2018届高三上学期期中文科数学考试

济南一中2017―2018 学年度第一学期期中考试高三数学试题（文科）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷( 非选择题) 两部分，满分 150 分 . 考试时间为 120 分钟，注意事项：1 ．选择题一定用 2B铅笔填涂；非选择题一定使用 0.5 毫米黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清楚 . 2 ．请依据题号序次在各题目的答题地域内作答，超出答题地域书写的答案无效；在稿本纸、试题卷上答题无效.3 ．保持卡面洁净，不要折叠、不要弄破、禁止使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题共 70分）一、选择题：本大题共 14小题，每题5 分，共 70分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1 ．设集合，，则等于（）A． B． C． D． 2 ．若复数的实部为，且，则复数的虚部是（）A．B．C．D．3.已知满足，且，那么以下选项中必定成立的是4. 以下说法正确的选项是( ) A．命题20 ×20则” 的否命题为“若，则” B．若命题，则命题 C ．命题“若，则”的逆否命题为真命题 D ．“ ”的必需不充分条件是“ ”5.以下函数中 , 满足对任意当时都有的是 ()A．B．C．D．6.将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A． B． C． D． 7. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 ( ) A. B. C. D. 8. △ABC的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c. 若 B ＝ 2A， a ＝ 1 ， b ＝3 ，则 c ＝ () ． A ． 1 B ． 2C ． 23D ． 2 9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．履行该程序框图，若输入的，挨次输入的为，则输出的 ()． A.B.C.D. 10.设满足若目标函数的最大值为14，则（） A． 1B ． 2C ．23D． 11.函数的图象大体是( )CD12.设公比为 ()的等比数列的前项和为 .若，则＝() ．D．213. 已知圆的半径为 3 ，直径上一点使，为另向来径的两个端点，则 A.B.C.D.14.若，则函数在内零点的个数为第Ⅱ卷（非选择题共80分）二、填空题：本大题共5个小题，每题5分，共25分．15.设平面向量，，若，则等于_________. 16.已知正数，满足, 则的最小值为____________. 17.在平面直角坐标系中，角终边过点, 则的值为 . ________________. 18.已知数列中，，则_________. 19.设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 .三、解答题：本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20. (本小题满分10分 )已知的三个内角所对的边分别为,是锐角,且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的面积为，求的值21. (本小题满分11分 )已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求22.(本小题满分11分)设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若对于恒成立，求实数 t 的取值范围 .23.( 本小题满分11分)某公司生产的商品 A 每件售价为5元时，年销售10万件，（ I）据市场检查，若价格每提升一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（II）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用。

2017—2018学年第一学期期中三校联考高三文科数学1．若集合{}2|120A x x x =--≤，{}|51B x x =-<<，A B = （）．A ．(5,1)-B ．(1,4]C ．[3,1)--D ．[3,1)-【答案】D【解析】解：A ：212(4)(3)0x x x x --=-+≤，∴3x -≤≤4，∴{}|31A B x x =-< ≤，即[3,1)A B =- ．故选D ．2．已知复数z 满足(1i)=1i z +-（i 为虚数单位），则||z 为（）．A ．12B C D ．1【答案】A 【解析】解：32(1i)(1i)(1i)2i(1i)2i 2+=++=+=-， ∴12z =-， ∴1||2z =． 故选A ．3．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率？【答案】见解析．【解析】解：若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：(,3)A ，(,4)A ，(,)A B ，(1,3)，(1,4)，(1,)B ，(2,3)，(2,4)，(2,)B 共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有(,)A B ，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共计4个． 故选出的2名教师性别的概率为49．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，且双曲线的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则双曲线的方程为（）．A ．221913x y -= B ．221139x y -= C ．22162x y -= D ．22126x y -= 【答案】D【解析】解：由已知c =b y x a=±，即0ay bx ±=，2228a b c +==，22(2)3x y -+=，圆心(2,0)，半径r若双曲线渐近线与圆方程相切，则d===∴b=∴26b=，28c=，22a=，∴双曲线方程22126x y-=．5．将函数πsin3y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，（纵坐标不变），再将所得图像向左平移π3个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）．A．1πsin23y x⎛⎫=-⎪⎝⎭B．πsin26y x⎛⎫=-⎪⎝⎭C．1sin2y x=D．1πsin26y x⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】解：将函数πsin3y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像对应的解析式为1πsin23y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移π3个单位，则所得函数图像对应的解析式为：1ππ1πsin sin23326y x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选D．6．如图所示的程序框图，若输出的127S=，则判断框内填入的条件是（）．A．>6?i B．5?i>C．5?i≤D．6?i≤【答案】C【解析】解：1S=，0i=，i m=<，1i=，123S=+=，1i m =<，2i =，1237S =+⨯=，1i m =<，3i =，12715S =+⨯=，3i m =<，4i =，121531S =+⨯=，4i m =<，5i =，123163S =+⨯=，5i m =<，6i =，1263127S =+⨯=，6i m =<，∴6i <或5i ≤．故选C ．7．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）．A ．403B ．203C ．154D ．315【答案】A【解析】解：如图为所求几何体，为三棱锥：13V S h =⋅底【注意有文字】 1154432=⨯⨯⨯⨯ 403=． 故选A ．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4m a =，0m S =，214(2m S m +=≥，且*)m ∈N ，则2017a 的值为（）．A ．2018B ．4028C ．5037D ．3019【答案】B【解析】解：主视图左视图俯视图2341112121(1)44(1)05222((1)14m m m m m m a a m d a m m S ma d m d S S a a a m m d +++=+-=⎫=-⎧⎪-⎪⎪=+=∆⇒=⎬⎨⎪⎪=⎩-=+=+-+=⎪⎭， ∴4(1)226n a n n =-+-⨯=-，∴20172201764028a =⨯-=．故选B ．9．已知x ，y 满足2420x x y x y m ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤，若目标函数3z x y =+的最大值为10，则z 的最小值为（）． A ．4- B ．5- C ．4 D ．5【答案】D【解析】解：不等式组对应的平面区域如图：由3z x y =+得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图像可知当直线3y x z =-+经过点C 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 最大，为310x y +=，由3104x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩， 即(3,1)C ，此时C 在20x y m --=上，则5m =，当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最小，此时z 最小， 由2250x x y =⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=-⎩， 即(2,1)A -，此时3215z =⨯-=．故答案为：5．10．设π02x <<，记ln(tan )a x =，tan b x =，tan x c e =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】A【解析】解：令tan x t =，则(0,)t ∈+∞，ln a t =，b t =，t c e =，由图可得a b c <<．故选A ．11．已知圆22(3)64x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则PM PN 的取值范围是（）． A ．6,87⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】解：圆22(3)64x y ++=的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，∴P 是AN 的垂直平分线上一点，∴PA PN =，又∵8AM =，所以点P 满足86PM PN AM +==>，即P 点满足椭圆的定义，焦点是(3,0)，(3,0)-，半长轴4a =，故P 点轨迹方程式221167x y +=， 8PM PN +=，881PM PN PN PN PN-==-， ∵17PN ≤≤， ∴88,87PN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴1,77PM PN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选C ．12．如图，OPQ 是半径为1，POQ α∠=的扇形，C 是弧PQ 上的点，ABCD 是扇形的内棱矩形，经COP x ∠=，若3cos 5x =，且当0x =时，四边形ABCD 的面积S 取得最大，则cos θ的值为（）． ABCD【答案】B 【解析】解：sin BC BC OCθ==， cos DB DB OCθ==， 34cos tan 53AD BC OA OAαα=⇒===， ∴33sin 44BC OA θ==⋅， ∴3cos sin 4AB OB OA θθ=-=-， ∴S BC AB =⋅3sin cos sin 4θθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 23sin cos sin 4θθθ=- 22133sin cos 288θθ=+- 225433sin cos 8558θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当S的最大值时，cos θ=．二、填空题 13．已知向量(1,2)m = ，(,1)n a =- ，若()m n m + ⊥，则实数a 的值为__________．【答案】3 【解析】解：若()m n m + ⊥，则()m n m +⋅(1,1)(1,2)a =+⋅1230a a =++=+=，∴3a =．14．若函数1,3()3log ,3a x x f x x x -⎧=⎨+>⎩≤(0a >，且1)a ≠的值域为(,2]-∞，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】解：13()3log 3a x x f x x x -⎧=⎨+>⎩≤， 若要使值域为(,2]-∞-，则01a <<，且(3)3log 32a f =+≤log 31a -≤， ∴113a <≤． ∴a 的取值范围为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭．15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++= __________．【答案】10【解析】解：∵等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，∴564756218a a a a a a +==，∴569a a =，∴53132310312103log log log log ()log 95210a a a a a a +++=⨯⨯⨯==⨯= 故答案为10．16．如图，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D 都在同一球面上，BD 过球心O 且2BD =，ABC △P 、Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为__________．【解析】解：设AP x =，∵O 为BD中点，AD AB ==∴AO BD ⊥，∵平面ABD ⊥平面BCD ⊥，平面ABD 平面BCD BD =， ∴AO ⊥平面BCD ，∴PO 是三棱锥P QCO -的高，AO = ∴1OP x =-，(01)x <<，在BCD △中，BC ，1OB =，∴1OC =，45OCB ∠=︒，∴11sin 4522OCQ S CO CQ x =⋅⋅︒=△．2111(1)(1)332OCQ P OCQ x x V PO S x x -+-⎫=⋅=⨯--⎪⎝⎭△三棱锥，【注意有文字】 当且仅当12x =时取等号， ∴三棱锥P QCO -．． D OPBCQ AQCBAPOD三、解答题17．（本小题满分12分）在锐角ABC △中，a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，边AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=，∴(2sin sin )cos sin cos C A B B A -=，2sin cos sin()0C B A B -+=， ∵πA B C +=-且sin 0C ≠， ∴1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入c ，BD =sin B =，得b =， 由余弦定理得：22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入b =，得29180a a -+=， 解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或6a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又∵锐角三角形，∴222a c b <+，∴3a =，∴11sin 2322ABC S ac B ==⨯⨯△，18．（本大题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是梯形，且AB DC ∥，平面PAD ⊥平面ABCD ，24BD AD -=，AB =PA PD =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBD ．（2）若DC BC =，PAD △为等边三角形，求点C 到平面PBD 的距离．【答案】见解析． 【解析】解：（1）证明：2AD =，4BD =，AB =22224+=， 即222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ，因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAD ⊥平面PBD ．（2）设AD 中点M ，BD 的中点为N ，因为PAD △为等边三角形，所以有PM因为DC BC =，所以CN BD ⊥，因为AB DC ∥，所以sin sin(π)sin BD ADC DAB DAB AB ∠=-∠=∠=因为90ADC BDC ∠=︒+∠，所以cos sin(90)sin BDC BDC ADC ∠=︒+∠=∠=，所以2cos ND CD BDC==∠，所以1CN ， 所以122BCD S BD CN =⨯⨯=△，由（1）可得142PAD S BD PD =⨯⨯=△， 设点C 到平面PBD 的距离为h ，因为13C PAD P BCD BCD V V PM S --==⨯⨯△，所以3C PBD PBD V h S -==△， 所以点C 到平面PBD．19．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题． CB APD（1）求a 的值及样本中男生身高在[185,195]（单位：cm ）的人数．（2）假设用一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高． （3）在样本中，从身高在[145,155)和[185,195]（单位：cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm 的概率． 【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意：0.10.040.0250.020.0050.01a =-+--=， 身高在[185,195]的频率为0.1，人数为4． （2）设样本中男生身高的平均值为x ，则： 1500.051600.21700.41800.251900.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7.532684519171.5=++++=，所以，估计该校全体男生的平均身高为171.5cm ．（3）在样本中，身高在[145,155)和[185,195]（单位：cm ）内的男生分别由2人，4人，从身高在[145,155)和[185,195]（单位：cm ）内的男生中任选两人，有26C 15=种，这两人的身高都不低于185cm ，有24C 6=种，所以所求概率为60.415=． 20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>，交点为F ，直线l 交抛物线C 于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，00(,)D x y 为AB 中点，且0||||22AF BF x +=+． （1）求抛物线C 的方程．（2）若过A 作抛物线C 的切线1l ，过D 作x 轴平行的直线2l ，设1l 与2l 相交于点E ，2l 与C 相交于点H ，求证：||||EH ED 为定值，并求出该定值． 【答案】见解析．【解析】（1）根据抛物线的定义知12||||AF BF x x p +=++，1202x x x +=， ∵0||||22AF BF x +=+， ∴2P =，∴C 的方程为24y x =．（2）设过11(,)A x y 的切线1l 方程为11()x m y y x =-+，cm ()频率联立C 与切线的方程2114()y xx m y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得2114440y my my x -+-=，∴211164(44)0m my x ∆=--=，解得12y m =， ∴过点A 的切线方程为112()y y x x =+，联立直线2l 的方程0y y =，解得点1012120,,424y y y y y y E y +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴200,4y H y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴222012121212()4()||441616y y y y y y y y y EH +-+=-==， ∴22212221201222||4248B B y y y y y y x x HD x +⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=-=212()16y y +=， ∴||1||EH HD =，即||||EH HD 的定值为1． 21．（本小题满分12分）设函数2()()ln f x x a x =-，()2ln 1ag x x x=+-． （1）设a ∈R ，讨论函数()g x 的单调性．（2）设1a >，求证：当(0,)x a ∈时，23()4(ln )f x a a <． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵22()x ag x x +'=，且定义域为(0,)+∞， 当0a ≥时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，()0g x '=，有2ax =-，当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0g x '<，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，∴()g x 在区间0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上，当a ≥时，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，()g x 在区间0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）∵1a >，由（1）可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∵()2ln()12ln()0ag a a a a=+-=>， (1)2ln1110g a a =+---<，∴存在唯一0x ，使得0()0g x =，且01x a <<， ∵()()()f x x a g x '=-， ∴()0f x '=有0x x =或x a =，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 在0(0,)x 上单调递增， 当0(,)x x a ∈时，()0f x '<，()f x 是0(,)x a 低调递减，∴()f x 在0x x =取得最大值，即为()f x 在区间(0,)a 的最大值， ∴2000()()()ln f x f x x a x <=-， ∵000()2ln 10ag x x x =+-=， ∴0002ln a x x x =+，代入22230000000000()()ln (2ln )ln 4ln f x x a x x x x x x x x =-=--=，∵2()ln h x x x =在(1,)+∞在单调递增，01x a <<，∴2333000()4ln 4(ln )f x x x a a =<，∴当(0,)x a ∈时，有23()4(ln )f x a a <．22．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数，且[0,π]α∈），曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-．（1）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程．（2）若P 是1C 上任意一点，过点P 的直线l 交2C 于点M ，N ，求||||PM PN ⋅的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）消去参数可得221x y +=，由[0,π]α∈，则11x -≤≤，01y ≤≤， ∴曲线1C 是221x y +=在x 轴上方的部分， ∴曲线1C 的极坐标方程为1(0π)ρθ=≤≤， 曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1x y ++=．（2）设20(,)P x y ，则001y ≤≤，直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为： {}00cos sin x x t y y t αα=+=+（t 为参数）， 代入2C 的直角坐标方程得2200(cos )(sin 1)1x t y t αα++++=， 由直线参数方程中t 的几何意义可知0|||||12|PM PN y ⋅=+， 因为201y ≤≤， ∴||||[1,3]PM PN ⋅=∈．23．已知函数()|2||1|f x x x =-++． （1）解关于x 的不等式()4f x x -≥．（2）a ，{}|()b y y f x ∈=，试比较2()a b +与4ab +的大小． 【答案】见解析．【解析】解：（1）当1x <-时，()12f x x =-，()4f x x -≥，即为124x x --≥，解得3x -≤，即为3x -≤，当12x -≤≤时，()3f x =，()4f x x -≥，即为34x -≥，解得1x ≥，即为12x ≤≤，当2x >时，()21f x x =-，()4f x x -≥，即为214x x --≥，解得53x ≥，即为2x >，综上可得，1x ≥或3x -≤． 则解集为(,3][1,)-∞-+∞ ．（2）由于()3f x ≥，则3a ≥，3b ≥，2()(4)224(2)(2)a b ab a ab b a b +-+=-+-=--，由于3a ≥，3b ≥，则20a ->，20b -<， 即有(2)(2)0a b --<， 则2()4a b ab +<+．。

天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试数学（文）试题第I 卷（共40 分）、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有2. 已知直线a,b 分别在两个不同的平面 :内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面:-和平1.设a,b 为实数， 若复数 a;;”，则（）A 3 .1代 a , b = B .a =3,b =1 C .a J,L D 2 22 2a 二 1,b 二3面一：相交”的（） A.充分不必耍条件 C.充要条件 3.下列命题中的假B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 是（）xA. -x 三 R2 0C.怡 R,lg X 0 ：:1— 2B . -x N , x T ］，0 D. X 。

：= R, tanx 。

=24.已知数列:a n ［中，耳=1,a ^a n n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10叽则判断框中应填的语句是（） 一项是符合题目要求的7.设抛物线y 2 =2x 的焦点为F ，过点M 3,0的直线与抛物线相交于A,B 两点，与抛物线的准线相较于点C , BF /，则.BC F 与 ACF 的面积之S ACF.（A.log 2 x ,0 : x ：：:28.已知函数f x =-•若存在实数v fsin -x |,2 兰x 兰10,x 1, x? ,x 3, x 4 f x 1 = f x 2 = f x 3 = f x 4 ，且 x^：： x 2 ::: x 3 ：：： %，贝y — -的取值范围是（ ） A. 9,21B .20,32 C. 8,24D .15,25第n 卷（共110分）二、填空题（每题 5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13. __________ 设全集 U =A u B =｛x €N * Igx d ｝，若 A C （C u B ） = ｛m m =2 n+1, n = 0,1,2,3,4｝，则集合 B = ____ .10. 已知直线I : y 二x • m,m ・R .若以点M 2,0为圆心的圆与直线I 相切于点P ,且点P 在y 轴上，则该圆的方程为 ____________ .11. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ______________ .A. n 10Bn <10C.n ：：：9D . n 岂 925.双曲线冷a 2它=1 a0,b 0的离心率是 22，则b 1的最小值为（）3a A. 1B.2C .兰D.乜336.已知£是 等差数列 :aj 的前n 项和，a=1,S 5=25 ,设T n 为数列q -1芦an ｝的前n 项和,则 T 2015 二( )A. 2014 B -2014 C . 2015 D . -201512. 若函数f x =logi：；：—x1 2 3 4x 5在区间3m-2,m 2内单调递增，则实数m的取值范闱2为13. 在平面直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2 y^1上相异三点，若存在正实数使得O^=ZO^ + MOB，贝U忙+(2—3$的取值范围是14. 已知函数f x =-x2 _2x , g x = x 4x'x 0，若方程g || f x^a=0的实根个数为x +1,x 兰04,则a的取值范围是_三、解答题 (本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c =「7,c二一.32若2sin A =3sin B，求a,b ;3若迹升乎，求sin2A.16. A, B是直线y =0与函数f x =2cos2—coS .x -1［门＞0图像的两个相邻的交点，且AB石.(1 )求••的值和函数f x的单调增区间;(2)将函数y二f x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移一个单位，得到函数y=g x的图象，求函数g x的对称轴方程.417. 某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售A B两种不同规格的胶合板。

北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期高三年级期中统一检测数学试卷（文史类） 2018．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{}01B x x =<≤，则AB =A.{|01}x x ≤≤B.{|01}x x <≤C.{|02}x x <≤D.∅2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A.2xy =B.||1y x =+C. 3y x =D.x y cos =3. 设平面向量(1,1)=a ，(1,2)=b ，k =+c a b ．若⊥a c ，则实数k 的值等于 A. 32B. 0C. 23-D. 32-4. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A. 10- B. 2- C. 2 D. 10（第4题图）5. 设a ，b 为非零向量，则“2b =a ”是“a b ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有以下四个命题： ①若,//m αβα⊥，则m β⊥ ②若,//m m n α⊥，则n α⊥ ③若,m m n α⊥⊥，则//n α ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ 其中真命题的序号为A.①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（第7题图）A. 43B ．2C ．83D ．68. 已知定义域为R 的奇函数()f x 的周期为2,且(0,1]x ∈时，12()log f x x =. 若函数()()sin2F x f x x =π-在区间[3,]m -（m ∈Z 且3m >-）上至少有5个零点，则m 的最小值为A. 2 B ．3 C ．4 D ．6俯视图正视图侧视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知π3(,0),sin 25αα∈-=-，则cos α= .10. 已知等差数列{}n a 的公差2d =，且满足734a a a =+，则1a =__________.11. 已知,x y 满足0,20,20,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值为 .12. 如图，甲、乙、丙三人在同一个圆形跑道上运动．计时开始时，甲、乙、丙分别从,,A B C 三点出发，三个人的前进方向相同，甲在乙后面13圈，乙在丙后面16圈．甲以13圈/分钟的速度慢跑，乙以14圈/分钟的速度快走，丙以16圈/分钟的速度慢走．那么，经过 分钟，甲和乙两人第一次相遇；30分钟之内，甲、乙、丙三人 （填“能”或“不能”）同时相遇．13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度y (单位：米)是时刻t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，记作()y f t =. 下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线()y f t =可以近似地看成函数sin y A t b ω=+ (0,0A ω>>)的图象.根据以上数据，函数()y f t =的近似表达式为 .丙14.已知函数()22xf x =-.（1）若2m ≥，则关于x 的方程()f x m =的根的个数为 ； （2）若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题满分13分）已知函数()2sin cos sin(2)3f x x x x π=-+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间.16. （本小题满分13分）设{}n a （*n ∈N ）是各项均为正数的等比数列，且2433,18a a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n n b a a =+，求12n b b b +++.18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，tan B =-8b =． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求点A 到边BC 的距离.19. （本小题满分13分）已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （Ⅰ）若3a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（Ⅲ）当x ∈()0,2时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求证：当π[0,]2x ∈时，()0f x ≥；（Ⅱ）设(),(0,)tan 2x g x x x π=∈． （i ）试判断函数()g x 的单调性并证明； （ii ）若()g x a <恒成立，求实数a 的最小值．北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期高三年级期中统一检测数学试卷（文史类）答案 2018．11二、填空题（本题满分30分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）1()sin 2sin 22f x x x x =--1sin22sin(2).3x x x =-π=-所以，()f x 的最小正周期为22T π==π.令22,32x k k ππ-=+π∈Z ，可得,12x k k 5π=+π∈Z ,所以，当,12x k k 5π=+π∈Z 时，()f x 取最大值1. …………8分（Ⅱ）由222,232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z 可得：,1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z ,所以()f x 的单调递增区间为[,],1212k k k π5ππ-π+∈Z . …………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为(0)q q >，则依题意，13211318a q a q a q =⎧⎨-=⎩，，解得11,3a q ==, 所以{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N . …………7分 （Ⅱ）因为13log 3(1)n n n n b a a n -=+=+-，所以123n b b b b ++++21(1333)[012(1)]n n -=+++++++++-13(1)132n n n --=+- 31(1)22n n n --=+. …………13分17. （本小题满分14分）BD O =连接EO ．（如图）因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 中点．又因为E 为PD 中点，所以//EO PB .因为PB ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以//PB 平面ACE ． …………9分 （Ⅲ）解：过点E 作EF AD ⊥于F ．因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAD ⊥平面ABCD . 因为平面PAD平面ABCD =AD ，且EF ⊂平面PAD，所以EF ⊥平面ABCD . 即EF 为三棱锥E ACD -的高， 且//EF PA ． 因为E 为PD 中点，所以12EF PA =． 又因为22PA AD AB ===，所以1EF =． 于是-PABCE P ABCD E ACD V V V -=-多面体四棱锥三棱锥1133ACD ABCD S PA S EF ∆=⋅⋅-⋅⋅四边形 111332AB AD AP AD CD EF =⨯⨯-⨯⨯⨯114112221113633=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=． ……………14分18. （本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为tan B =-sin cos BB=- 又22sin cos 1B B +=，B 为钝角，所以sin 7B =. 由sin sin a b A B ==7a =. …………7分 （Ⅱ）在△ABC 中，由tan 0B <知B 为钝角，所以1cos 7B =-. 11sin sin()sin cos cos sin ()72C A B A B A B =+=+=-+=, BEDPACOF点A 到BC 的距离为sin 8b C == …………13分 19. （本小题满分13分）解：（I ）当3a =时，32()21f x x x x =-++,2()341f x x x '=-+，(1)0f '=，(1)1f =,所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. …………4分 （Ⅱ）2()=(1)1f x ax a x '-++，1a ≥，依题意有()0f x '≥，即0∆≤， 2(1)40a a +-≤，解得1a = …………7分（Ⅲ）2()=(1)1=(1)(1)f x ax a x ax x '-++--，1a ≥.(1)1a =时，函数()f x 在R 上恒为增函数且(0)1f =，函数()f x 在()0,2上无零点. (2)1a >时：当1(0,)x a∈，()0f x '>，函数()f x 为增函数；当1(1)x a∈，，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(1,2)x ∈，()0f x '>，函数()f x 为增函数.由于2(2)103f a =+>，此时只需判定3(1)62a f =-+的符号：当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点；当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. …………13分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在区间(0,)2π上, 所以222()1cos sin 2sin 0f x x x x '=-+=>.即()f x 在[0,]2π上递增，所以()(0)0f x f ≥=. …………4分（Ⅱ）（i ）因为(0,)2x π∈，cos ()tan sin x x xg x x x ==, 所以22sin cos ()()sin sin x x x f x g x x x-'==-. 由（Ⅰ）知，当(0,)2x π∈时()0f x >，所以()0g x '<.所以()g x 在(0,)2π上递减. …………8分（ii ）依题意，0a >.令()tan ,[0,)2h x a x x x π=-∈,则222cos ()1cos cos a a xh x x x-'=-=. （1）若1a ≥，则当x ∈(0,)2π时，()0h x '>，则()h x 在[0,)2π上递增.即x ∈(0,)2π时，()(0)0h x h >=.则x ∈(0,)2π时，tan x a x <.即当x ∈(0,)2π时，tan x a x<恒成立.（2）若01a <<，令()0h x '=得2cos a x =.因为2cos y x =在(0,)2π上减，且2cos (0,1)x ∈， 所以方程2cos a x =在(0,)2π上恰有一个根，记为0x ，当0(0,)x x ∈时，()0h x '<; 当0(,)2x x π∈时，()0h x '>.所以()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)2x π上递增. 所以min 0()()(0)0h x h x h =<=. 此时()g x a <不恒成立.综上，a 的最小值为1. …………14分。