高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算223向量数乘运算及其几何意义课堂导学案新人教A版必修4
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律
【例1】化简32［（4a-3b）+31b-41(6a-7b)］=___________________.
思路分析：利用数乘运算的运算律将括号去掉，然后合并各向量即可.
原式=32［4a-3b+31b-23a+47b］
=32［(4-23)a+(-3+31+47)b］
=32［25a-1211b］=ba181135.
答案：ba181135
温馨提示
（1）向量的加法、减法、数乘的混合运算，类似于代数运算中的合并同类顶，只不过现在
的同类项是指共线向量.
（2）熟练掌握数乘运算的结合律和分配律是解决这类问题的关键.
2.向量数乘的应用
【例2】 已知：如右图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE21BC.
思路分析：只需证明DE=21BC即可.
证明：因为D、E分别为AB、AC的中点，故AD=21AB，AE=21AC.
DE=AE-AD
=21(AC-AB)=21BC.而D、B不重合，所以DE21BC.
温馨提示
向量共线可以判断几何中三点共线和两直线平行的问题.但直线平行不包括重合的情
况.
【例3】如下图，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b.
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求证：（1）AD=-21a-b;
（2）BE=a+21b；
（3）CF=-21a+21b；
（4）AD+BE+CF=0.
思路分析：想办法找到已知向量和所求的向量的联系.
证明：（1）AD=AC+CD=-b-21a；
(2)BE=BC+CE=a+21b;
（3）CF=CA+AF=CA+21AB
=b+21(AC+CB)=b+21(-b-a)=-21a+21b;
(4)AD+CF+BE=-21a-b-21a+21b+a+21b=0.
温馨提示
用已知向量表示未知向量的问题，一般是运用三角形法则或平行四边形法则建立已知向
量和未知向量的联系.
3.对向量数乘的概念的再理解
【例4】 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假：
（1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
（2）-2a的方向与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的52倍；
（3）-2a与2a是一对相反向量；
（4）a-b与-（b-a）是一对相反的向量.
解：（1）真命题.
∵2＞0,∴2a与a的方向相同,又|2a|=2|a|,
∴命题①是真命题.
（2）真命题.
∵5＞0,∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，
而-2＜0,∴-2a与a的方向相反，|-2a|=2|a|.
∴-2a与5a的方向相反，且模是5a的52.
故（2）是真命题.
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（3）真命题.
依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断.
（4）假命题.
∵a-b与b-a是一对相反向量,
∴a-b与-（b-a）是一对相等向量.
故（4）是假命题.
各个击破
类题演练1
将121［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为（ ）
A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a
解析：原式=121［（4a-16a）+（16b+8b）］
=121(-12a+24b)=2b-a.
答案：B
变式提升1
若2(x-31a)-21(b+c-3x)+b=0,其中a、b、c为已知向量，则未知向量x=_____________.
解析：原式变形为2x-32a-21b-21c+23x+b=0,27x=32a-21b+21c,∴x=214a-71b+71c,
答案：214a-71b+71c
类题演练2
ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证四边形EFGH为平行
四边形.
证明：如右图，∵F、G分别为AB、AC中点，∴FG=21BC，同理EH=21BC，
∴FG=EH，同理EF=HG.∴四边形EFGH为平行四边形.
变式提升2
设a、b是不共线的两个向量，已知AB=2a+kb,BC=a+b,CD=a-2b,若A、B、D三点共线，
求k的值.
解：由已知，必存在实数λ，使AB=λBD而BD=BC+CD=（a+b）+(a-2b)=2a-b.
∴2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb,
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于是.1,1,,22kk,∴k=-1.
类题演练3
如右图所示，D、E是△ABC中AB、AC边中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC=a，BD=b，
试用a、b分别表示DE、CE和MN.
解：由三角形中位线定理知DE21BC.
故DE=21BC，即DE=21a，CE=CB+BD+DE
=-a+b+21a=-21a+b.
MN=MD+DB+21BN=21ED+DB+21BC
=-41a-b+21a=41a-b.
变式提升3
如右图所示，OADB是以向量OA=a，OB=b为边的平行四边形.又BM=31BC，CN=31CD，试
用a，b表示OM，ON.
解：BM=31BC=61BA=61（OA-OB）=61（a-b）.
∴OM=OB+BM
=b+61a-61b=61a+65b,
CN=31CD=61OD
.
∴ON=OC+CN=21OD+61OD=32OD
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=32 (OA+OB)=32(a+b).
类题演练4
若|a|=3，b与a的方向相反，且|b|=5，则a=_________b.
解析：|a|=53|b|
又∵b与a方向相反，∴a=-53b.
答案：-53
变式提升4
给出以下命题：
①若两非零向量a,b,使得a=λb(λ∈R),那么a∥b；
②若两非零向量a∥b，则a=λb(λ∈R);
③若λ∈R,则λa∥a;
④若λ,μ∈R,λ≠μ,则（λ+μ）a与a共线.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
