三角函数的图像练习归纳

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2
3
11 2
6
x
-1 -
(3 ,1)
2
0,0
( ,1) ,0 2
(3 ,1) 2 ,0 2
五点：最高点，最低点， x轴的交点
找到这五个关键点就可以画正 弦函数曲线了
新知探究
y cosx, x 0,2
解： （1）列表 x cosx
y 1
O
-1
2
0
2
π
3
2
2π
10
−1 0
1
3
2
2
x
y = cos x , x ∈ [ 0 , 2 ]
当x=2kπ + π, k ∈ Z时，有ymin=−1
新知探究
议 一 议
对比正弦函数性质的研究，我们应该研究余弦函数的哪些性质？
(3)周期性： T=2π
(4)奇偶性： 偶函数 (5)单调性： 2k − 1 π，2kπ k ∈ Z ,增函数
2kπ, 2k + 1 π k ∈ Z ，减函数
新知探究 余弦函数的性质？
第 五 章 三角函数 5.8 余弦函数的图像和性质
余弦函数的图像和性质
情境 引入
新知探 究
例题解 析
巩固练 习
归纳小 结
布置作 业
情景引入
上节课我们学习了用“五点法”做正弦函数图像，请同学们回忆一下是哪五点？
y
( ,1)
2
1-
0,0
,0
2 ,0
-1
o 6
-
3
2
2 3
5
6
7 6
4 3
3 5
（1）cos 198∘与 cos 199∘ ;

3、三角形面积公式：
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2

学生教案教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 第（ ）次课阶段基础（ √ ） 提高（）强化（1、 熟记诱导公式及其运用； 2、 熟悉三角函数的图像及其单调性；）课时计划 共（ ）次课教学目标3、 熟悉 y  Asin(x   )( A  0，  0) 的图像及其变化1、 重难点 2、诱导公式及三角函数的关系； 三角函数图像的变化与三角函数的关系；课后作业：教师评语 及建议：科组长签名学生教案诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限” 。

诱导公式一： sin(  2k )  sin  ， 诱导公式二： sin(180   )   sin  ； 诱导公式三： sin( )   sin  ； 诱导公式四： sin(180   )  sin  ； 诱导公式五： sin(360   )   sin  ； － sin cos －sin  cos cos(  2k )  cos  ，其中 k  Zc o s ( 1 8 0  )c o s cos( )  cos cos(180   )   cos c o s ( 3 6 0  )  cos2  －sin  cos  sin  －cos  －cos  －sin 2k   k  Z cos  sin 2cos  sin （1）要化的角的形式为 k 180   （ k 为常整数） ； （2）记忆方法： “函数名不变，符号看象限” ； 知识点一 、诱导公式的的直接运用 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？ ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化大于 2 π 的正角的三角函数为 0～ 2 π 内的三角函数； ③化 0～ 2 π 内的三角函数为锐角的三角函数．1 例 1、：已知  是第三象限的角且 sin    ，求 sin( π   ) ， sin(  π) 3变式 1、cos150 °的 值 为 （）2、下 列 各 数 中 ， 与 cos1030 °相 等 的 是 （A ． cos50 ° B ． -cos50 °） C ． sin50 ° D ． -sin50 °3、学生教案4、5、诱 导 公 式 tan （ n π - α ） = （A ． -tan α C ． ± tan α） （ 其 中 n∈ Z） B ． tan α D． 与 n 的 值 为 奇 偶 数 有 关6、 例 2、、已知 cos  , 且 1 32   0, 求sin(   )  sin(2   ) 的值 cos( )  tan变式练习 1、2、例题 3、变式练习 1、学生教案2、3、配凑角 例题 4、已知 sin(π 1 5π   )  ，求 sin(   ) 的值. 6 3 6变式练习1、2、汇总练习 1 选择题 （1） 1  sin 2 678 =（ （A）sin42° （2）计算 （A）0 （3）cos( π +α )= A.  ） （C）sin21° ） （C）-1 （D）2 ) D.  （D）cos21°（B）cos42° sin(  )  sin() 的值为（ tan(  )（B）11 3π  α  2 π ，则 sin(2 π -α )等于( ， 2 2B.3 23 2C.1 23 2学生教案cos(  ) sin 2 (  3) （4）化简 的结果是（ tan(  4) tan(  ) cos3 (  )（A）1 （5）已知α ∈  （B）0 （C）－1）（D）1 2）3  π 3π  ,  , tan(α -9 π )=- ,则 sin α +cosα 等于（ 4 2 2 B．-A．-1 53 5C．1 5D．±1 52、计算 tan 37π 55π  35π   46π  的值． tan  sin    cos 6 6  6   3 3、化简：sin(5400  x) 1 cos(3600  x)   sin( x) tan( 9000  x) tan(4500  x) tan( 8100  x)正弦、余弦、正切函数的图象和性质函数 正弦函数 余弦函数 正切函数图象定义域 值域 周期性 奇偶性R [-1，1] 周期为 2π 奇函数R [-1，1] 周期为 2π 偶函数    x | x   k , k  Z  2  R 周期为π 奇函数学生教案在每一个闭区间在每一个闭区间    － 2  2k , 2  2k  上都  是增函数； 单调性 在每一个闭区间3    2  2k , 2  2k  上都  （k  Z） 是减函数 2k－1）， （ 2k 上都是增在每一个开区间 函数； 在每一个闭区间    －  k ,  k  上都是 2  2 （k  Z） 增函数2k（ , 2k＋ 1 ）  上都是减（k  Z） 函数当 x    2k , k  Z 时，y2当 x  2k , k  Z 时， y取 得最大值 1；当 无最大值，也无 最小值取得最大值 1；当 最值x2 2k , k  Z 时， x    2k , k  Z 时，y取得最小值-1． 既是中心对称图形， 对称中y 取得最小值-1． 既是中心对称图形， 对称中 心为 k ,0, (k  Z ) ； 又是 对称性 轴对称图形， 对称轴为直线  心为    k ,0 , (k  Z ) ； 2 又是轴对称图形， 对称轴为是中心对称图形， 对称中心 为 k ,0, (k  Z )x2 k , ( k  Z )x  k , (k  Z )2．图象画法：①“几何描点法”——借助三角函数线；②“五点作图法”――抓住五 个关键点． 3．周期函数定义：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 ．．．．T，使得当 x 取定义 域内的每一个 值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这 ．．． 个函数的周期．对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．学生教案知识点 1 正弦、余弦图像、正切图形 例 题 1、变式练习 1 、 已 知 a 是 实 数 ， 则 函 数 f （ x ） =acosax 的 图 象 可 能 是 （ ）A．B．C．D．2 、 已 知 函 数 f （ x ） =x 2 sinx ， 则 f （ x ） 在 [-2 π ， 2 π ] 上 的 大 致 图 象 是 （）A．B．C．D．3、学生教案例题变式练习1 、 函 数 y=1+cosx 的 图 象 （ A． 关 于 x 轴 对 称 ） B． 关 于 y 轴 对 称 D ． 关 于 直 线 x= C． 关 于 原 点 对 称π 2对称 ）2、已 知 a 是 实 数 ， 则 函 数 f （ x ） =acosax 的 图 象 可 能 是 （A．B．C．D．知识点二 正余弦图像性质(正切图像对图像进行分析主要突出定义域和单调区间的不同) 三角函数周期例题 1、变式练习1、D． A． 4π B． 2π C． ππ 22、函 数 y=sin3x 的 最 小 正 周 期 是 （）学生教案3、例题 2、变式练习1、2、函 数 f （ x ） =Asin （ ω x+ θ ） （ A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ） 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 f （ 1 ）+f （ 2 ） + „ +f （ 2011 ） 的 值 为 （ ）三角函数奇偶性 例题 1、函 数 y=-sin2x ， x ∈ R 是 （ A． 最 小 正 周 期 为 π 的 奇 函 数 B． 最 小 正 周 期 为 π 的 偶 函 数 C． 最 小 正 周 期 为 2π 的 奇 函 数 D． 最 小 正 周 期 为 2π 的 偶 函 数 ）学生教案例题 2变式练习 1 、2 、三角函数定义域与值域 例题 1、若 三 角 方 程 sinx=0 与 sin2x=0 的 解 集 分 别 为 E ， F ， 则 （A． E⊊F B． E⊋F C ． E=F ） D ． E ∩ F= ∅变式练习 1、 值域 例题 1、函 数 y=sinx 的 最 大 值 是 （ A ． -1 B． 0 ） C． 1 D． 2变式 2、3、 4、学生教案三角函数的单调性例题 1、1、2、下 列 函 数 中 在 区 间 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 的 是 （A ． y=sinx B ． y=-x 2 C ． y=e - x） D ． y=x 33、4、5、学生教案6、对称性例题 1、变式练习 1 、复合函数求单调性、最值、等问题例题 1、变式 1、求上式子的最值及其对应的 x，对称轴、对称中心、变式 2、学生教案变式 3变式 4、变式 5提高例 2、变式1、学生教案2、3、4、函数 y  Asin(x   )( A  0，  0) 的图象要点归纳 1．函数 y  Asin(x   )( A  0，  0) 的相关概念： A——振幅， T＝2——周期， f＝1 ——频率， x   ——相位，  ——初相 T2．函数 y  Asin(x   )( A  0，  0) 的图象： 3 （1）五点作图法：令 x    0， ，， ， 2 从而得到 x、y 的值进而找出关键点． 2 2知识点一、五点做函数图像学生教案例 1、例2变式练习 1 、2、学生教案知识点二、图像的变化（通过简单作图分析 A 、  、  对图像的影响） （2）图象变换法 y=sinx x  [0,2 ]向左(φ>0)或 向右(φ<0)平 移|φ|个单位 横坐标不变，纵坐 标变为原来的 A 倍y=sin(x+φ) x  [ ,2   ]纵坐标不变，横坐 标变为原来的y=sin(ωx+φ)x  [1倍 2   , ]  y=Asin(ωx+φ) 2   x  [ , ]  扩展(每次平移2个单位长度)y=Asin(ωx+φ) x∈ R例 题1 、变式1、学生教案4、5、6、提高学生教案知识点三 观察图像求解析式 例题 1、例2、变式练习 1、2、学生教案2、3、4、学生教案5、6、7、提高备注：请加封面。

新高考三角函数知识点归纳总结三角函数在新高考数学考试中扮演着重要的角色。

掌握三角函数的相关知识点，不仅可以帮助我们解决各类与角度、长度及图形性质相关的问题，还能够为以后的高等数学学习打下坚实的基础。

本文将对新高考中的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。

一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的函数，表示角与某一边的长度的比值。

1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(A) = a/c。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，即tan(A) = a/b。

此外，我们还需了解三角函数在单位圆上的定义和性质：4. 单位圆的角度：单位圆的半径为1，角度以弧度制表示，其中360°等于2π弧度。

5. 弧度与角度的转换关系：1弧度约等于57.3°，即1弧度≈ 57.3°。

6. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

二、三角函数的基本关系及推导1. 三角函数之间的基本关系：根据三角恒等式，我们可以推导出三角函数之间的基本关系。

例如，sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA等。

2. 三角函数的和差化积公式：通过和差化积公式，我们可以将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的乘积。

三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复。

2. 余弦函数的图像和性质：余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复，与正弦函数的图像相位差90°。

3. 正切函数的图像和性质：正切函数的图像有无数个渐近线，它在每个π的整数倍处有一个垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处有一个水平渐近线。