【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题三 三角函数及解三角形

- 1 - 【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 专题三 三角函数及解三角形 (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2014²台州模拟)已知=(1,0),点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则= ( ) A. B. C. D. 【解析】选A.设∠POQ=α,由三角函数定义可知,Q点的坐标(x,y)满足x= cosα,y=sinα,所以x=-,y=,则=. 2.(2014²绍兴模拟)点P(sin2014°,cos2014°)在角α的终边上,则角α的终边位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C.因为2014°=360°³5+214°,所以2014°是第三象限角,所以sin2014°<0,cos2014°<0,则点P在第三象限,角α终边在第三象限. 3.已知sin(π-α)=log8,且α∈,则tan(2π-α)的值为 ( ) A.- B. C.± D. 【解析】选B.sin(π-α)=log8=-,且α∈, 所以sinα=-,则cosα==,故tan(2π-α)=-tanα=-=. 4.(2014²嘉兴模拟)已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移,则所得图象的一条对称轴是 ( ) A.x= B.x= C.x= D.x= - 2 -

【解析】选C.f(x)=sin向右平移,得 f(x)=sin=sin,则对称轴为2x-=kπ+, 所以x=+(k∈Z). 当k=0时,x=. 5.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|

A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 【解析】选D.因为=-=, 所以T=π,所以ω=2, 又³2+φ=,所以φ=-. 6.(2014²温州模拟)已知函数f(x)=,则有 ( ) A.函数f(x)的图象关于直线x=对称 B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)的最小正周期为 D.函数f(x)在区间(0,π)内单调递减 【解析】选B.因为f(x)==-=-tanx,所以f(x)的最小正周期为π,故A,C不正确,且在上单调递减,但在(0,π)上不存在单调性,故D不正确,因为f(x)=-tanx的对称中心为 - 3 -

(k∈Z),故是一个对称中心,故B正确. 7.(2014²杭州模拟)函数f(x)=sinx+cos的值域为 ( ) A.[-2,2] B.[-,] C.[-1,1] D. 【解析】选C.函数f(x)=sinx+cos=sinx+cosx-sinx=cos,因为cos∈[-1,1],所以函数的值域为[-1,1]. 8.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tanA²tanB= ( ) A.4 B. C.-4 D.- 【解析】选B.在△ABC中,因为3cos2+5sin2=4,所以3³+5³=4,即cos(A-B)-cos(A+B)=0, 即3(cosAcosB+sinAsinB)=5(cosAcosB-sinAsinB), 即2cosAcosB=8sinAsinB,所以tanA²tanB=. 9.(2013²湖南高考)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】选D.在△ABC中,a=2RsinA,b=2RsinB,C=2RsinC(R为△ABC的外接圆半径),因为2asinB=b, 所以2sinAsinB=sinB,所以sinA=, 又△ABC为锐角三角形,所以A=. 10.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 ( ) A.50m B.100m C.120m D.150m 【解析】选A.设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°, - 4 -

AC=h,AB=100,BC=h,由余弦定理得(h)2=h2+1002-200h²cos60°, 即(h-50)(h+100)=0,所以h=50,故水柱的高度为50m. 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上) 11.(2014²绍兴模拟)已知cosθ=,则cos2θ= . 【解析】因为cosθ=,所以cos2θ=2cos2θ-1=2³-1=-. 答案:- 12.(2014²湖州模拟)已知sinθ+cosθ=0【解析】因为0sinθ, 又因sinθ+cosθ=, 所以sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=, 所以2sinθcosθ=, (sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-=, 所以sinθ-cosθ=-. 答案:- 13.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0θ= . 【解析】T==2,因为f(2)=sin(2π+θ)=sinθ=1, 又0答案:2 14.(2014²台州模拟)已知f(x)=cos(2x+φ),其中φ∈[0,2π),若f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则φ= . 【解析】由题意知,当x=时,f(x)取最小值, 所以2³+φ=π+2kπ,k∈Z, - 5 -

所以φ=+2kπ,k∈Z, 又0≤φ<2π,所以φ=. 答案:φ= 15.已知关于x的方程sin=k在[0,π]上有两解,则实数k的取值范围是 . 【解析】在同一坐标系内作y1=sin,x∈[0,π]与y2=k的图象(如图).

由图象可知,当1≤k时,原方程有两解. 答案:[1,) 16.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为 . 【解析】设△ABC的三边a,b,c成公比为的等比数列,所以b=a,c=2a, 则cosC===-. 答案:- 17.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是 .

【解析】依据题意,得AD=20m,AC=30m, 在△ACD中,CD=50m, 由余弦定理cos∠CAD===. - 6 -

又0°<∠CAD<180°, 所以∠CAD=45°,即张角为45°. 答案:45° 三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(14分)已知函数f(x)=. (1)求函数y=f(x)的定义域. (2)设tanα=-,求f(α)的值. 【解析】(1)由cosx≠0,得x≠+kπ,k∈Z, 所以函数的定义域是. (2)因为tanα=-,

所以f(α)= == =-1-tanα=. 19.(14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的表达式. (2)若f=,求tanα的值. 【解析】(1)依题意:A=1,最小正周期T满足=-=. 所以T=π.所以=π,所以ω=2. 所以f=sin=1且|φ|<. - 7 -

所以φ=.所以f(x)=sin. (2)f=sin =cos2α=1-2sin2α=. 所以sin2α=.因为α∈,所以sinα=. 所以cosα==,所以tanα==. 20.(14分)已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0直线x=对称. (1)求φ的值. (2)若f=,求sin2α的值. 【解析】(1)因为f(x)=sin(x+φ), 所以函数f(x)的最小正周期为2π. 因为函数y=f=sin, y=sinx的图象的对称轴为x=kπ+(k∈Z), 令2x++φ=kπ+(k∈Z), 将x=代入,得φ=kπ-(k∈Z). 又0(2)由f=得sin=, 即sin=sin =(sinα+cosα)=, 所以sinα+cosα=,1+sin2α=, 即sin2α=-. 21.(15分)(2014²浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB. - 8 -

(1)求角C的大小. (2)若sinA=,求△ABC的面积. 【解析】(1)由题意得,- =sin2A-sin2B, 所以sin2A-cos2A =sin2B-cos2B, 即sin=sin2B-. 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得 +=π, 所以A+B=,即C=. (2)由c=,sinA=, =,得a=, 由a所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =³+³=, 所以,S△ABC=acsinB=³³³=. 22.(15分)已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b=,且函数f(x)=2sin2x+2sinxcosx-在x=A处取得大值. (1)求f(x)的值域及周期. (2)求△ABC的面积. 【解析】(1)因为A,B,C成等差数列, 所以2B=A+C,又A+B+C=π, 所以B=,即A+C=.