第二十六章 反比例函数
知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x
k
y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x
k
y =
（0k ≠）， ②1
kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；
⑸函数x
k
y =
（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，
x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x
k
y =，就不是反比例函数了。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值
0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但
永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当
0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如x
k
y =
在
第一、第三象限，则可知0k >。
☆反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为 垂足，则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x
k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线x
k
y =
越靠近坐标原点。 ☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。 习题
1．下列函数中，不是反比例函数的是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝－32x C ．y ＝1
x －1
D ．3xy ＝2
2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的图象上，则k 的值是( ) A ．－1
4
C ．4
D ．－4
3．若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限 4．已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
5．当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝a x
在同一坐标系中的图象可能是( )
6．如图26110，直线x ＝t (t >0)与反比例函数y ＝2x ，y ＝－1
x
的图象分别交于B ，C 两
点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为( )
图26110
A ．3 t D ．不能确定
7．已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而______ （填“增大”或“减小”）．
8．若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________． 已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．
9．如图2619，直线y ＝2x －6与反比例函数y ＝k x
(x >0)的图象交于点A (4,2)，与x 轴交于点B .
(1)求k 的值及点B 的坐标；
(2)在x 轴上是否存在点C ，使得AC ＝AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
图2619
10．如图在Rt△ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S△ABO=． ①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．
