在区间[ a,b]上的单调增区间的长度abb ab221）为（参见示意图y (a,f(a)(b,f( b)O图 1x解得f 1( x)与 f 2(x)图象交点的横坐标为x 0p 1 p 21log 3 2⑴22p 1 x 0 p 21[( p 2 p 1 ) log 3 2]p 2显然2，这表明x 0在p 1与p 2之间 . 由⑴易知f 1( x) , p 1x x 0f (x)xp 2f 2 (x) , x 0f 1 ( x) , a xx 0f (x)综上可知，在区间[a,b] 上，f 2 ( x) , x 0 x b（参见示意图 2）y(a,f(a))(b,f(b))(x 0,y 0)(p 2,2)(p 1,1)Ox图 25. 【2009 江苏，理 19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为m；如果他买进该m a产品的单价为 n 元，则他的满意度为n. 如果一个人对两种交易 ( 卖出或买进 )na的满意度分别为1和 2 ，则他对这两种交易的综合满意度为h hh h1 2 .现假设甲生产 A 、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A 、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A 、B 的单价分别为 m A 元和 m B 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙(1) 求 h 甲 和 h 乙 关于 m A 、 m B 的表达式；当 m3m 时，求证： h 甲 = h 乙 ；A5B(2) 设 m3m ，当 m A 、m B 分别为多少时， 甲、乙两人的综合满意度均最大？A5B最大的综合满意度为多少？(3) 记 (2) 中最大的综合满意度为 h 0 ，试问能否适当选取 m A 、 m B 的值，使得h 甲 h 和 h 乙 h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由 .0 0【答案】 (1) 详见解 +析； (2)m B 20, m A12 时，甲乙两人同时取到最大的10综合满意度为 5(3) 不能本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力 . 满分 16 分.(1)3m Bm Bm B2h 甲533 m12 m B 5(m B20)( m B 5)m Am B时，5 B,当53m Bm B2 h 乙5m B3 m3mB20(m B 5)(m B 20)h 甲 = h 乙5 B ,（ 3）由（ 2）知：h 0= 105h 甲 =m A m Bh 010m A 12 m B 5 5m A 12 m B 55m Am B 2由得： ，35y,1 ,1](1 4x)(1y)5令 m Ax,x 、 y [2 .m B 则 4，即：h 乙 h 010(1 x)(1 54y)同理，由5 得：2x 、 y [ 1,1] 1 4x 、 1+4y[2,5], 1x 、 1+y [ 5,2],另一方面， 42(1 4x)(1 y)5 x)(1 5, xy1,(1 4y)4 ，即m A=mB时，取等号 .22 当且仅当所以不能否适当选取 m A甲h 0 和 h 乙 h、 m B的值，使得h同时成立，但等号不同时成立 .6. 【 2009 江苏，理 20】设 a 为实数，函数 f (x)2x 2( x a) | x a |.(1) 若 f (0) 1，求 a 的取值范围；(2) 求 f (x) 的最小值；(3) 设 函数 h(x) f (x), x (a,) ，直接 写出 ( 不 需给 出演算步 骤 ) 不 等式． ．． ．h( x) 1的解集 .a 0 1（ 1）若 f(0) 1，则a | a | 1aa 2 1f (a), a 02a 2, af ( x) mina), a 0 2a 2（ 2）当xa 时，f (x)3x 2 2ax a 2 ,f (, a 033f ( x) min f ( a), a 02a 2 , aa 时，f (x)f (a), a2a 2, a当xx 2 2axa 2 ,f ( x) min2a 2 , a 02a 2,a 0综上3（ 3）x(a,)时，h( x) 1得3x 22ax a 21 0 ，4a 2 12(a 2 1) 12 8a 2a6或 a6 0, x (a,) ；当22 时，a 3 2a 2 a3 2a 2 ) 066( x3)( x3a当22 时，△ >0, 得： x aa( 2, 6 )时，解集为 (a,) ;讨论得：当2 2a (6 , 2 )(a,a3 2a 2 ] [ a 3 2a 2 , )当22时，解集为33;a [2 , 2 ][a3 2a 2 , )当 22 时，解集为3.7. 【2016 年高考江苏卷】（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x)a xb x ( a 0,b 0, a 1,b 1) .1a 2,b（ 1）设2 .①求方程f (x)=2 的根；②若对任意xR ，不等式f (2x)mf (x)6恒成立，求实数 m 的最大值；（ 2）若 0 a 1,b ＞1，函数 g x f x2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 .十年高考数学分类汇编_02 函数所以 m( f ( x))24对于 x R 恒成立 .f ( x)而 ( f ( x))24 f ( x)4 2 f ( x)44，且 ( f (0))24 4 ，f ( x) f (x) f ( x) f (0)所以 m4，故实数m 的最大值为 4.间断，所以在x0和 loga2 之间存在 g (x) 的零点，记为 x1.因为0 a1，所以2log a 20 ，又x00 ，所以x10与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾 . 2若 x00 ，同理可得，在x0和 loga 2 之间存在 g( x) 的非0的零点，矛盾. 2因此， x00 .于是ln a 1 ，故 ln a ln b0 ，所以 ab 1.ln b【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充14．（ 5 分）（ 2017?江苏）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上，f（x）=，其中集合D={ x| x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．20．（16 分）（2017?江苏）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数 f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明： b2＞3a；（ 3）若 f（ x），f （′x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对 f（x）=x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x）=f ′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x） =6x+2a，通过令 g′（x）=0 进而可知 f ′（x）的极小值点为﹣，从而（﹣）=0，整理可知 b=+（＞），结合3+ax2+bx+1x=f a0f（ x）=x（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（ 2）通过（ 1）构造函数 h（ a） =b2﹣ 3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（ 3）通过（ 1）可知 f ′（ x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣+﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为 f（x）=x3+ax2+bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时 g′（ x）＞ 0， g（ x） =f ′（x）单调递增；当 x＜﹣时 g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数 f（ x）的零点，所以 f （﹣） =0，即﹣+ ﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为f （x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根，所以 4a2﹣12b＞ 0，即 a2﹣+＞0，解得a＞3，所以 b=+（a＞3）．（ 2）证明：由（ 1）可知 h（ a） =b2﹣ 3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（ 3）解：由（ 1）可知 f ′（ x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则12， 12，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）=（+）+b（ 12）+2 x+ +a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2= ﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．。

高中数学专题练习-函数零点问题[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一 零点个数与零点区间问题例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3}D.{－2－7，1,3}(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4题型二 由函数零点求参数范围问题例2 (·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________.点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2 (·北京东城区模拟)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ).当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.高考题型精练1.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e -x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e <x 1x 2<1 B.1<x 1x 2<e C.1<x 1x 2<10D.e<x 1x 2<102.(·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 3.(·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2,0 C.12D.04.函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.75.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A.[－4，－2] B.[－2,0] C.[0,2]D.[2,4]6.(·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)7.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A.1－2a B.2a －1 C.1－2－aD.2－a －18.(·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.10.方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________.11.(·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.12.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1 (k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是__________.答案精析函数零点问题 常考题型精析例1 (1)D (2)①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)令x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x ).所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}. (2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.变式训练1 B [函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.]例2 1<a <2解析 画出函数f (x )的图象如图所示.函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0).当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点.故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎨⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点. 故实数a 的取值范围是1<a <2. 变式训练2 25<a <23解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根， 则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ， 由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)， 所以k AH ＝25，k AG ＝23， 所以25<a <23. 高考题型精练1. A [在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞).不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1.] 2.D [方法一 当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根.当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解. 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.]3.D [当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上，函数f (x )的零点只有0.]4.B [∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.]5.A [f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π， 所以sin 5<0，故f (2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点； 令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0， 而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点.选A.] 6.B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，23)时，f ′(x )<0；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f (23)＝59>0，则f (x )的大致图象如图1所示.图1不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈(－∞，－32)时，f ′(x )<0，当x ∈(－32，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f (－32)＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示.图2不符合题意，排除D.] 7.A [当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图.函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点. 当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )， 即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ， 解得x ＝1－2a ， 因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .] 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 解析 画出函数f (x )的图象如图.要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，则图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.9.2解析 由于2<a <3<b <4， 故f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0， 而0<log a 2<1,2－b ∈(－2，－1)， 故f (2)＝log a 2＋2－b <0， 又log a 3∈(1,2)，3－b ∈(－1,0)， 故f (3)＝log a 3＋3－b >0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 10.2解析 方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点.11.4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2.当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1).记B (2,0)，由图象知，方程有四个根， 即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.。

考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____. 【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-； 当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3- 故答案为：3- 2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________. 【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2， 则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________. 【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1． 【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <， 根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A. 2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续， 又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>， 故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D. 3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>， ∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内必有零点.故选：B .【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .【答案】2【解析】令22e 20,2xxx e x +-==-+,画出2,2xy e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 . 【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数， 即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点， 4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .【解析】因为ln y x =与2yx 均在0,上为增函数，所以函数()2ln f x x x =+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点.5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________. 【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x -=⇔-=令123,y x y =-=()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________. 【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 . 【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2． 由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点， 所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点． 9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x =当0x >时有()20log f x x = 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:5 11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 . 【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ） ∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 . 【答案】7,53⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内， ∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫-⎪⎝⎭. 2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 . 【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数， 又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

高三数学总复习--函数专题练习方法点拨函数是高考的必考内容，考查的题型主要有函数性质、函数图象、零点问题、指数幂的大小比较，与生活实际相关或函数文化结合的题．（1）函数性质的考查主要为奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合考查，要求学生熟悉一些相关结论的由来与应用，例如由()()=f a x f a xf x关于x a+=-得到()对称．（2）对于函数图象的题型，我们一般优先考虑函数的奇偶性，或结合函数的平移、伸缩变换考虑函数的对称性，然后再考虑自变量取某些特殊值时，对应的函数值的一些特点，比如函数值的正负，最后考虑函数的单调性．（3）函数的零点问题一般可以转化成函数方程的根、函数图象与x轴的交点个数、函数图象与某条水平线的交点个数问题、函数图象与某条斜直线的交点问题，或两条曲线的交点个数问题等．（4）与生活实际相关或函数文化结合的题一般相对简单，要求学生耐心理解题目意思，知道题中每个量，每个公式所具有的意义．典型试题汇编一、选择题．1．（江西省南昌市2021届高三一模）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（,d r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（,,h w v为变量），则下列说法：①w是v的函数②v是w的函数③h是w的函数④w是h的函数其中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9f f ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（贵州省遵义市2021届高三一模）已知函数22,02()2(2),2x x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，则(9)f =（ ） A ．16B ．8C ．8-D ．16-4．（福建省龙岩市2021届高三一模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()1,0211,112xe a b xf x bx x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩（e 为自然对数的底数），则a b -的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．05．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()2f x +=()2021f =（ ）A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．46．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）已知函数())1ln f x x x=+， 则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）函数()()ln x x f x e e x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．（安徽省池州市2021届高三一模）设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有()()4f x f x -=，且在()2,+∞上单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三一模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|1|f x x =- B ．1()1f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 11．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有0N 只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍．（参考数据：ln1.060.0583≈，ln1.60.4700≈，ln18007.4955≈，ln80008.9872≈．） A ．129B ．150C ．197D ．19912．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ﹒信道内所传信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小．其中SN叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比卡SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据lg 20.3≈，396109120≈．) A ．9121 B ．9119 C ．9919 D ．1099913．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等m ，绝对星等M ，距地球的距离d 有关系式05lg d M m d=+（0d 为常数）．若甲星体视星等为1.25，绝对星等为 6.93-，距地球距离1d ；乙星体视星等为1.15，绝对星等为1.72，距地球距离2d ，则12d d =（ ） A ． 1.7510B ． 1.7210C ． 1.6510D ． 1.621014．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）若函数()f x 满足：对定义域内任意的()1212,x x x x ≠，有()()121222x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是（ ）A ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()ln f x x =C ．()()20f x x x =≥D ．()tan 02f x x x π⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭15．（四川省资阳市高中2021-2022学年高三一模）设3log πa =，2b =，1ln 24c =， 则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>16．（2020山东一模）已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>17．（湖北省武汉市部分学校2020届高三一模）已知π4ln3a =，π3ln 4b =，34ln πc =， 则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<18．（天津市河北区2020-2021学年高三一模）设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 3b =，0.32c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>19．（江西省赣州市2021届高三一模）设函数3()sin x x f x a a b x c -=-++（0a >且1a ≠）．若()1f t -=，()3f t =，则c =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．（江苏省2021年对口高考单招一模）若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．421．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知函数()x f x xe =，则满足不等式()22f a a e -<的实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2-22．（多选）（广东省普宁市勤建学校2021届高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()2()f x f x +=-且()f x 在[]1,0-上是增函数，给出下列真命题的有（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．()f x 在[]1,2上是减函数D ．()()20f f =23．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上一模）指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在R上是减函数，则函数22()a g x x -=在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增24．（山东省烟台市2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则（ ） A ．()20210f =B ．2是()f x 的一个周期C ．当()1,3x ∈时，()()31f x x =-D ．()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z25．（山东省青岛胶州市2019-2020一模）已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>26．（吉林省长春市2022届高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，且(21)f x -是偶函数，(1)f x +是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）①(8)()f x f x -=；②(1)(1)f x f x +=--；③(3)0f -=；④(2)(2)f x f x +=-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()032f f -=-，则()2022f =（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．428．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个29．（多选）（2021届高三下学期一模）若直线2y a =与函数1x y a =-（0a >，且1a ≠）的图象有两个公共点，则a 的取值可以是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．230．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若函数()323f x x x a =-+有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),04,-∞+∞ B ．()(),80,-∞-+∞ C ．[]0,4D ．()8,0-31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）设函数()21log ,020x x f x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩．若 14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()1f x k +=有唯一解，则实数k 的取值范围为（ ）A．(B．⎡⎣C ．()0,2D ．[)1,232．（四川省成都市新都区2021-2022学年高三一模）已知函数2()log f x x =，函数()g x满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有(π)2()g x g x +=；③当[0,π]x ∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4π]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．833．（2020届浙江省金华十校高三一模）已知函数()21,0ln ,0ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（ ） A ．当0a =，m ∈R 时，有且只有1个 B ．当0a >，1m ≤-时，都有3个C ．当0a <，1m <-时，都有4个D ．当0a <，10m -<<时，都有4个34．（山东省实验中学2021届高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，则关于的函数()()()01F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ） A ．21a -B ．21a --C ．12a -D ．12a --35．（安徽省滁州市定远中学2019-2020学年一模）已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为（ ） A ．[)3,3e + B ．()3,3e + C ．()3,+∞ D ．(]3,3e +二、填空题．36．（江苏省2021年对口高考单招一模数学）在平面直角坐标系中，函数()12x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则sin 2θ=________．参考答案一、选择题．1-21：BDDADBCABBABABDDBDBBB 22．【答案】ACD(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，4是它的一个周期，A 正确； (2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，函数图象关于点(2,0)对称，B 错； (1)(1)(1)f x f x f x +=--+=-，函数图象关于直线1x =对称，又()f x 在[1,0]-上递增，因此()f x 在[0,1]上递增，所以()f x 在[]1,2上是减函数，C 正确；(2)(0)0f f =-=，D 正确，故选ACD ． 23．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<， 函数()g x 的导函数：()()322'a g x x--=， 当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 本题选择C 选项． 24．【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -==--， 所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是4，故B 错误；()()202111f f ==，故A 错误；因为当[]0,1x ∈时，()3f x x =，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，()()()322f x f x x =-=-，故C 错误； 因为当()0,2x ∈时，()0f x >，()f x 的最小正周期是4， 所以()0f x >的解集为()()4,42k k k +∈Z ，故D 正确， 故选D ． 25．【答案】B【解析】(1)f x +是偶函数，得()(1)1f x f x +=-+，即()()2f x f x =-+，(1)f x -是奇函数，得()(1)1f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()(2)2f x f x ---=-+，得8T =，由(1)f x -是奇函数，得()(01)10f f -=-=， 因为()f x 在[1,1]-上单调递增，所以(0)0f >，()()()2019310f f f ==-=，()()()2020400f f f ==-<，所以(0)(2019)(2020)f f f >>，故选B ． 26．【答案】B【解析】由题意，函数(1)f x +是奇函数，可得()f x 的图象关于点(1,0)对称， 所以(1)(1)0f x f x ++-=，所以②正确； 令0x =，则(1)0f =，又由(21)f x -是偶函数，所以()2f x 的图象关于12x =-对称， 所以()f x 的图象关于1x =-对称，则有(1)(1)f x f x --=-+， 令2x =，则(3)(1)0f f -==，所以③正确；在(1)(1)f x f x --=-+中，将x 用7x -替换，则(8)(6)f x f x -=-， 在(1)(1)f x f x +=--中，将x 用5x -替换，则(6)(4)f x f x -=--， 所以(8)(4)f x f x -=--，再将x 用4x +替换，则(4)()f x f x -=-， 所以(8)()f x f x -=，所以①正确；对于④中，由(2)(),(2)()f x f x f x f x -=-+=--，无法推出其一定相等， 故选B ． 27．【答案】C【解析】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)f x f x --=--①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令1x =，由②得：())0(22f f k m ==+，又()33f k m =+，所以()()032(3)2f f k m k m k -=+-+=-=-，得2k =， 令0x =，由①得()()1(1)10f f f -=--⇒-=；令2x =，由②得()1(3)0f f -==，所以()6330f k m m =+=⇒=-， 得[]1,3x ∈时，()26f x x =-，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()202225286622262f f f f =⨯+==-=-⨯-=，故选C ． 28．【答案】B【解析】由题意知函数()()1ln 3x x f x x -=-的定义域为()()0,33,+∞，由()()1ln 03x x f x x -==-，得()1ln 0x x -=，所以1x =，所以函数()()1ln 3x x f x x -=-的零点有1个，故选B ．29．【答案】AB【解析】（1）当1a >时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为1a >，所以此种情况不存在；（2）当01a <<时，由题得021a <<，102a ∴<<， 因为01a <<，所以102a <<，故选AB ． 30．【答案】A【解析】由题意知：2()36f x x x '=-，∴()0f x '>时，2360x x ->，得0x <或2x >；()0f x '<时，2360x x -<，得02x <<， ∴()f x 在(,0)-∞上递增，(0,2)上递减，(2,)+∞上递增，当0x =时，有极大值(0)f a =；当2x =时，有极小值(2)4f a =-， ∴只有当(0)0f a =<或(2)40f a =->时，函数()f x 有且仅有一个零点， ∴0a <或4a >，故选A ． 31．【答案】B【解析】因为函数()21log ,02,0x x f x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≤⎩，所以23log (),12(1)1x x f x x ⎧+>-⎪+=⎨⎪≤-⎩， 若14,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，作出()1f x +的图象，结合图象可知方程()1f x k +=有唯一解，则1k ≤< 故选B ． 32．【答案】A【解析】因为函数2()log f x x =的定义域为()0,∞+， 所以()()y f x g x =-在(],0-∞无零点；∵()()π2g x g x +=，故将()[],0,πy g x x =∈的图象向右平移π个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，()f x 的图象以及()g x 在[]0,4π上如图所示：又2223π5π7πlog 2,log 4,log 8222><<， 故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，故选A ． 33．【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =， 即当0a =，m ∈R 时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确； 当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误， 故选B ．34．【答案】C【解析】∵0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，即[)0,1x ∈时，()()(]12log 11,0x f x +=∈-；[]1,3x ∈时，()[]21,1x x f -∈-=； ()3,x ∈+∞时，()()4,1f x x =-∈-∞，画出0x ≥时，()y f x =的图象，再利用奇函数的对称性，画出0x <时，()y f x =的图象，如图所示：直线y a =与()y f x =共有5个交点，则方程()0f x a -=共有五个实根， 最左边两根之和为6-，最右边两根之和为6， ∵[)0,1x ∈时，()0,1x -∈，∴()()12log 1f x x -=-+，又()()f x f x -=-，∴()()()()111222log 1log 1log 1x x x f x ---+===--，∴中间的一个根满足()2log 1x a -=，即12a x -=，得12a x =-， ∴所有根的和为12a -，故选C ． 35．【答案】D【解析】当0x ≤时，2(1)()2(1)x f x x e +'=+，()010f x x '>⇒-<≤；()01f x x '<⇒<-，则函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增，且0(1)1,(0)f e f e -===，当0x >时，22244()1x f x x x-'=-=，()02f x x '>⇒>；()002f x x '<⇒<<，则函数()f x 在(0,2)上单调递减，在()2,+∞上单调递增，4(2)2312f =+-=，函数()y f x a =-有四个不同的零点，即两函数()y f x =与y a =图象有四个不同的交点， 如下图所示：由图可知，1a e <≤，12,x x 是方程2(1)x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根，所以(]12ln 11,0x x a -=-∈-，34,x x 是方程43x a x+-=的两根，即2(3)40x a x -++=的两根， 所以343(4,3]x x a e +=+∈+，(]12343,3x x x x e ∴-++∈+， 故选D ． 二、填空题． 36．【答案】35-【解析】由题意，函数()12x f x a +=+，令10x +=，可得1x =-，此时()13f -=，即函数()f x 恒过定点()1,3P -，则r OP ==，根据三角函数的定义，可得sinθ=，cos θ=， 所以3sin 22sin cos 5θθθ==-， 故答案为35-．。