多项式的除法1． 带余除法定理1 （带余除法定理）设()f x 与()g x 是多项式，且()0g x ≠，那么存在惟一的一对多项式()q x 与()r x ，使得()()()()f x g x q x r x =+ ①其中()0r x =或者()()deg deg r x g x <。
()q x 叫做以()g x 除()f x 所得的商，()r x 叫做余式。
定义1：在①式中，当()0r x =时，称()g x 整除()f x ，记为()g x |()f x ，也称()g x 是()f x 的因式，或()f x 是()g x 的倍式。
若()0r x ≠，则称()g x 不整除()f x 。
定理2 （余数定理）多项式()f x 除以x a -所得余数为()f a 。
推论1 ()x a -|()()()f x f a -推论2 若()[]f x Z x ∈,a 与b 是不同的整数,则()a b -|()()()f a f b -.由余数定理还可以得到以下重要定理:定理3 (因式定理)多项式()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =.多项式整除的基本性质:(1) 若()f x |()g x ,()g x |()h x ,则()f x |()h x(2) 若()h x |()f x ,()h x |()g x ,则()h x |()()f x g x ±⎡⎤⎣⎦(3) 若()h x |()f x ,则()h x |()()f x g x ⋅,()g x 为任意多项式.(4) 若()f x |()g x ,()g x |()f x ,则()()f x c g x =⋅,其中c 是不等于零的常数.2． 多项式的分解定义2:一个次数大于零的多项式()f x ,如果在数域F 内除形如λ和()f x μ(,λμ为非零数)的因式(称为()f x 的平凡因式)外,无其它因式,则称()f x 在F 内不可约.若()f x 在F 内除平凡因式外,还有其它因式,则称()f x 在F 内可约.不可约多项式的一些重要性质:(1) 如果多项式()p x 不可约,而()f x 是任一多项式,那么,或者()()(),1p x f x =,或者()p x |()f x .(2) 如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除,那么()f x 与()g x 中至少有一个被()p x 整除.定理4 数域F 上的次数大于零的多项式()f x ,如果不计零次因式的差异,那么()f x 可以惟一地分解为以下形式:()()()()1212t k k k t f x ap x p x p x = ②其中a 是()f x 的最高次项的系数,()()()12,,t p x p x p x 是首项系数为1的互不相等的不可约多项式,并且()()1,2,,i p x i t = 是()f x 的i k 重因式.【注】其中数域F 是指Q ,或R ,或C .关于整系数多项式的分解问题.定义3:设整系数多项式()0mj j j f x a x ==∑各项系数的最大公约数等于1,即()012,,,,1m a a a a = ;则称()f x 为本原多项式.引理 设()f x ,()g x 和()h x 都是整系数多项式并且()()()h x f x g x =⋅,如果质数p 整除多项式()h x 的所有系数,那么至少有()f x 与()g x 这两个多项式之一,其所有的系数也都能被p 整除.推论 本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式.定理5 如果整系数多项式()f x 在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约. 以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式()f x 在整系数范围内不可约,那么它在有理数范围内也不可约.3． 最大公因式定义4:如果两个多项式()f x 与()g x 同时被()d x 整除,那么()d x 叫做()f x 与()g x 的公因式.如果()d x 是()f x 与()g x 的公因式,并且()f x 与()g x 的所有公因式都整除()d x ,则()d x 叫做()f x 与()g x 的最大公因式.【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式()f x 与()g x 的最大公因式就是惟一的,记为()()(),f x g x .两个多项式的最大公因式,有以下重要定理:定理6 设多项式()f x 与()g x 的最大公因式为()d x ,那么存在多项式()u x 与()v x ,使以下等式成立:()()()()()f x u x g x v x d x += ③定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,()f x 与()g x 互素()()(),1f x g x ⇔=.定理7 两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是,存在多项式()u x 与()v x ,使()()()()1f x u x g x v x += ④互素多项式的一些重要性质:(1) 若()()()()()(),1,,1f x h x g x h x ==,则()()()(),1f x g x h x -=(2) 若()h x |()()f x g x ,()()(),1h x f x =,则()h x |()g x .(3) 若()g x |()f x ,()h x |()f x ,()()(),1g x h x =,则()()g x h x |()f x .针对性训练1. 求19861x -除以()()2211x x x +++所得的余式. 解:()()32111x x x x -=-++ ()21x x ∴++|()31x -又()()()662198633111x x x p x -=-=- ()31x ∴-|()19861x -()21x x ∴++|()19861x -由此可知, 19861x -除以()()2211x x x +++所得余式()()()21r x x x ax b =+++.这里,a b R ∈,于是()()()()()198********x x x x g x x x ax b -=+++++++ 令x i =,得()20i ai b -=++,即2a bi -=-+. 比较两端的实部和虚部,得2,0a b ==. 故所求余式为()()221r x x x x =++.2. 设多项式()[]32f x x bx cx d Z x =+++∈,并且bd cd +是奇数,证明:()f x 不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明:因为()bd cd b c d +=+是奇数,所以d 与b c +均为奇数,从而()11f b c d =+++是奇数.假设()()()()2,,f x x p x qx r p q r Z =+++∈。
剩余定理的计算中国剩余定理公式小学如下：1、余数定理（Polynomial remainder theorem）是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是f(a)。
若f(a)=0，则(x-a)为多项式f(x)的因式。
例如，(5x3+4x2-12x+1)/(x-3) 的余式是5·33+4·32-12·3+1=136。
2、多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a)。
3、证明：根据除法的定义及性质可知，被除数=除数×商+余数。
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
解答方法：三人同行七十希，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
意思是:将除以3得余数乘以70，将除以5得余数乘以21，将除以7得余数乘以15，全部加起来后再减去105或105的整倍数，得到的数就是答案。
70X2+21x3+15x2=233=105x2+23，结果就是23。
解法举例：例一：一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？采用通用的方法：逐步满足法把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
例二：一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）特殊的方法：最小公倍法除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
整式的除法及余数定理【教学目标】1.综合除法：多项式除法时，我们有带余除法：)()()()(x r x q x g x f +⋅= 其中)(x f 表示被除式，)(x g 表示除式，)(x q 表示商式，)(x r 表示余式，且余式)(x r 的次数小于除式)(x g 的次数．2．余数定理和因式定理：余数定理：多项式)(x f 除以)(a x -所得的余数等于)(a f 因数定理：若多项式)(x f 能被a x -整除，亦即)(x f 有一个因式a x -，则0)(=a f ；反之，如果,0)(=a f 那么a x -必为多项式)(x f 的一个因式．【经典例题】例1．求6532234++--x x x x 除以)1(+x 所得的商式和余数．例2．求多项式)(x f 除以,1-x 2-x 所得的余数分别为3和5，求)(x f 除以)2)(1(--x x 所得的余式．例3．证明：当b a ,是不相等的常数进，若关于x 的整式)(x f 被a x -和b x -整除，则)(x f 也被))((b x a x --整除．例4．试确定a 和b 的值，使b x ax x x x f +++-=532)(234被)2)(1(-+x x 整除．例5. 已知关于x 的整式)(x f 除以3+x 时余数为-5；所得的商再除以12-x 时余数为4，求)(x f 除以12-x 时的余数、除以3522-+x x 时的余式．整式的除法及余数定理练习一、选择题1．化简3422222++⋅⋅-n nn ，得（ ） A 、8121-+n B 、87 C 、12+-n D 、47 2．如果822+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +=（ ）A 、7B 、8C 、15D 、213．如果b a ,是整式，且12--x x 是123++bx ax 的因式，那么b 的值是（ ）A 、-2B 、-1C 、0D 、2 二、填空题：1．已知k 是整数，并且k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则=k ；另一个二次因式，它是 ．2．已知62-+x x 是12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，=b ．3．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值是 ．三、解答题1．计算6533+-x x 除以)2(-x 所得的商式及余数．2．用综合除法计算)23()2527(23-=-+-x x px x3．设1183)(234+-++=kx x x x x f 被3+x 整除，求k 的值．4．设2)(24+--=bx ax x x f 被())2(1++x x 整除，求b a ,的值．5．若b ax x x x f ++-=2332)(除以1+x 所得的余数为7，除以1-x 所得的余数为5，试求b a ,的值．6．多项式)(x f 除以)2(),1(--x x 和)3(-x 所得的余数分别为1，2，3求)(x f 除以)3)(2)(1(---x x x 所得的余式．7．已知多项式128)(23--+=x bx ax x f 被2-x 和3-x 整除，试求b a ,的值，并求)(x f 除以)3)(2(--x x 后所得的商式．8．若r px x 455+-被2)2(-x 整除，求q 与r 的值．9．若164-x 除以14-x 得256，求x 的值．10．若0132=--x x ，求200257623+-++x x x 的值．11．当m p ,为何值时，多项式23-+px x 能被12-+mx x 整除？整式的除法及余数定理作业1．设n mx x x f ++=2)(（n m ,都是整数）既是多项式25624++x x 的因式，又是多项式5284324+++x x x 的因式，求)(x f2．求一个关于x 的二次三项式)(x f ，它被1-x 除余2，被)2(-x 除余8，并且它被1+x 整除．3．用综合除法求商式和余式)4()181496(345+÷+-++x x x x x4．当2=x 或3=x 时，多项式6632)(234++++=bx x ax x x f 的值都为0，试求多项式)(x f 除以652+-x x 的商式和余式．。
