2020届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1A x x =≥，{}2B x x =≥-，则B A =R I ð（ ）A ．{}|21x x -<<B ．{}|21x x -≤<C ．{}|21x x -<≤D ．{}2|1x x -≤≤【答案】B【解析】先求集合A 的补集，再进行交集运算，即可得答案. 【详解】因为集合{}1A x x =≥，所以{|1}A x x =<R ð， 所以{}|21B A x x -=≤<R I ð. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力，属于基础题. 2．若复数i1ia z -=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得a 的值. 【详解】 因为i (i)(1i)(1)(1)i1i (1i)(1i)2a a a a z -----+===++-， 所以101a a -=⇒=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．已知1ln 2a =，1ln 2b =，12ec -=（其中e 为自然对数的底数），则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a <<D ．c b a <<【解析】引入中间变量0和1，易得1,0,01a b c ><<<，即可得到答案. 【详解】因为10ln 211ln 2<<⇒>，则1a >； 因为1lnln102<=，则0b <； 因为1020e e 1-<<=，则01c <<； 所以b c a <<. 故选：C 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小，考查数形结合思想的应用.4．已知平面向量a r 与b r满足)a =r ，4b =r ，且()2a b a -⊥r r r，则a b -=r r （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】对式子a b -r r进行平方，再将已知条件代入计算求解，即可得答案.【详解】因为)a =r ，所以24a =r， 因为()()22220a b b a a b a a a -⊥⇒-⋅=⋅⇒=r r r r r r r r r ，所以2222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 441616=-+=，所以4a b -=r r.故选：C 【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ） A ．58B ．18C ．56D ．16【解析】列出所有等可能结果，计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数，再利用古典概型概率计算公式求解. 【详解】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有： (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为58. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查基本运算求解能力，求解时注意区分有放回和无放回的区别.6．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆E ，则椭圆E 的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】B【解析】将点,22P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得2213124a b +=，结合离心率2c a =及222a b c =+，求得c 的值，即可得到答案.【详解】因为椭圆E 的离心率为2，所以2c a =，因为椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =， 所以焦距为22c =. 故选：B.本题考查椭圆的离心率及焦距的概念，考查基本运算求解能力，求解时注意焦距是2c 而不是c .7．已知函数()2cos2f x x x =+，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象．下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为[]1,1- C ．函数()g x 是奇函数 D ．其图象关于直线π2x =对称 【答案】D【解析】先通过平移得到()2cos2g x x =，再一一对照选项进行验证，即可得到答案. 【详解】对A ，因为()2cos2g x x =，所以222,2k x k k x k k Z ππππππ≤≤+⇒≤≤+∈，所以()g x 的递减区间为[,],2k k k Z πππ+∈，π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是递减区间的子区间，故A 错误； 对B ，因为π6π23x ≤≤，所以3ππ234x ≤≤，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为1[1,]2-，故B 错误；对C ，因为()()g x g x -=，所以函数为偶函数，故C 错误； 对D ，当π2x =时，π()2cos 22g π==-，故D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量x 而言的.8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则输出的n =（ ）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】C【解析】根据,a b 的输入值分别为6,2，1n =，执行程序中的循环结构，从而得到输出值n . 【详解】由题意得：,a b 的输入值分别为6,2，1,9,4n a b ===，272,,82n a b ===， 813,,164n a b ===，2434,,328n a b ===，此时，243328≤终止循环，输出4n =. 故选：C 【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会，考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力，求解时注意根据判断框的条件，得到何时终止循环. 9．函数()2sin cos x xf x x x=+在[]π,π-上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据函数为奇函数，排除B,C 选项，再根据(,0)x π∈-函数值的正负，排除D 选项，从而得到正确答案. 【详解】 因为()2sin()()cos()()x x f x f x x x ---==--+-，所以函数为奇函数，故排除B,C 选项；当(,0)x π∈-时，2sin 0,cos 0x x x x <+>，所以()0f x <，故排除D ；故选：A 【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项. 10．给出下列四个命题： ①0x ∃∈*N ，使得0πsin12x =； ②0a ≤是210ax ax +-<恒成立的充分条件； ③函数()ln x f x x =在点1e,e ⎛⎫⎪⎝⎭处不存在切线； ④函数()29ln f x x x =-存在零点． 其中正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】对①，存在01x =成立；对②，求出使210ax ax +-<恒成立的a 的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在性. 【详解】对①，当01x =时，πsin12=显然成立，故①正确； 对②，当210ax ax +-<恒成立时，0a =或20,40,a a a <⎧⎨∆=+<⎩解得：40a -<?，因为0a ≤推不出40a -<?，所以0a ≤不是210ax ax +-<恒成立的充分条件，故②错误；对③，因为'221ln 1ln ()x x x x f x x x ⋅--==，所以'()0f e =，所以切线方程为1y e=，故③错误；对④，因为()2110,()90f f e e =-<=->，所以函数在(1,)e 存在零点，故④正确；故选：B 【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11．在ABC ∆中，120ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的面积为BD 的最大值是（ ） A． BCD【答案】B【解析】将ABC ∆的面积分成两个小三角形面积和，得到关于BD 的方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，所以11sin 90sin 3022AB BD BD BC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=o o，即124BD BC AB =+，因为1822AB BC AB BC ⋅⋅⋅=⇒⋅=，所以1224BD BCAB =≤=+2,4AB BC ==. 故选：B 【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12．已知定义在R 上的连续函数()f x 满足()()4f x f x =-，且()20f -=，()f x '为函数()f x 的导函数，当2x <时，有()()0f x f x +'>，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（ ） A ．()0,6 B ．()2,0-C ．(),2-∞-D ．()(),20,6-∞-U【答案】D【解析】根据不等式构造函数()(),(2)xg x e f x x =<，再利用导数研究函数()g x 在(,2)-∞的单调性，再根据对称性得到()g x 的图象特征，将不等式()0x f x ⋅>化为：0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩即可得到答案. 【详解】()(),(2)x g x e f x x =<，()()()()()0x x x g x e f x e f x e f x f x ''⎡⎤=+=+>⎣⎦，()g x 在(,2)-∞单调递增，2(2)(2)0g e f -∴-=-=，∴当(,2)x ∈-∞-时，()0<g x ，当(2,2)x ∈-时，()0>g x ，又0x e >，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x <，当(2,2)x ∈-时，()0f x >， 又()f x 满足()()4f x f x =-，()f x ∴图象关于直线2x =对称，∴当(2,6)x ∈-时，()0f x >，当(,2)(6,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x <，不等式()0x f x ⋅>等价于0,()0,x f x <⎧⎨<⎩或0,()0,x f x >⎧⎨>⎩ 解得：()(),20,6x ∈-∞-U . 故选：D 【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数，再利用导数研究所构造函数的性质，进而求解不等式.二、填空题13．已知cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=__________． 【答案】34-【解析】∵cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭∴sin )24αα+=，即1cos sin 2αα+= ∴221cos sin sin 24ααα++= ∴3sin 24α=-故答案为34-. 14．已知函数{}n a 是公差为2-等差数列，若21a +，51a +，61a +成等比数列，则8a =________；【答案】4-【解析】利用等比中项性质得25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，再利用等差数列的通项公式求得1a ，进而得到8a 的值. 【详解】因为21a +，51a +，61a +成等比数列，所以25261)(1)(1)(a a a +=+⋅+，所以1112][14(2)25(21]())1[a a a +⋅--+⋅-=+++⋅，解得：110a =，所以817107(2)4a a d =+=+⋅-=-. 故答案为：4- 【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用，考查基本量法的运用.15．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为________； 【答案】16π【解析】根据三棱柱的特征，先确定其外接球球心的位置，再列出关于外接球半径R 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】设上下底面的外心分别为12,O O ，则球心O 为12O O 的中点，则121O O AA =，因为底面外接圆半径为12sin BC r A ==外接球的半径222111342R r AA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以外接球的表面积为：2416R ππ=. 故答案为：16π. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系，考查空间想象能力和运算求解能力.16．已知点1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为直线43x a =与双曲线C 的一个交点，若点A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．【解析】求出点4,3a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由点A 在以12F F 为直径的圆上得12F A F A ⊥，接着利用向量数量积为0，从而得到关于,a c 的方程，进而得到离心率. 【详解】设4,3a A y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=化简得2279y b =，由已知得12F A F A ⊥，则210F A A F ⋅=u u u r u u u u r.因为2144(,),(,),33a aF A c y F A c y =+=-u u u r u u u u r 所以2204444733339a c a c y a c a cb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+-+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭，又222+=a b c ，整理得：222229922a a c c e =⇒=⇒=，【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题17．国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-） （2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？【答案】（1）ˆ0.70.35.yx =-（2）1.75吨. 【解析】（1）直接利用最小二乘法求回归直线方程；（2）将8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗，从而求得生产能耗比技术改造前降低的吨数. 【详解】 (1)4567 2.534 4.55.5, 3.544x y ++++++====,414 2.553647 4.580.5,i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑42222214567126,ii x==+++=∑4142221480.54 5.5 3.50.7,1264 5.54ˆi ii i i x y xybx x ==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 3.50.7ˆˆ 5.50.35,ay bx =-=-⨯=- 则所求的方程为ˆ0.70.35.yx =- (2)把8x =代入回归方程可预测相应的生产能耗是0.780.35 5.25y =⨯-=吨，7 5.25 1.75-=吨， 所以，预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，考查数据处理能力和运算求解能力. 18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21,nn S a a n =⋅-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（2）11121n n T +=--【解析】（1）利用临差法得到12n n a a -=⋅，再根据11a S =求得1a =，从而求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=⋅()*,因为{}n a 是等比数列，所以121a a =-满足()*式，所以21a a -=，即1a =， 因此等比数列{}n a 的首项为1,公比为2,所以等比数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n nn n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以11121n n T +=--.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和，考查方程思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先对通项进行改写，再决定选用什么方法求和.19．如图，在几何体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为矩形，11AA CC P 且112AA CC =，E 为1AB 的中点．（1）求证：CE P 平面111A B C ；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，求三棱锥1E ACC -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 证明CE ∥C 1F ，即可证明线面平行；（2）根据三棱锥的等积法得11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===，即可求得答案.【详解】(1)证明 如图，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，∵E 为AB 1中点，∴EF//A 1A 且EF=12A 1A ， ∵AA 1∥CC 1且AA 1=2CC 1，∴EF//CC 1且EF =CC 1，即四边形EFC 1C 为平行四边形， ∴CE ∥C 1F .∵111CE A B C ⊄平面，1111C F A B C ⊂平面， ∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2) ∵平面AB B 1A 1⊥平面ABC ，交线为AB 又矩形AB B 1A 1中A A 1⊥AB ，∴AA 1⊥平面ABC ， ∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面ABC ，∵BB 1∥CC 1，111BB C AC ⊄平面，111CC C AC ⊂平面， ∴BB 1∥11C A C 平面，∴11111111222E ACC B ACC B ACC C ABC V V V V ----===11122222323=⨯⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20．已知抛物线C ：24y x =准线为l ，焦点为F ，点A 是抛物线C 上位于第一象限的动点，直线AO （O 为坐标原点）交l 于B 点，直线BF 交抛物线C 于D 、E 两点，M 为线段DE 中点．（1）若5AF =，求直线BF 的方程；（2）试问直线AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】（1）210x y --=（2）是，定值0【解析】（1）由AF =5及抛物线定义得A 点横坐标为4，求出直线 OA 的方程，进而求得(1,1)B --，利用点斜式方程即可得到直线B F 的方程；（2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --；由M 为线段DE 中点，得M 坐标为284(1,)k k+，将直线OA 的方程与抛物线方程联立可得244(,)A k k，计算直线AM 的斜率即可得到答案. 【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线为1x =-，C 的焦点为(1,0)F ， 由5AF =及抛物线定义得A 点横坐标为4，由A 点位于第一象限内且在抛物线C ：24y x =上得A 点坐标为(4,4)， 于是OA k =1，则直线OA 的方程为y x =，与准线1x =-联立解得(1,1)B --， 因此BF k =12，所以直线B F 的方程为1122y x =-，即210x y --=. （2）由已知直线OA 的斜率存在，设直线OA 的方程为y kx =，与准线1x =-联立 解得(1,)B k --，于是2BF kk =，由已知0k >，故设直线BF 的方程为21x y k=+，与24y x =联立并消去x 得， 2840y y k--=，其中264160k ∆=+>.设1122(,),,D x y E x y （），则128y y k +=，则212162x x k +=+ ， 由于M 为线段DE 中点，于是M 点坐标为284(1,)k k+， 直线OA 的方程0y kx k =>（），与24y x =联立解得244(,)A k k， 所以直线AM 的斜率为0，综上可知直线AM 的斜率为定值0. 【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，将点的坐标及斜率转化成用变量k 表示. 21．已知函数()ln af x x x=+，其中a R ∈． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试证明：()e cos x xf x x+<．【答案】（1）()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）证明见解析【解析】（1）对函数进行求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于ln 1e cos x x x x +<+，再对x 分成01x <≤和1x >两种情况讨论. 【详解】 （1）由 221()a x af x x x x-'=-=(0)x > 知： （i ）若0a ≤，2()0(0)x af x x x-'=>>，∴ ()f x 在区间()0,∞+上为增函数． （ii ）若0a >，∴当x ∈()0,a 时，有()0f x '<，∴ ()f x 在区间()0,a 上为减函数． 当x ∈(),a +∞时，有()0f x '>，∴ ()f x 在区间(),a +∞上为增函数． 综上：当0a ≤时，()f x 在区间()0,∞+上为增函数；当0a >时，()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．（2）若1a =，则1()ln (0)f x x x x=+>要证e cos ()x xf x x+<，只需证ln 1e cos x x x x +<+，即证：ln e cos 1x x x x <+-.（i ）当01x <≤时，ln 0x x ≤，而e cos 11cos11cos10x x +->+-=> ∴此时ln <e cos 1x x x x +-成立.（ii ）当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，()0,x ∈+∞， ∵ ()e sin ln 1x g x x x '=---， 设()()e sin ln 1x h x g x x x '==---，则 1()e cos xh x x x'=--Q 1x >，∴1()e cos e 110x h x x x'=-->-->∴当1x >时，()h x 单调递增，∴()(1)e sin110h x h >=-->，即()0g x '> ∴()g x 在()1,+∞单调递增，∴()(1)e cos110g x g >=+-> 即()e cos ln 10x g x x x x =+-->，即ln <e cos 1x x x x +-，∴e cos ()<x xf x x+综上：当0x >时，有e cos ()<x xf x x+成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.22．在平面直角坐标系中xOy ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l πcos 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为：()2cos sin ,cos sin ,x y αααα⎧=+⎨=-⎩（α为参数），A ，B 为直线l 上距离为2的两动点，点P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程． （2）求PAB △面积的最大值．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y +-=,曲线C 的普通方程为22182x y +=（22【解析】（1）直线lcos()14πθ-=利用两角差的余弦公式展开，再利用公式cos ,sin x y ρθρθ==，将方程化成普通方程形式；对曲线C 的参数α进行消参，从而得到普通方程；（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题. 【详解】（1）直线lcos()14πθ-=化成cos sin 1ρθρθ+=，Q cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=，曲线C 的参数方程化成：cos sin ,(2cos sin xy ααααα⎧=+⎪⎨⎪=-⎩为参数）. 平方相加得2224x y +=，即22182x y +=（2）设点P (2cos 2sin ,cos sin )αααα+-，则P 到直线l 的距离为：d==，当sin()1αϕ+=-时，max d =设PAB ∆的面积为S，则max 12S AB =⨯⨯=【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力. 23．已知函数()2f x x t =+，若()1f x <的解集为()1,0-．（1）求t 并解不等式()2f x x >+；（2）已知：,a b R +∈，若()222f x a b x ≥+--对一切实数都成立，求证：21a b ≤． 【答案】（1）1t =，不等式解集为(,1)(1,)-∞-+∞U （2）证明见解析【解析】（1）根据不等式的解集，可得1t =，再利用分类讨论求解绝对值不等式； （2）由21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立，即min 2(2122)a b x x +≤++-将问题转化为证明23()13a ab a b ++≤≤成立. 【详解】（1）由()1f x <可得：121x t -<+<，即1122t tx +--<<， 解集为(1,0)-，所以1t =.当21x ≥-时，不等式()2f x x >+化成212x x +>+，解得：1x > 当21x <-时，不等式()2f x x >+化成212x x -->+，解得：1x <-综上所述，解集为(,1)(1,)-∞-+∞U …（2）由题意得21222x x a b ++-≥+对一切实数x 恒成立， 从而min 2(2122)a b x x +≤++-，2122(21)(22)3x x x x ++-≥+--=Q ， 2122x x ∴++-的最小值为3.∴23a b +≤，又,a b R +∈， ∴23()13a ab a b ++≤≤. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
