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浅谈分块矩阵在行列式中的应用

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浅谈分块矩阵在行列式中的应用

引言:在行列式的计算中,计算方法不胜枚举,它们都是以整个行列式为对象，计算不免有些麻烦，我们能否将其分成若干块，即分块矩阵来计算整个行列式的值呢？满足这种情况的行列式有怎样特殊的性质呢？

我们知道行列式有如下性质：

① 行列式的某一行加上另一行的k倍，行列式的值不变。（性质6）

② 用一个数乘以行列式等于行列式的某一行或某一列。（性质2）

③ 互换行列式中两行的位置，行列式反号。（性质4）

在课本中我们计算过1112212211121112212221220000aaaaDccbbccbb的值。

通过按某行某列展开可得1112111221222122aabbDaabb，若设

1112111211212221222122,,aabbccABCaabbcc，则有

0ADABCB

后又推广为1111111111110000kkkkklllklllaaaaDccbbccbb=11111111klklllaabbaabb

这里我们已经运用了分块矩阵的思想，下面来介绍分块矩阵的某些性质。

设方阵A是由如下分块矩阵组成

123123123AAAABBBCCC

其中,,1,2,3iiiABCi都是s阶矩阵，又M是任一s阶方阵

性质1： 若 123112233123AAADBMCBMCBMCCCC , 则

DA

证明：

由行列式的性质得DA

性质2:若123123123AAABMBMBMBCCC， 则有BMA.

证明：此性质就相当于行列式的性质2.

123123123000000sSEAAABMBBBECCC

BMA

性质3：设123123123BBBAAAACCC， 则有

,2,21AsmAAsm，m为自然数。

依据行列式的性质4，可得证。

计算行列式0000xyzxzyDyzxzyx.

解：设00xAx，yzBzy

则ABDBA

0ABABBABBBABAAAB

ABAB 这里的,AB可推广为任一n阶矩阵.

yxzyxzDxzyxzy=2222()yxyyxz

=()()()()xyzxyzxyzxyz

证明:设,,,ABCD都是n阶方阵,其中0,A并且ACCA,则有

ABADCBCD.

证明:由性质可得

111()()0ABABABCDCCAADCABDCAB

1(ADCAB

又ACCA

ABADCBCD

故得证。

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分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用

分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用

分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用

林瑾瑜

【期刊名称】《广东广播电视大学学报》

【年(卷),期】2006(15)2

【摘 要】从行列式的性质出发,推导出分块矩阵的若干性质,并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.

【总页数】4页(P109-112)

【作 者】林瑾瑜

【作者单位】广东省揭阳市广播电视大学,广东揭阳,522000

【正文语种】中 文

【中图分类】O1

【相关文献】

1.分块矩阵的初等变换在行列式中的应用 [J], 李守金;郭秀刚;牟树杰

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3.矩阵分块在行列式计算中的运用 [J], 彭丽清

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副对角分块矩阵的行列式

副对角分块矩阵的行列式

副对角分块矩阵的行列式

矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数个数排成的矩形阵列。在矩阵中，行列式是一个非常重要的概念，它可以用来判断矩阵是否可逆，从而解决线性方程组的问题。本文将介绍副对角分块矩阵的行列式，希望能够帮助读者更好地理解行列式的概念。

一、副对角分块矩阵的定义

副对角分块矩阵是一种特殊的矩阵，它由多个子矩阵组成，其中每个子矩阵都是一个对角矩阵。对于一个n阶副对角分块矩阵A，它可以表示为：

A = [A1 0 0 ... 0

0 A2 0 ... 0

0 0 A3 ... 0

... ... ... ...

0 0 0 ... An]

其中，A1、A2、A3、...、An都是对角矩阵，0表示一个全零矩阵。

二、对于一个n阶副对角分块矩阵A，它的行列式可以表示为：

det(A) = det(A1) * det(A2) * det(A3) * ... * det(An)

其中，det(Ai)表示第i个对角矩阵的行列式。

证明如下：

由于A是一个副对角分块矩阵，所以它可以表示为：

A = [A1 0 0 ... 0

0 A2 0 ... 0

0 0 A3 ... 0

... ... ... ...

0 0 0 ... An]

对于一个对角矩阵Ai，它的行列式可以表示为：

det(Ai) = a1i * a2i * a3i * ... * ani

其中，aij表示Ai的第i行第j列元素。

将det(Ai)代入det(A)中，得到：

det(A) = det(A1) * det(A2) * det(A3) * ... * det(An)

= (a11 * a22 * a33 * ... * ann) * (b11 * b22 * b33 * ... * bnn) * ...

(z11 * z22 * z33 * ... * znn)

基于一些特殊分块矩阵的行列式的研究

基于一些特殊分块矩阵的行列式的研究

４８　数学教学研究　第２９卷第ｌ２期２０１０年ｌ２月　基于一些特殊分块矩阵的行列式的研究　耿丽芳　ｔ晋中师范高等专科学校。山西晋中０３０６００）　摘要：该文利用拉普拉斯辰开定理以及行列式的性质得出了一些特殊分块矩阵的行列式．并举例　说明它们在计算和证明当中的应用．　关键词：分块矩阵；行列式；拉普拉斯定理　中图分类号：（）ｌ５１．２　矩阵＿Ａ用替干条纵线和横线分成许多　个小矩阵，每一个小矩阵称为Ａ的子块，以　子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵　分块矩阵在矩阵理沦中起着一卜分重要的作　用，ｌｊ亡其是对于行数和列数较高的矩阵，通过　矩阵分块洼．町以使人矩阵的运算转化为小　阵的运算．冬殳卡ｌＪ川托　拉斯展开定理以　及行列式的性质，得出一蝼特殊分块矩阵的　行列式公式，并举例说明这些公式在计算和　证明当中的应用．　１　引理　引理　（拉普拉斯展开定理）在，ｚ阶行列　式Ｄ中任取走行（１≤是≤７ｚ—１）（或壶列），由　这是行（或是列）所组成的一切忌级子式与它　们的代数余子式的乘积的和等于行列式Ｄ．　２定理及其证明　定理１　设Ａ与Ｄ分别为　阶与”阶　Ｉ　Ａ　Ｂ｝　可逆阵，则Ｉ（　Ｄ　Ｉ一｝Ａ　ｌ　ｌ　Ｄ～ＣＡ‘Ｂ　ｌ　ｉ　Ｄ　Ｉ　ＩＡ—ＢＤ’ｃ　１．　证明　当Ａ可逆时，因为　ｒ　Ｅ　０］　Ａ　Ｂ］　ｌ—ＣＡ　Ｅｊ　ｌｃ　Ｄｊ　：＝＝［Ａ０　Ｄ—ＣＢＡ。Ｂ］，　Ｌ　一　。　ｊ　两边取行列式得　｛Ａｃ三Ｉ＝：ｌ　Ａ　。一ＣＡ－ｉ　Ｂ一；　ｃ　，　收稿日期：２０１０—１１—１０　当Ｄ面】逆时，因为　ｒｚ－－ＢＤ～　］『Ａ　Ｂ］　ｏ　Ｅ　儿ｃ　Ｄ　Ｊ　ｒＡ—ＢＤ　（　０］　一ｌ　Ｃ　Ｄ　Ｊ’　两边取行列式得　ｌ　Ａ　Ｈ　ｌ　ｆ（　Ｄ　ｌ—ｔ　Ｄ　Ｉ　ｌＡ—ＢＤ　ｃＩ・　（２）　联系（１）、（２）得证．　定理２设Ｂ与Ｃ分别为　阶与　阶可　逆阵，则ｆ　三ｆ—ｃ一　）一ＩｃＩ　ＩＢ－ＡＣ－．１Ｄｌ　一（一１）　ｌ　Ｂ　Ｉ　Ｉ　ｃ—ＤＢ　Ａ　Ｉ．　证明　当Ｃ可逆时，因为　Ｅ　—Ａｃ　］『Ａ　Ｂ］　ｌ　ｏ　Ｅ　儿ｃ　Ｄ　Ｊ　一［Ｃ。Ｂ～ＡＤｃ　。］Ｉ，　Ｌ　两边取行列式得　｝Ａｃ三Ｉ—ｃ一　ｃ－ｔ　Ｂ—Ａｃ　。Ｉ；ｃｓ，　当Ｂ可逆时，因为　ｒ　Ｅ　０］ｒＡ　Ｂ］　Ｉ　『ｌ　Ｉ　Ｌ—ＤＢ　Ｅ儿Ｃ　Ｄ＿Ｊ　广　Ａ　Ｒ］　一ＬＣ－－Ｄ　Ａ　ｏｊ，　

分块矩阵行列式的两种算法

分块矩阵行列式的两种算法

分块矩阵行列式的两种算法

一、分块矩阵行列式的定义

分块矩阵行列式是指将一个矩阵按照某种规则进行划分，然后计算各个分块的行列式，最后组合起来得到的行列式。分块矩阵行列式的计算有两种算法，分别是按行展开法和按列展开法。

二、按行展开法

按行展开法是指将矩阵的行按照一定的顺序展开，然后计算每个展开式的行列式，最后求和得到整个矩阵的行列式。按行展开法的算法步骤如下：

1. 将矩阵按行划分为若干个分块，记作A1, A2, ..., An；

2. 对每个分块Ai，计算其行列式|Ai|；

3. 将每个分块的行列式与对应的代数余子式相乘，得到展开式；

4. 将展开式中的所有项相加，得到矩阵的行列式。

按行展开法的优点是计算简单，只需要计算每个分块的行列式即可。但缺点是分块的顺序会影响最终结果，因此需要选择合适的分块方式。

三、按列展开法

按列展开法是指将矩阵的列按照一定的顺序展开，然后计算每个展开式的行列式，最后求和得到整个矩阵的行列式。按列展开法的算法步骤如下：

1. 将矩阵按列划分为若干个分块，记作B1, B2, ..., Bn；

2. 对每个分块Bi，计算其行列式|Bi|；

3. 将每个分块的行列式与对应的代数余子式相乘，得到展开式；

4. 将展开式中的所有项相加，得到矩阵的行列式。

按列展开法的优点是分块的顺序不会影响最终结果，因此更加灵活。但缺点是计算量较大，需要计算每个分块的行列式。

四、分块矩阵行列式的应用

分块矩阵行列式在线性代数中有广泛的应用，特别是在矩阵的特征值和特征向量的计算中。通过对矩阵进行适当的分块，可以简化计算过程，提高计算效率。

分块矩阵行列式还可以用于解决一些特定的问题，如线性方程组的求解、矩阵的相似变换等。通过将矩阵按行或列进行分块，可以将复杂的计算问题转化为简单的计算步骤，从而得到更加简洁和直观的解决方法。

五、总结

分块矩阵行列式是一种重要的行列式计算方法，通过将矩阵按行或列进行分块，可以简化计算过程，提高计算效率。按行展开法和按列展开法是两种常用的计算算法，各有优缺点。分块矩阵行列式在线性代数中有广泛的应用，可以用于解决一些特定的问题，提供简洁和直观的解决方法。在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的分块方式和计算算法，可以更好地利用分块矩阵行列式的优势。