真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。 1 / 28 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 《常分方程数值解法》试题一及答案
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1．用欧拉法解初值问题)().(yxxyyy，取步长h=0.2.计算过程保
留4位小数。 解：h=0.2, f(x)=－y－xy2.首先建立欧拉迭代公式 ),,k)(yx(y.yhxhyy)y,x(hfyykkkkkkkkkkk21042021 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0
当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有 y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.614 4，有 y(0.6)y3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
2．对于初值问题)(yxyy试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值.
3．证明求解初值问题的梯形公式是 yk+1=yk+)],(),([211kkkkyxfyxfh, h=xk+1－xk (k=0,1,2,…,n－1)， 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。 2 / 28 4．将下列方程化为一阶方程组 （1）430(0)1,(0)0yyyyy （2）2322ln(1)1,(1)0xyxyyxxyy （3）26(0)1,(0)1,(0)2yyyyyy
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是x x x e ,e ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是1±=y ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ B ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11.y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．第二套一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ,2,1,0,±±==k k y π或,2,1,0,2±±=π+π=k k x ． 2．方程y x xy sin d d 2+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 x o y 平面 ． 3．线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 充分必要 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．4．方程)sin(d d y x y xy +=的任一非零解 不能 与x 轴相交． 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程1d d +=y x y （ B ）奇解．（A ）有无数个 （B ）无 （C ）有一个 （D ）有两个7. 方程21d d y xy -=过点)0,0(（ A ）． （A ）只有一个解 （B ）有无数个解 （C ）只有两个解 （D ）无解 8．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解唯一的（ C ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 9．方程03=+'+''xy y x y 的任一非零解在xoy 平面上（ A ）与x 轴相切．（A ）不可以 （B ）只有在点)0,1(-处可以（C ）只有在原点处可以 （D ）只有在点)0,1(处可以10．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.y x xy -=e d d 12. 1d d =-xy x y 13. 0d )2e (d e =++y y x x y y14．)1ln(2y y '+= 15．012=+'+''y y y四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程x y y 2cos 4=+''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x ty y t x 2d d d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设方程)(d d 2y f x xy =中，)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，且0)(<y yf ，)0(≠y ．求证：该方程的任一满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在． 19．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
當微分方程练习试卷3 U A1.方程X —1 = U 址R _________ I Mett. ir«rt > 微分方仪.dt-：.方w —^- = f (xy) ________ •可以化为tn分Khfi ______________ .y dxd'ys.做分方《■ ——z- —_______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2 的解“个.dx& »««»/,•» y" + ay' + fly = ye x的卄解y (x) = e~x + e x + xe x.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y = 5.朗躲晰列式W(f)三0Wffittffl召(f),x2(t),^-,x n(t) A a<x <b i找件仲的___________________________________________ 条件.& 方程xydx+(2x2 4- 3y2一2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为__________________________________T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________~2 0_8.方KfflX* = X的星轄第辞为0 5_空*+尸9._________ 可用变殃紗们为利方程化；MS性方程.10._____________________________________ 丁—1 足朋方程y m + 2y" 4- 5y r + y = 1 辦“苗条”g *v<4)-v=z2H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式：is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞________________________点的曲找方幔.matt任.点仪的wtt^w点血成“.。
《常微分方程》期终考试试卷（A ）（适用班级：班 ）下属学院班级姓名成绩一、填空（每小题 3 分，共 30 分）1、 形 如 y ' = f (x ) ⋅ g ( y ) 的 方 程 当 g (x ) ≠ 0 的 通 解 为。
2、一阶方程 Mdx + Ndy = 0 ，若存在可微函数μ(x , y )(≠ 0) 使时，称μ(x , y ) 为这个方程的积分因子。
3、 称为黎卡提方程， 若它有一个特解 y (x ) ， 则经过变换，可化为伯努利方程。
4、对∀(x , y 1 ), (x , y 2 ) ∈ R ，存在常数 N (> 0) ，使 则称 f (x , y )在 R 上关于 y 满足李普希兹条件。
5、若ϕ(x ) 为毕卡逼近序列{ϕn (x )} 的极限，则有| ϕ(x ) - ϕn (x ) |≤ 。
6、方程dy = x 2 + y 2 定义在矩形域 R ： - 2 ≤ x ≤ 2 ， - 2 ≤ y ≤ 2 上，则经过点dx(0,0) 解的存在区间是。
7、若 x i (t )(i = 1,2,3, , n ) 是 n 阶齐线性方程 y (n ) + p 1 y (n -1) ++ p n -1 y ' + p n y = 0 的n 个解， w (t ) 为其伏朗基斯行列式，则 w (t ) 满足一阶线性方程。
8、设 x 1 (t ) ≠ 0 是二阶齐线性方程 x ' + a 1 (t )x ' + a 2 (t )x = 0 的一个解，则该方程的通解为。
9、若 x i (t )(i = 1,2,3, , n ) 为齐线性方程的一个基本解组， x (t ) 为非齐线性方程的一 个特解，则非齐线性方程的通解为。
⎧xt ' = x - y 10、驻定方程组⎨ yt ' = 2x + y 的奇点类型为。
二、求下列方程的解（每题 8 分，共 24 分）1 、 dy=dxy 2x -y 22、 2xydx + (x 2+y)dy = 03、 y = ln(1 +y'2)x三、计算题（每题 8 分，共 24 分）1、求 y x + 2 y ' + y = 0 的通解。
