【高二数学期末试题】四川省宜宾市2014-2015学年高二上学期期末考试数学文试题

2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．13985．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：．12．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是个．13．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是万元．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．2014-2015学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：因为直线x+y﹣1=0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα=﹣，α=120°故选：C．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）某个小组7个人在一项技能测试后的成绩统计结果是平均分为75分，标准差为10．其中：同学甲因生病没有正常发挥出自己的水平，只得分50分；同时，同学乙则超常发挥了，得分100分．正常情况下，这两位同学得分在75分左右，如果将这两位同学的成绩都改为75分，则（）A．平均分不变，标准差缩小B．平均分不变，标准差扩大C．平均分增大，方差缩小D．平均分减小，方差扩大【解答】解：设其他5个同学的成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5；则本次测试的平均分是=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75，方差是s2=[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=102=100；修改数据后，测试成绩的平均分是=（75+75+x1+x2+x3+x4+x5）=（50+100+x1+x2+x3+x4+x5）=75=，方差为s′2=[（75﹣75）2+（75﹣75）2++…+]=[+…+]＜[（50﹣75）2+（100﹣75）2++…+]=100=s2；∴s′＜s．故选：A．4．（5分）设f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x，用秦九韶算法求f（2）的值为（）A．147B．294C．699D．1398【解答】解：∵f（x）=15x5﹣24x4+33x3﹣42x2+51x=（（（（15x﹣24）x+33）x﹣42）x+51）x，∴v0=15，v1=15×2﹣24=6，v2=6×2+33=45，v3=45×2﹣42=48，v4=48×2+51=147，v5=147×2=294．故选：B．5．（5分）给出一下四个命题（）①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则直线l平行于平面α②平面α外有三个不共线的点到面α的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面α③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行其中真命题有（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．③④【解答】解：①平面α外的一条直线l上有两个不同点到平面α的距离相等，则如果两点在平面α同侧，则l∥α；如果两点在平面α异侧，则l与α相交，故错误；②当平面α与平面β相交时，α内在平面β的两侧存在三点到平面β的距离相等，故错误；③正方体从同一顶点出发的三条直线，即可判断空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，正确；④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交，故正确，故选：D．6．（5分）从四面体的四个面中任意取出一个面，这个面的形状恰好为直角三角形的概率最大值为（）A．1B．C．D．【解答】解：如图所示，四面体V﹣ABC中，面VAB，面VAC，面VBC与面ABC都是直角三角形，∴从这个四面体的四个面中任意取出一个面，这个面恰好为直角三角形的概率是=1．故选：A．7．（5分）如图的语句是求S=1+2+3+…+100的一个程序，语句i=i+1应当在这个程序中的①②③④四处的哪一处才能实现上述功能（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵程序运行后输出“1+2+…+100”，∴每次累加的值都增大1，∴用i来进行计数增大，则i=i+1，又S表示的是依次累加的值，∴S=S+i，模拟运算如下：S=0，i=1，此时i=1≤100，S=0+1=1，i=1+1=2，此时i=2≤100，S=1+2，i=2+1=3，此时i=3≤100，依次运行，…，S=1+2+…+99，i=99+1=100，此时i=100≤100，S=1+2+…+100，i=100+1=101，此时i=101＞100，不符合条件，运行结束，输出S=1+2+ (100)所以i=i+1应在③处．故选：C．8．（5分）已知区域A={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，区域B={（x，y）|（x﹣1）2+（y+1）2≤4}，在区域A上取一个点P，点P不在区域B上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：A={（x，y）||x|≤1，|y≤|1}对应的区域为矩正方形，面积S=2×2=4，区域B对应的区域为阴影部分，对应的面积S=4﹣π，如图，则若向区域A内随机取一点P，由几何概型公式得，点P不落入区域A的概率P=；故选：B．9．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在x∈[0，2）时，f（x）=，若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由kx﹣y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0），则直线过定点A（﹣1，0），当x∈[0，2）时，f（x）=，即（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），对应的根据为圆心在（1，0）的上半圆，∵f（x）满足f（x+2）=f（x），∴当x∈[2，4）时，（x﹣3）2+y2=1，（y≥0），此时圆心为（3，0），当直线和圆（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有2个交点，此时圆心（1，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．当线和圆（x﹣3）2+y2=1，（y≥0）相切时此时有4个交点，此时圆心（3，0）到直线的距离d=，解得k=或k=﹣（舍）．若若直线kx﹣y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，则直线在AB和AC之间，则＜k＜，故选：A．10．（5分）设点A（1，﹣1），B（0，1），C（1，1），直线l：ax+by=1，已知直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，则z=2a+b的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【解答】解：如图，将直线改l：ax+by=1写为ax+by﹣1=0，直线l与线段AB（不含B点）无公共点，且直线l与包含端点的线段AC有公共点，得，画出可行域如图，化z=2a+b为b=﹣2a+z，由图可知，当直线b=﹣2a+z过（0，1）时直线在b轴上的截距最小，为z=2×0+1=1．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则命题￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．【解答】解：命题是全称命题，则￢p为：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1≤012．（5分）某班有男生30人，女生25人，男女生体育活动量和活动强度明显不同，为调查体育活动景和活动强度对于男生和女生的区别等相关情况，决定在这个班按恰当的方式抽取一个容量为11的样本调查，应当抽取的女生人数是5个．【解答】解：由分层抽样可得应当抽取的女生人数是，故答案为：513．（5分）已知两个圆的圆心都在直线x﹣y+1=0上且相交于两个不同的点，若其中一个交点的坐标为A（﹣2，2），则另一个交点的坐标是（1，﹣1）．【解答】解：由题意可得另一个交点B是点A（﹣2，2）关于直线x﹣y+1=0的对称点，设点B（m，n），则由，求得，故点B的坐标为（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．14．（5分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费y（万元）有如下的统计资料：由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计，使用年限为10年时的维修费是11.84万元．【解答】解：∵由表格可知=4，=5，∴这组数据的样本中心点是（4，5），根据样本中心点在线性回归直线上，∴5=a+1.14×4，∴a=0.44，∴这组数据对应的线性回归方程是y=1.14x+0.44，∵x=10，∴y=1.14×10+0.44=11.84，故答案为：11.84．15．（5分）四面体ABCD中，AD=x，其余各棱长均为2，给出下列论断①x的取值范围是（0，）；②异面直线AB与CD成角最大为90°；③直线AB与平面BCD成角最大为60°；④体积最大时，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2．其中正确的命题有①②③④（写出所有正确命题的序号）【解答】解：对于①，如图，四面体ABCD中，AD=AC=DC=BD=BC=2，取CD中点G，连结AG，BG，在等边三角形ACD和等边三角形BCD中，可求得AG=BG=，∴要构成四面体ABCD，A，B不能重合，即x＞0，点A不能在平面BCD上，即AB＜AG+BG，x＜2．∴①正确；对于②，因为异面直线所成角的最大值是90°，当x=2时几何体是正四面体，异面直线AB⊥CD，异面直线AB与CD成角最大为90°．∴②正确．对于③，当侧面ABC与底面BCD垂直时，AB与底面BDC所成角取得最大值，三角形ABC是正三角形，所以最大值为60°，∴③正确．对于④，当侧面ABC与底面BCD垂直时，A到底面BCD的距离最大，底面BCD 面积是定值，此时体积最大，如图，作AO⊥BC于O，作OE⊥BD于E，连结AE，则二面角A﹣CD﹣B平面角为∠AEO，此时O是BC的中点，AO=2OE，二面角A﹣CD﹣B平面角的正切值为2，∴④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．17．（12分）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题P函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；∴0＜a＜1（3分）又∵命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；∴a=2（2分）或，（3分）即﹣2＜a≤2（1分）∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是0＜a≤2，且a≠1（5分）18．（12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：（Ⅰ）估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；（Ⅱ）若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由图表得到15人中候车时间少于12分钟的人数为9，设45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为n，由，得n=27．则45名乘客中候车时间少于12分钟的人数为27人；（Ⅱ）记第四组的3人为A、B、C，第五组的2个人为a、b，则从这5人中随机抽取2人的不同结果（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）共10种，两人恰好来自两组的情况有共6种，则抽到的2人恰好来自不同组的概率P=．19．（12分）用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行．【解答】已知：a∩b=P，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．证明：设为平面β的法向量，∵a∥β，b∥β．∴，，又a∩b=P，a⊂α，b⊂α，∴，∴α∥β．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E 是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）若棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求AM的长；（Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）（I）证明：连接A1C交AC1于点O，连接EO，因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又E为CB中点，所以EO为△A 1BC的中位线，所以EO∥A1B，…（2分）又∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，所以A1B∥平面AEC1．…（4分）（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系所以A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），0≤m≤2，所以，=（1，﹣1，﹣2），因为B1M⊥C1E，所以=0，解得m=1，所以AM=1．…（8分）（Ⅲ）解：因为=（1，1，0），=（0，2，2），设平面AEC1的法向量为=（x，y，z），则有，得，令y=﹣1，则x=1，z=1，所以取=（1，﹣1，1），…（10分）因为AC⊥平面ABB1A1，取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），…（11分）所以cos＜＞==﹣，…（13分）平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．…（14分）21．（14分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【解答】（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=且圆C2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C1的方程为y2=20x（Ⅱ）证明：当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），∵y0≠±3，∴过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y﹣y0=k（x+4），即kx﹣y+y0+4k=0，∴，整理得①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根∴②由，消元可得③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，∴y1，y2是方程③的两个实根∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．。

2014-2015学年四川省凉山州西昌市高二（上）期末数学试卷（文科）选择题（每题5分，共50分）一.1.（5分）一组数据地茎叶图如图，且平均数为90,则3=（）8I（）569I<i106A.1B.2C.3D.42.（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工150人.为了解该动物职工地心理状况，用分层抽样地方法从中抽取样本，若样本中地青年职工为7人，则样本容量为（）A.7B.15C.35D.253.（5分）命题勺XoGR,使得2'nW#地否定是（）A.VxGR,使得2X>4B.日x°CR,使得2x0>4C.V xGR,使得2X<4D.日XoCR,使得2x0>44.（5分）某程序框图如图所示，则输出地结果S=（）225.（5分）已知Fi，F2是椭圆L+J1地两个焦点，过点F2地直线交椭圆于A、169B两点,若|AB|=5,则I af J+I bf J()A.11B.10C.9D.166.（5分）从长度为1,3,5,7个单位地四条线段中任取三条作边，能组成三角形地概率为（）A.1B.AC.LD.1-35427.（5分）若命题p：（x-2）（x-3）=0,q：x-2=0,则p是4地（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.（5分）直线ax+by=l与圆x2+y2=l相交，则P（a,b）地位置是（）A.在圆上B,在圆外 C.在圆内 D.都有可能9.（5分）与圆x2+（y+5）2=9相切，且在两坐标轴上截距相等地直线共有（）条.A.2B.3C.4D.62210.（5分）已知椭圆2_+（a>b>0）地左右焦点为Fi，F2，P为椭圆上一2k2a b点，且PFJ.IPF2地最大值地取值范围是［2c2,3c2］,其中c=^a2_b2,则椭圆地离心率地取值范围是（）A.［1,1］B.［匝1）C.［匝1）D.［匝匝］322332二.填空题.（每题5分，共25分）11.（5分）在空间坐标系O-xyz之中，M（0,l,2）,N（-1,2,1）,则MN|=.2212.（5分）若焦点在y轴上地椭圆^+X-=1地长轴长是短轴地2倍，则a=.13.（5分）某炼钢厂成本y（元/t）与废品率x%地线性回归方程为*=160,5+20x,则当成本控制在176,5元/t时，可以预计该厂生产地1000t钢中，约有废品t.14.（5分）已知曲线C：顼和直线I：y=x-a,若曲线C和直线I有且仅有两个不同地交点，则实数a地取值范围是.15.（5分）已知p是r地充分而不必要条件，q是r地充分条件，s是r地必要条件，q是s地必要条件.现有下列命题：（1）s是q地充分条件（2）p是q地充分而不必要条件（3）r是q地必要而不充分条件（4）「p是「s地必要而不充分条件其中地真命题有.三.解答题（本题共6道小题，共75分）16.（12分）以下给出一个算法地程序框图（如图所示），根据该程序框图回答问题.（1）若输入地四个数是5,3,8,12,则最后输出地结果是什么？（2）该算法是为什么问题而设计地？写出算法地步骤.17.（12分）设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0,q：实数x满足|x-3|<l-（1）若a=l,且pVq为真，pAq为假，求实数x地取值范围；（2）若a>0,且p是q地必要不充分条件，求a地取值范围.18.（12分）为了解高一年级女生地身体状况，从该高一年级女生中抽取一部分进行“掷铅球”地项目测试，把获得地数据分成[1,3）[3,5）[5,7）[7,9）[9,11）五组（假设测试成绩都不超过11米），画出地频率分布直方图如图所示.已知有4名学生地成绩在9米到11米之间.（1）求实数a地值及参加"掷铅球〃项目测试地人数；（2）若从此次测试成绩最好和最差地两组中随机抽取2名学生再进行其它项目地测试，求所抽取地2名学生自不同组地概率.频率分布直方图19.(12分)已知直线y=2/^x与圆心在x轴正半轴，半径为2地圆C交于A、B3两点，且|AB|=2而.(1)已知点P(-1,M),Q是圆C上任意一点，求|pq|地最大值；(2)若过圆心任意作一条射线与圆C交于M点，求点M在劣孤益上地概率.20.(13分)曲线C上任意一点p与两点(-2,0),(2,0)连线地斜率地乘积为-L2(1)求曲线C地轨迹方程；(2)过点M(1,1)地直线I与曲线C交于A、B两点，且M点是线段AB地中点，求直线I地方程并求线段AB地长.2221.(14分)已知直线x-2y+2=0经过椭圆L+匕=1(a>b>0)地左顶点A和a b上顶点D,椭圆地右顶点为B,点S是椭圆上位于x轴上方地动点，直线AS, BS与直线I：x=li分别交于M,N两点.3(1)求椭圆C地方程；(2)确定线段MN地长度有无最小值，若有，请求出最小值，若无，请说明理由.2014-2015学年四川省凉山州西昌市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析选择题（每题5分，共50分）一.1.（5分）一组数据地茎叶图如图，且平均数为90,则3=（）H I（）569I<i106A.1B.2C.3D.4【解答】解：由茎叶图可知，数据为80,85,86,91,90+a,106,.•.90=1（80+85+86+91+90+a+106）,6解得a=2,故选：B.2.（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工150人.为了解该动物职工地心理状况，用分层抽样地方法从中抽取样本，若样本中地青年职工为7人，则样本容量为（）A.7B.15C.35D.25【解答】解：设样本容量为n,则由工理，解得n=15,n750故选：B.3.（5分）命题勺x°CR,使得尹心”地否定是（）A.VxGR,使得2X>4B.m XoGR,使得2x0^4C.V xGR,使得2X<4D.日XoGR,使得2x0>4【解答】解：根据特称命题地否定是全称命题，得；命题勺XoCR,使得2x o<4,z地否定是“VxCR,使得2X>4W.故选：A.4.(5分)某程序框图如图所示，则输出地结果S=()A.11B.26C.57D.120【解答】解：执行程序框图，可得：S=l,K=1K=2,S=4不满足条件K>4,K=3,S=ll不满足条件K>4,K=4,S=26不满足条件K>4,K=5,S=57满足条件K>4,退出循环，输出S地值为57.故选：C.225.(5分)已知Fi，F2是椭圆L+L1地两个焦点，过点F2地直线交椭圆于A、169B两点,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|()A.11B.10C.9D.16【解答】解：如图，22由椭圆2_+—=1,得a2=16,则a=4,169又|AFi|+|BFi|+|AB|=4a=16,且|ab|=5,|a F i|+I b F i I=h.故选：A.yx6.（5分）从长度为1,3,5,7个单位地四条线段中任取三条作边，能组成三角形地概率为（）A.LB. 1.C.LD.L3542【解答】解：从这四条线段中任取三条，共有席=4种情况.其中只有当取3,5, 7时，才能组成三角形.因此所取三条线段能构成一个三角形地概率P=l.4故选：C.7.（5分）若命题p：（x-2）（x-3）=0,q：x-2=0,则p是4地（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由（X-2）（x-3）=0得x=2或x=3,即p：x=2或x=3,由x-2=0,得x=2,即q：x=2,•.•p是q地必要不充分条件，故选：B.8.（5分）直线ax+by=l与圆x2+y2=l相交，则P（a,b）地位置是（）A.在圆上B,在圆外 C.在圆内 D.都有可能【解答】解：由圆x2+y2=l得到圆心坐标为（0,0）,半径为1,因为直线与圆相交，所以圆心到该直线地距离d=上11一<1,即a2+b2>l即P点到原点地距离大于半径，所以P在圆外.故选：B.9.（5分）与圆X2+（y+5）2=9相切，且在两坐标轴上截距相等地直线共有（）条.A.2B.3C. 4D.6【解答】解：若直线过原点，设直线方程为y=kx,即kx-y=0,则由圆心（0,-5）到直线地距离d=亍」=3,解得k=+A,此时有两条切线，_3若直线不过原点，设直线方程为玉点=1，即x+y-a=0,a a则由圆心到直线地距离dJo-河=3,V2即a+5=3^2>解得a=±3^2-5,此时有两条切线，综上共有4条满足条件地切线，故选：C.2210.（5分）已知椭圆L+匕=1（a>b>0）地左右焦点为Fi，F2，P为椭圆上一2,2a b点，且|PF1|・|PF2〔地最大值地取值范围是[2c2,3C2],其中c=^a2_b2,则椭圆地离心率地取值范围是()A.[1,1]B.[匝，1)C.淳，1)D.匝恒322332【解答】解:V|PFi|+|PF2l=2a•••|PFi|«|PF2|<a2,|PFil-|PF2|m ax=a2,由题意知2c2<a2^3c2,故椭圆m地离心率e地取值范围[寸3,寸2].32故选：D.填空题.（每题5分，共25分）二.11.（5分）在空间坐标系0-xyz之中，M（0,1,2）,N（-1,2,1）,贝0|MN|=笠—•【解答】解：•「M（0,1,2）,N（-1,2,1）,MN=寸（T）2+（2一1）2+（2一1）2=由+1+1二扼,故答案为：2212.（5分）若焦点在y轴上地椭圆—+匕=1地长轴长是短轴地2倍，则a=1.a422【解答】解：...椭圆L+地焦点在y轴上，.•.4>a>0,a4且椭圆地长半轴长为2,短半轴长为插，由长轴长是短轴地2倍，得2=2Va»即a=l.故答案为：1.13.（5分）某炼钢厂成本y（元/t）与废品率x%地线性回归方程为*=160,5+20x,则当成本控制在176,5元/t时，可以预计该厂生产地1000t钢中，约有废品513,5t.【解答】解：由题意，x=176,5,^=160,5+20X176,5=513,5,故答案为：513, 5.14.（5分）已知曲线C：）=寸1_*2和直线I：y=x-a,若曲线C和直线I有且仅有两个不同地交点，则实数a地取值范围是［1,座）.【解答】解：曲线c：y=7Tv曲线是以（°，°1）为圆心，1为半径位于x轴上方地半圆.当直线I过点A（-1,0）时，直线I与曲线有两个不同地交点，此时0=-1+a,解得a=l,当直线I与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0,0）到直线x-y -a=0地距离解得a=扼或二/^（舍去），若曲线C和直线I有且仅有两个不同地交点，则直线I夹在两条直线之间,因此lWaV扼，故答案为：[1>\[2）15.（5分）已知p是r地充分而不必要条件，q是r地充分条件，s是r地必要条件，q是s地必要条件.现有下列命题：（1）s是q地充分条件（2）p是q地充分而不必要条件（3）r是q地必要而不充分条件（4）「p是「s地必要而不充分条件其中地真命题有（1）,（3）,（4）.【解答】解：若p是r地充分而不必要条件，则pnr,q是r地充分条件，则qn r,s是r地必要条件，则rns,q是s地必要条件，贝ij snq,•.•s是q地充分条件，（1）正确，p是q地既不充分也不必要条件，（2）不正确，r是q地必要不充分条件，（3）正确，•.•pnrns,...p是s地充分条件，则「p是「s地必要而不充分条件，故（4）正确，故答案为:（1）,（3）,（4）.三.解答题（本题共6道小题，共75分）16.（12分）以下给出一个算法地程序框图（如图所示），根据该程序框图回答问题.(1)若输入地四个数是5,3,8,12,则最后输出地结果是什么？(2)该算法是为什么问题而设计地？写出算法地步骤.C<1.HX--*< 11]【解答】解：(1)模拟程序框图地运行过程，得出该程序运行后输出a、b、c、d中地最小值；当输入地四个数是5,3,8,12时，输出地结果是3；(2)该算法是为输入4个互不相同地实数时求最小地实数而设计地；算法步骤是：第一步，输入a、b、c、d,第二步，若aVb,且aVc,且a<d,则输出a,结束程序；否则，执行第三步；第三步，若bVc,且bVd,则输出b,结束程序；否则，执行第四步；第四步，若cVd,则输出c,结束程序；否则，输出d,结束程序.17.(12分)设p：实数x满足X2-4ax+3a2<0,q：实数x满足|x-3〔Vl.(1)若a=l,且pVq为真，pAq为假，求实数x地取值范围；(2)若a>0,且p是q地必要不充分条件，求a地取值范围.【解答】解：(1)p：实数x满足x2-4ax+3a2<0,所以：当a=l时，解得：l<x<3q：实数x满足|x- 3|<1.解得：2<xV4pUq为真,pPlq为假,则：①P真q假P为真时，l<x<3q为假时，xW2或xN4所以解得：2WxV3②P假q真P为假时，xWl或xN3q为真时，2<x<4所以解得：3WxV4综上所述：2WxV4所以x地取值范围为：2<x<4(2)命题p：实数x满足x2-4ax+3a2<0,a>0所以解得：a<x<3a命题q：实数x满足x-3<1.解得：2VxV4p是q地必要不充分条件，所以」a《2l3a>4解得：-|<a<2所以a地取值范围为：■|Va<218.(12分)为了解高一年级女生地身体状况，从该高一年级女生中抽取一部分进行“掷铅球”地项目测试，把获得地数据分成[1,3)[3,5)[5,7)[7,9) [9,11)五组(假设测试成绩都不超过11米)，画出地频率分布直方图如图所示.已知有4名学生地成绩在9米到11米之间.(1)求实数a地值及参加“掷铅球〃项目测试地人数；(2)若从此次测试成绩最好和最差地两组中随机抽取2名学生再进行其它项目地测试，求所抽取地2名学生自不同组地概率.频率分布直方图【解答】解：(1)根据频率分布直方图，得；(0,025+0,075+0,200+0,150+a)X2=l,解得a=0,05,参加测试地人数是一一=40；0.05X2(2)最差地人数是40X0,025X2=2,记为A、B,最好地人数是4,记为a、b、c、d；从这6人中随机抽取2人，基本事件有AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Be、Bd>ab、ac、ad、be、bd、cd,共15种，所抽地2名学生来自不同组基本事件有Aa、Ab>Ac>Ad>Ba、Bb、Be、Bd,共8种；它地概率为p=A1519.(12分)已知直线y=^Zlx与圆心在x轴正半轴，半径为2地圆C交于A、B3两点，且AB=2^3-(1)已知点P(-1,顼?)，Q是圆C上任意一点，求|PQ|地最大值；(2)若过圆心任意作一条射线与圆C交于M点，求点M在劣孤益上地概率.【解答】解：(1)由题意，半径为2地圆C交于A、B两点，且|AB|=2如.得到圆心到直线地距离为1,设圆心为(a,0)(a>0),则上地L=i，V12a=2,圆C地方程为(x-2)2+y2=4;点P(-1,M)在圆外，Q是圆C上任意一点，所以|PQ|地最大值为PC+r=7(-l-2)2+(V7-0)2+2=6；(2)由(1)可得ZAOB=120°,所以过圆心任意作一条射线与圆C交于M点，点M在劣弧亩上地概率为12°：二.360320.(13分)曲线C上任意一点p与两点(-2,0),(2,0)连线地斜率地乘积(1)求曲线C地轨迹方程;(2)过点M(1,1)地直线I与曲线C交于A、B两点，且M点是线段AB地中点，求直线I地方程并求线段AB地长.【解答】解：(1)设点P地坐标为(x,y),则点P与(-2,0)地斜率为灯=旦1x+2x+2点P与(2,0)地斜率为匕4二匚，所以Lk亓工乂二=工一=」，K2x-2X-2K1K2x+2x-2x2_42 2222整理得：玉-+'=1，即曲线C地轨迹方程为玉-+二=14242(2)①...点M(1,1)在圆内，.•.当斜率不存在时，直线方程为x=l,但是M(1,1)不是AB中点，故不合题意.②直线斜率存在，设直线方程为y=k(x-1)-1,y=kx-k~l<v22整理得：(l+2k2)x2-4k(k+1)x+2(k+1)2-4=0,4k2+4k.2(k+1)2-4X i i X n—q~'X i X n—ql+2k'l+2k z2•.•M点是线段AB地中点，.\l=2k+2k,解k=l.l+2k22...直线方程为x -2y-2=0.AB(X1+X2)2-4X1*2=夺乂由2_3半.2221.(14分)已知直线x-2y+2=0经过椭圆—+匕=1(a>b>0)地左顶点A和a b上顶点D,椭圆地右顶点为B,点S是椭圆上位于x轴上方地动点，直线AS, BS与直线I：x=li分别交于M,N两点.3(1)求椭圆C地方程；(2)确定线段MN地长度有无最小值，若有，请求出最小值，若无，请说明理由.【解答】解：(1)由巳知得，椭圆C地左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),a=2,b=l,2°故椭圆C地方程为二+/=1.4y(2)直线AS地斜率k显然存在，且k>0,故可设直线AS地方程为y=k(x+2),从而M(M H k).33由y=k(x+2),代入椭圆方程得(l+4k2)x2+16k2x+16k2- 4=0.22设S(xi，yi),贝J(-2)xi=.l得k,从而巧=_驱—l+4k2l+4k2l+4k2又B(2,0)I3故M N=+_X_,33k又k>0,A MN|=16k_+J_^2/16k1=冬,33k V33k3当且仅当地=」_,即k=L时等号成立33k4.•.k=【时，线段MN地长度取最小值E.43。

17． （12 分）已知圆 C： （x﹣a）2+（y﹣2）2=4 与直线 l：x+y﹣3=0，且直线 l 被 圆 C 截得的弦长为 2 （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）当 a＞0 时，求过点（3，5）且与圆 C 相切的直线方程． 18． （12 分）已知函数：f（x）=ax2+x﹣a﹣1，a∈R，g（x）=﹣2x2﹣3x﹣2a （1）当 a=2 时，解不等式 f（x）＞0； （2）若 f（x）＞g（x）对一切 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围． 19． （12 分）如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC=30°，BM⊥AC 交 AC 于点 M，EA⊥平面 ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1． （1）证明 EM⊥BF； （2）请在图中作出平面 ABC 与平面 BEF 的交线（不要求证明） （3）求平面 BEF 和平面 ABC 所成的锐二面角的正切值．
8． （5 分）设 x，y 满足约束条件：
，则 z=2x﹣y 的最小值为（
A．6
B．﹣6
C． +
D．﹣7 =1 恒有公共点，则实数
9． （5 分）已知对 k∈R，直线 y﹣kx﹣1=0 与椭圆 m 的取值范围是（ A． （0，1） C．[1，5）∪（5，+∞） ）
B． （0，5） D．[1，5）
10． （5 分）在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（ A． π B． π C． （6﹣2 ）π D． π ）
A．长方体 3． （5 分）与椭圆 A． C．
B．球
C．圆锥
D．圆柱 ） ）
+y2=1 共焦点且过点 P（2，1）的双曲线方程是（ B． D． ） ≥2

宜宾2023年秋期高二期末考试数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x ++=的倾斜角为（）A.150︒B.120︒C.60︒D.30︒【答案】A 【解析】【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.【详解】由题意直线20x ++=的斜率为3k ==-，所以直线20x ++=的倾斜角为150︒.故选：A.2.直线4350x y -+=与直线8650x y -+=的距离为（）A.15B.14C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】求平行直线的距离要先将两直线一般式的,A B 化为一样，再利用平行线间距离公式d 计算即可.【详解】先由4350x y -+=化得86100x y -+=，所以两直线间的距离为：51=102d .故选：D.3.在一次体检中，发现甲､乙两个单位的职工中体重超过75kg 的人员的体重如下（单位：kg ）.若规定超过80kg 为显著超重，从甲､乙两个单位中体重超过75kg 的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为（）A.14B.38C.12D.58【答案】B 【解析】【分析】列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】不妨用(),x y 表示每种抽取情况，其中x 是指甲单位抽取1人的体重，y 代表从乙单位抽取1人的体重.则所有的可能有16种，如下所示：()78,79，()78,83，()78,92，()78,92，()88,79，()88,83，()88,92，()88,92，()92,79，()92,83，()92,92，()92,92，()93,79，()93,83，()93,92，()93,92其中满足题意的有6种：()78,83，()78,92，()78,92，()88,79，()92,79，()93,79故抽取的这2人中，恰好有1人显著超重的概率为：63168=.故选：B .4.椭圆221y x m+=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.12B.2C.14D.4【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆标准方程的形式，求出,a b ，根据2a b =，解出m 的值即可.【详解】椭圆221y x m +=的焦点在y 轴上，∴221y x m+=，可得a m =1b =.∵长轴长是短轴长的2倍，2m =，解得4m =故选：D.5.圆()22125C x y ++=，圆()2222(2)5C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆圆心以及半径，再由圆心距与两圆半径的关系确定位置关系.【详解】由题意圆1C 的圆心1(2,0)C -，半径1r =2C 的圆心2(2,2)C ，半径2r =1212C C r r ===+，即两圆外切故选：D6.如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（）A.13B.74C.34D.32【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,3M -，所以)3,3,0AB =，(0,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ，则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯==+⋅+.故选：C .7.倾斜角为30的直线l 经过双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点1F ，交双曲线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线过右焦点2F ，则此双曲线的渐近线方程为（）A.y x =±B.12y x =±C.32y x =±D.52y x =±【答案】A 【解析】【分析】由垂直平分线性质定理可得22AF BF =，运用解直角三角形知识和双曲线的定义，求得4AB a =，结合勾股定理，可得a ，c 的关系，进而得到a ，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：如图2MF 为线段AB 的垂直平分线，可得22AF BF =，且1230MF F ∠=，可得22sin30MF c c=⋅=，12cos303MF c c =⋅=，由双曲线的定义可得122BF BF a -=，212AF AF a -=，即有()1122224AB BF AF BF a AF a a =-=+--=，即有2MA a =，2AF ==，112AF MF MA a =-=-，由212AF AF a -=，可得)22a a --=，可得22243a c c +=，即c =，b a ==，则渐近线方程为y x =±．故选A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12100111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ （）其中[]x 表示不超过x 的最大整数.A.18 B.17 C.19 D.20【答案】A 【解析】【分析】讨论1n =、2n ≥，根据,n n a S 关系可得2211n n S S --=且211S =，应用等差数列通项公式求得=n S，利用放缩法有1nS -<<，注意不等式右侧2n ≥，进而根据[]x 的定义求目标式的值.【详解】当1n =时，111111()2a S a a ==+，整理得211a =，又0n a >，故111a S ==，当2n ≥时，11112n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，可得2211n n S S --=，而211S =，所以2{}n S 是首项、公差均为1的等差数列，则2n S n =，又0n S >，故=n S ，12nS=<=，即1nS>，同理可得1nS<且2n≥，1210011121...1)S S S+++>⨯-++=-18>，1210011121 (119)S S S+++<⨯-++++=，综上，1210011118S S S⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：首先利用,n na S关系及构造法求nS通项公式，再由放缩法及函数新定义求目标式的值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l的方程为10x y+-=，则下列说法正确的是（）A.直线l的斜率为1B.直线l的倾斜角为45︒C.直线l不经过第三象限D.直线l与两坐标轴围成的三角形面积为12【答案】CD【解析】【分析】对于A，根据直线方程直接求解斜率判断，对于B，由斜率与倾斜角的关系求解判断，对于C，由直线方程求出直线与坐标轴的交点进行判断，对于D，求出直线与坐标轴的交点后，利用三角形的面积公式求解判断.【详解】对于A，由10x y+-=，得1y x=-+，则直线l的斜率为1-，所以A错误，对于B，由选项A可知直线l的斜率为1-，则直线l的倾斜角为135︒，所以B错误，对于C，当0x=时，1y=，当0y=时，1x=，所以直线l过点(0,1)和(1,0)，所以直线l不经过第三象限，所以C正确，对于D ，因为直线l 过点(0,1)和(1,0)，所以直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为111122⨯⨯=，所以D 正确，故选：CD.10.一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（）A.事件A 与事件C 互斥B.事件B 与事件C 互斥C.事件A 与事件B 相互独立D.事件B 与事件C 相互独立【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的概念可判断AB 的正误，根据独立事件的判断方法可得CD 的正误.【详解】对AB ，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，故事件A 与事件C 互斥，故A 正确；若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B 与事件C 不互斥，故B 错误；对C ，21411(),(),()()()84828P A P B P AB P A P B ======⋅，所以C 正确；对D ，211(),()()()848P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确；故选：ACD ．11.已知直线:220l kx y kp --=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A.4p =B.2k =-C.5AB =D.MAB △的面积为【答案】BC 【解析】【分析】求出抛物线C 的准线方程，可求得p 的值，可判断A ；利用点差法可求得线段AB 的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k 的值，可判断B ；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C 、D.【详解】由题意知，抛物线C 的准线为=1x -，即12p=，解得2p =，故A 错误；所以抛物线的方程为24y x =，其焦点为()1,0F ，又直线:220l kx y kp --=，即()1y k x =-，所以直线l 恒过抛物线的焦点()1,0F ，设点()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 两点在抛物线上，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+，设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=，因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得0221x k =+，所以点2221,Q k k ⎛⎫+⎪⎝⎭是以为AB 直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222AB x x x r k+++====+，因为222222221QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故B 正确；因为2k =-，所以25AB r ==，故C 正确；因为直线l 为()21y x =--，由点到直线的距离公式可得，点M 到直线l的距离为d ==，所以122MAB S d AB =⋅=，故D 错误;故选：BC.12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足()1AQ AA AB AD μ=++，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则下列选项正确的是（）A.,P Q 的轨迹长度相等B.PQC.存在,P Q ，使得DP BQ ⊥D.DP 与DQ所成角的余弦值的最大值为3【答案】BCD 【解析】【分析】根据空间向量运算法则求得点P 和点Q 的轨迹及长度判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式及配方法求解最值判断B ，利用向量垂直的坐标运算判断C ，利用向量夹角的坐标公式求解余弦值的函数，然后利用二次函数求得最值判断D.【详解】连接11,AC A C ，因为[]1,0,1AP AA AB λλ=+∈，所以1P BB ∈，所以点P 的轨迹长度为2．因为()11AQ AA AB AD AA AC μμ=++=+，所以11Q AC ∈，所以点Q的轨迹长度为，故A 错误；如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为,,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()2,2,2,22,2,2P Q λμμ-，所以PQ ==当11,2λμ==时，min PQ =B 正确；因为()()()2,2,0,2,2,2,2,22,2B DP BQ λμμ==--，所以444444DP BQ μμλλ⋅=-+-+=-，当1λ=时，0DP BQ ⋅=，即DP BQ ⊥，所以C 正确；因为()()2,2,2,22,2,2DP DQ λμμ==-，所以cos ,DP DQ DP DQ DP DQ⋅〈〉==，=，因为223211213(1)1133λλλ⎛⎫-+=-+⎪+++⎝⎭，且[]11,2λ+∈，所以当1112λ=+，即1λ=时，2321(1)1λλ-+++有最大值，最大值为3，所以当11,2λμ==时，cos,DP DQ〈〉的最大值为333⨯=，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）的余弦值，即可求出结果.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点)(2,5P且与直线1x y+=垂直的直线方程为______．【答案】30x y-+=【解析】【分析】先设出与直线1x y+=垂直的直线方程，再把)(2,5P代入进行求解.【详解】设与直线1x y+=垂直的直线为0x y c-+=，将)(2,5P代入得：250c-+=，解得：3c=，故所求直线方程为30x y-+=.故答案为：30x y-+=14.抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“向上的为奇数点”，事件B为“向上的为4点”，则()P A B=______．【答案】23【解析】【分析】由古典概型的概率求()P A 、()P B ，根据互斥事件有()()()P A B P A P B =+ ，即可得结果.【详解】由题设，事件A 的基本事件有{1,3,5}，事件B 的基本事件为{4}，而抛掷一次的所有可能事件有{1,2,3,4,5,6}，所有31()62P A ==，1()6P B =，则()2()()3P A B P A P B =+= .故答案为：2315.某公司产品研发部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设18个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数从多到少依次成等差数列．已知第1名发放900元，前10名共发放6750元，则该公司需要准备“幸运奖”______元．【答案】8550【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式即可计算.【详解】设第1名，第2名，…，第18名所得奖金数分别为1a 元，2a 元，…，18a 元，等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，依题意可知1900a =，10110456750S a d =+=，解得50d =-，则18118171885502S a d ⨯=+=，故该公司需要准备“幸运奖”8550元．故答案为：8550.16.若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.【答案】10【解析】【分析】将问题转化为直线:4380l x y ++=上任意两点为直径的圆包含圆C ，结合直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离的范围，即可确定MN 的最小值.【详解】由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.为了了解某市今年高二年级男生的身体素质情况，从该市高二年级男生中抽取一部分进行“立定跳远”项目测试．立定跳远距离（单位：cm ）小于195时成绩为不合格，在[)195,240上时成绩及格，在[)240,255上时成绩为良好，不小于255时成绩为优秀．把获得的所有数据分成以下5组：[)175,195，[)195,215，[)215,235，[)235,255，[]255,275，画出频率分布方图如图所示，已知这次测试中有2名学生的成绩为不及格．（1）求这次测试中成绩为及格或良好的学生人数；（2）若从这次测试成绩为优秀和不及格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生中至少1人成绩为不级格的概率．【答案】（1）44人（2）35【解析】【分析】（1）应用频率分布直方图计算及格或良好的学生人数；（2）根据古典概型计算可得.【小问1详解】由题意可知抽取进行测试的人数为：()20.0022050÷⨯=故测试中成绩为及格或良好的学生人数为()0.0110.0130.020205044++⨯⨯=人【小问2详解】测试中成绩为优秀的有500.004204⨯⨯=人，记作1A ，2A ，3A ，4A 成绩为不及格的有500.002202⨯⨯=人，记作甲，乙从这6人随机抽取2人的所有基本事件有{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}1,A 甲，{}1,A 乙，{}23,A A ，{}24,A A ，{}2,A 甲，{}2,A 乙，{}34,A A ，{}3,A 甲，{}3,A 乙．{}4,A 甲，{}4,A 乙，{甲，乙}，共15个，其中至少有一人不及格的基本事件有{}1,A 甲，{}2,A 甲，{}3,A 甲，{}4,A 甲，{甲，乙}，{}1,A 乙，{}2,A 乙，{}3,A 乙，{}4,A 乙，共9个．故所抽取的2名学生中至少1人成绩为不及格的概率是93155P ==．18.已知圆22:25C x y +=和圆外一点()3,6P ．（1）若过点P 的直线截圆C 所得的弦长为8，求该直线的方程；（2）求2286x y x y +--的最大值和最小值．【答案】（1）3x =或34150x y -+=（2）最大值为75；最小值为-25【解析】【分析】（1）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.（2）根据“两点间的距离”求得正确答案.【小问1详解】当过P 的直线斜率不存在时，直线方程为3x =，由22325x x y =⎧⎨+=⎩解得4y =或4y =-，则弦长为8，符合题意.当过P 的直线斜率存在时，设直线的方程为()63y k x -=-，即630kx y k -+-=，圆22:25C x y +=的圆心为()0,0，半径为5，设圆心()0,0到直线630kx y k -+-=的距离为()0d d >，则22285,32d d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，3=，解得34k =，直线方程为396044x y -+-=，即34150x y -+=.【小问2详解】()()2222864325x y x y x y +--=-+--，表示圆上的点(),x y 到点()4,3的距离的平方减去25，点()4,3在圆22:25C x y +=上，所以圆上的点(),x y 到点()4,3的距离的平方的取值范围是20,10⎡⎤⎣⎦即[]0,100，所以()()2222864325x y x y x y +--=-+--的取值范围是[]25,75-，所以2286x y x y +--的最大值为75，最小值为25-.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点F 到双曲线2213xy -=的渐近线的距离为1.（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过原点O 的直线l 与抛物线C 交于A ､B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线l 过定点.【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数p 值得抛物线方程；（2）设直线方程为x ty m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入0OA OB ⋅=可得m 值，得定点坐标．【小问1详解】已知双曲线的一条渐近线方程为x =，即0x -=，抛物线的焦点为(,0)2p，所以1=，解得4p =（因为0p >），所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由题意设直线l 方程为x ty m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ．由28x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2880y ty m --=，128y y t +=，128y y m =-，又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以22121212121212()()(1)()x x y y ty m ty m y y t y y tm y y m+=+++=++++2228(1)80m t t m m =-+++=，直线不过原点，0m ≠，所以8m =．所以直线l 过定点(8,0)．20.已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC.（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB的法向量()n =，再利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接EF ，OF ，∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =.又//DE AB ，2AB DE =，∴//OF DE ，且OF DE =.∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .【小问2详解】∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂ABC 平面，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为ACBC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠= .∴tan 60DO EF BF ===o.∴(0,0,D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =-，(1,0,AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =.∴()n = ，∴cos ,4m n m n m n⋅==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --的余弦值为4.21.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()2364N n n S a n n ++=+∈．（1）求证：数列{}3n a -是等比数列；（2）求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析.（2）()3152532522454nn n n +⎛⎫⎛⎫++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【分析】（1）先求得12a =，当2n ≥时，利用,n n S a 的关系可推得1536n n a a --=，利用等比数列定义即可证明结论；（2）由（1）可得n a 的表达式，继而可得n na 的表达式，利用分组求和以及错位相减法，即可求得答案.【小问1详解】证明：当1n =时，1112364,2S a a +=+∴=，当2n ≥时，有1123642362n n n n S a n S a n --+=+⎧⎨+=-⎩，两式相减得112365363,n n n n n a a a a a ---=∴-=+,故()13335n n a a --=-，则30n a -≠，否则与12a =矛盾，故1133,3135n n a a a --=-=--，所以数列{}3n a -是以1-为首项，35为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）可得11133,,33133555n n n n n n a a na n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-=-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭∴⎭∴，设数列{}n na 的前n 项和为n T ，则()()3131232n n n n n T n W W +=++++-=- ，其中012133331235555n n W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,①,两边同乘以35得()231333333231555555n nn W n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,②,由①-②得213233333553513555555225115nn n n nn W n n n -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-⎭- ,2552534245nn W n ⎛⎫⎛⎫∴=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以()3152532522454nn n n n T +⎛⎫⎛⎫=++-⎪⎪⎝⎭⎝⎭．22.已知椭圆()2222:10,0x y C b bαα+=>>的左、右两焦点分别为()()121,0,1,0F F -,椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的12AF F △中，满足1221π7π,1212AF F AF F ∠=∠=（1）求椭圆C 的方程；（2）设点,,B C D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线,,,BC CD OB OC 的斜率分别为1234,,,k k k k ，且1234k k k k ⋅=⋅，求22OB OC +的值.【答案】（1）2212x y +=（2）223OB OC +=【解析】【分析】（1）由正弦定理与两角和与差的正弦公式化简求解（2）设1122(,),(,)B x y C x y ，得11(,)D x y --，求出1234,,,k k k k ，由1234k k k k =可得22121y y +=，再计算22OB OC +可得．【小问1详解】在12AF F △中，由正弦定理得：1227πππ3sin sin sin12123AF AF ===1437πsin 312AF =，243πsin 312AF =，所以12437ππ43ππππ2sin sin sin sin 23121233434a AF AF ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解得a =1b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.【小问2详解】设()()1122,,,B x y C x y ，则()11,D x y --．由22212221212112222221212121111222x x y y y y y y k k x x x x x x x x --+-+-⋅=⋅===--+--，所以341212k k k k ==-，即12341212y y k k x x ⋅==-，于是有()()22222212121222224x x y y yy ⋅=-⋅-=⋅，即22121y y +=()()2222222222221122112212222243OB OC x y x y y y y y y y ∴+=+++=-++-+=--=。