七年级上数学第四单元复习北师版

期末复习（易错题60题33个考点）一．正数和负数（共1小题）1．某自行车厂7天计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因，无法按计划生产，如表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天+4﹣2﹣4+10﹣8﹣12+6（1）根据记录可知前2天共生产自行车辆；（2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；（3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资50元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励20元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣25元，则该厂工人这7天的工资总额是多少？二．数轴（共2小题）2．有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（）A．4a+b﹣5B．4a﹣b﹣5C．b+5D．﹣b﹣53．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣6，b，3，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2cm，点C对齐刻度6cm．则数轴上点B所对应的数b为．三．绝对值（共1小题）4．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（）A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b四．有理数大小比较（共1小题）5．a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b的大小顺序是（）A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜﹣b＜a C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜a＜﹣b五．有理数的乘方（共3小题）6．下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1|B．﹣32与（﹣3）2C．（﹣4）3与﹣43D．与（）27．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，且a+b＜0，则|a|+|b|＝﹣a﹣b；③一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；④若﹣1＜a＜0，则a的倒数小于﹣1．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有条．六．有理数的混合运算（共1小题）9．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|＝2，那么代数式的值为．七．列代数式（共1小题）10．在罗山县某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示）．（1）用含m、n的代数式表示该广场的面积S；（2）若m、n满足（m﹣6）2+|n﹣8|＝0，求出该广场的面积．八．代数式求值（共5小题）11．如果2x﹣y＝3，那么代数式4﹣2x+y的值为（）A．﹣1B．4C．﹣4D．112．如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果是62，则输入的x的值可能是（）A．6B．7C．8D．913．已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式5+2x2﹣4x＝．14．已知x＝3﹣2y，则整式2x+4y﹣5的值为．15．某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？九．同类项（共2小题）16．如果2x3n y m+1与﹣3x12y4是同类项，那么m，n的值分别是（）A．m＝﹣2，n＝3B．m＝2，n＝3C．m＝﹣3，n＝2D．m＝3，n＝417．下列结论中，正确的是（）A．代数式πx2+4x﹣3是三次三项式B．3x2y与﹣2xy2是同类项C．代数式x2+4x﹣3的常数项是3D．单项式﹣系数是﹣，次数是3一十．合并同类项（共2小题）18．多项式2x3+3mxy﹣9xy+5不含xy项，则m＝．19．定义：若x﹣y＝m，则称x与y是关于m的相关数．（1）若5与a是关于2的相关数，则a＝．（2）若A与B是关于m的相关数，A＝3mn﹣5m+n+6，B的值与m无关，求B的值．一十一．去括号与添括号（共1小题）20．把式子（a﹣b）﹣（﹣a+1）去括号正确的是（）A．a+b﹣a﹣1B．a﹣b+a﹣1C．a﹣b﹣a+1D．a+b+a+1一十二．规律型：数字的变化类（共3小题）21．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（）A．363B．361C．359D．35722．有一组单项式如下：﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4……，则第100个单项式是（）A．100x100B．﹣100x100C．101x100D．﹣101x10023．观察下面三行数：第①行：2、4、6、8、10、12、…第②行：3、5、7、9、11、13、…第③行：1、4、9、16、25、36、…设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+z的值为（）A．10199B．10201C．10203D．10205一十三．规律型：图形的变化类（共3小题）24．如图，每个图案均由边长相等的黑白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（）个．A．n B．（5n+3）C．（5n+2）D．（4n+3）25．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为．26．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为cm．一十四．单项式（共1小题）27．关于单项式﹣，下列说法中正确的是（）A．系数是﹣2B．次数是2C．系数是D．次数是3一十五．多项式（共3小题）28．多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝．29．若多项式4x2y|m|﹣（m﹣1）y2+1是关于x，y的三次三项式，则常数m＝．30．已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．（1）a＝，b＝，线段AB＝；（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．一十六．整式的加减—化简求值（共2小题）31．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是．（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；拓展探索：（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．32．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3．一十七．方程的解（共1小题）33．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（）A．4B．3C．2D．1一十八．一元一次方程的定义（共2小题）34．已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．3或1B．1C．3D．035．已知方程（m﹣3）x|m|﹣2﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是．一十九．解一元一次方程（共2小题）36．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（）A．4B．5C．21D．5或2137．解方程：（1）；（2）．二十．同解方程（共1小题）38．已知方程＝3﹣与关于x的一元一次方程2﹣kx＝x的解相同，则k的值为．二十一．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）39．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．B．C．D．40．某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（）A．12x＝18（28﹣x）B．2×12x＝18（28﹣x）C．12×18x＝18（28﹣x）D．12x＝2×18（28﹣x）二十二．一元一次方程的应用（共2小题）41．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他（）A．不赚不赔B．赚9元C．赔18元D．赚18元42．一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（）A．5折B．5.5折C．7折D．7.5折二十三．几何体的展开图（共1小题）43．如图正方体纸盒，展开后可以得到（）A．B．C．D．二十四．直线、射线、线段（共1小题）44．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b ﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12．（1）直接写出结果，OA＝，AB＝．（2）设点P在数轴上对应的数为x．①若点P为线段AB的中点，则x＝．②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是．（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．二十五．两点间的距离（共2小题）45．在直线l上取三点A、B、C，使线段AB＝8cm，AC＝3cm，则线段BC的长为（）A．5cm B．8cm C．5cm或8cm D．5cm或11cm46．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由二十六．比较线段的长短（共1小题）47．已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm二十七．角的概念（共1小题）48．如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（）A．190B．380C．231D．462二十八．度分秒的换算（共2小题）49．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（）A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°2050．把7.26°用度、分、秒表示正确的是（）A．7°2′12″B．7°2′6″C．7°15′36″D．7°15′6″二十九．角的计算（共5小题）51．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠AEF+∠BEG的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．140°52．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．则∠EBD＝度．53．如图1，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA＝64°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠A'ED'＝18°，则∠DEC的度数为．54．综合与探究特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．①若AC＝4cm，则线段DE的长为cm．②设AC＝a cm，则线段DE的长为cm．知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含α的代数式表示）55．如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．（1）若AC＝6cm，则EF＝cm；（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；（3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF；②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．56．已知∠α＝27'，∠β＝0.45°，则∠α与∠β的大小关系是（）A．∠α＝∠βB．∠α＞∠βC．∠α＜∠βD．无法确定三十一．简单组合体的三视图（共2小题）57．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．58．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（）A．B．C．D．三十二．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）59．每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从13个班级中抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（）A．800名学生是总体B．50是样本容量C．13个班级是抽取的一个样本D．每名学生是个体60．为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A 乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．问卷情况统计表运动项目人数A乒乓球mB排球10C篮球80D跳绳70（1）本次调查的样本容量是，统计表中m＝；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是°；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．期末复习（易错题60题33个考点）一．正数和负数（共1小题）1．某自行车厂7天计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因，无法按计划生产，如表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天+4﹣2﹣4+10﹣8﹣12+6（1）根据记录可知前2天共生产自行车202辆；（2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产22辆；（3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资50元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励20元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣25元，则该厂工人这7天的工资总额是多少？【答案】（1）202；（2）22；（3）34450元．【解答】解：（1）4+（﹣2）＝2（辆），100×2+2＝202（辆），∴前2天共生产自行车202辆；故答案为：202；（2）10﹣（﹣12）＝10+12＝22（辆），∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产22辆自行车；故答案为：22；（3）依题意得：这7天的自行车产量与计划产量的差为：4﹣2﹣4+10﹣8﹣12+6＝﹣6，∴该厂工人这7天的自行车产量为：100×7+（﹣6）＝694（辆）694×50+（4+10+6）×20﹣（2+4+8+12）×25＝34700+400﹣650＝34450（元），答：该厂工人这7天的工资总额是34450元．二．数轴（共2小题）2．有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（）A．4a+b﹣5B．4a﹣b﹣5C．b+5D．﹣b﹣5【答案】C【解答】解：由题意可得，﹣2＜b＜﹣1＜1＜a＜2，∴|2a|﹣|b|+|2a﹣5|＝2a﹣（﹣b）+[﹣（2a﹣5）]＝2a+b﹣2a+5＝b+5，故选：C．3．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣6，b，3，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2cm，点C对齐刻度6cm．则数轴上点B所对应的数b为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：由题意可知：AC＝6cm，AB＝2cm，∵6÷[3﹣（﹣6）]＝（cm），∴数轴的单位长度是cm，∵2÷＝3，∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，∴点B所对应的数b为﹣6+3＝﹣3，故答案为：﹣3．三．绝对值（共1小题）4．如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（）A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b【答案】B【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1，∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0，∴|﹣3﹣a|﹣|b+1|＝（3+a）﹣（b+1）＝3+a﹣b﹣1＝2+a﹣b．故选：B．四．有理数大小比较（共1小题）5．a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b的大小顺序是（）A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜﹣b＜a C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜a＜﹣b【答案】D【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，∴﹣a＜0，﹣a＞b，﹣b＞0，﹣b＞a，即b＜﹣a＜a＜﹣b，故选：D．五．有理数的乘方（共3小题）6．下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1|B．﹣32与（﹣3）2C．（﹣4）3与﹣43D．与（）2【答案】C【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误；B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确；D、＝，＝，≠，故本选项错误．故选：C．7．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，且a+b＜0，则|a|+|b|＝﹣a﹣b；③一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；④若﹣1＜a＜0，则a的倒数小于﹣1．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：①∵只有互不为零的一对相反数的商为﹣1，∴①的说法错误；②∵，且a+b＜0，∴a，b同为负数，|a|+|b|＝﹣a﹣b，故②的说法正确；③∵03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1，∴一个数的立方是它本身，这个数为0或1或﹣1，故③的说法错误；④∵﹣1＜a＜0时，a的倒数小于﹣1，∴假设a＝﹣0.5时，a的倒数为﹣2，﹣2＜﹣1，故④的说法正确；综上可知，正确的个数为：2个；故选：B．8．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有127条．【答案】127．【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1；第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1；第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1；第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1；……，∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127，故答案为：127．六．有理数的混合运算（共1小题）9．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|＝2，那么代数式的值为1或﹣7．【答案】1或﹣7．【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，＝﹣3×1+2×2＝0﹣3+4＝1；当m＝﹣2时，＝﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣3+（﹣4）＝﹣7；∴的值为1或﹣7，故答案为：1或﹣7．七．列代数式（共1小题）10．在罗山县某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示）．（1）用含m、n的代数式表示该广场的面积S；（2）若m、n满足（m﹣6）2+|n﹣8|＝0，求出该广场的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）S＝2m×2n﹣m（2n﹣n﹣0.5n）＝4mn﹣0.5mn＝3.5mn；（2）由题意得m﹣6＝0，n﹣8＝0，∴m＝6，n＝8，代入，可得原式＝3.5×6×8＝168．八．代数式求值（共5小题）11．如果2x﹣y＝3，那么代数式4﹣2x+y的值为（）A．﹣1B．4C．﹣4D．1【答案】D【解答】解：当2x﹣y＝3时，4﹣2x+y＝4﹣（2x﹣y）＝4﹣3＝1，故选：D．12．如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果是62，则输入的x的值可能是（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解答】解：当3x+2＝62，3x＝60，x＝20，当3x+2＝20，3x＝18，x＝6，当3x+2＝6，3x＝4，x＝（不符合题意，舍去），∴输入的x的值可能是6或20，故选：A．13．已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式5+2x2﹣4x＝11．【答案】11．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x＝3，∴5+2x2﹣4x＝5+2（x2﹣2x）＝5+2×3＝5+6＝11．故答案为：11．14．已知x＝3﹣2y，则整式2x+4y﹣5的值为1．【答案】1．【解答】解：∵x＝3﹣2y，∴x+2y＝3，∴2x+4y＝6，∴2x+4y﹣5＝6﹣5＝1，故答案为：1．15．某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该客户按方案一需付款：40×10+10（x﹣10）＝（10x+300）元；该客户按方案二需付款：（40×10+10x）×90%＝（9x+360）元；答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款（10x+300）元、（9x+360）元；（2）当x＝30时，按方案一需付款：10×30+300＝600（元），按方案二需付款：9×30+360＝630（元），∵600＜630，∴客户按方案一购买较为合算；（3）能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，共付款：40×10+10×20×90%＝580（元），答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元．九．同类项（共2小题）16．如果2x3n y m+1与﹣3x12y4是同类项，那么m，n的值分别是（）A．m＝﹣2，n＝3B．m＝2，n＝3C．m＝﹣3，n＝2D．m＝3，n＝4【答案】D【解答】解：∵2x3n y m+1与﹣3x12y4是同类项，∴3n＝12，m+1＝4，解得m＝3，n＝4，故选：D．17．下列结论中，正确的是（）A．代数式πx2+4x﹣3是三次三项式B．3x2y与﹣2xy2是同类项C．代数式x2+4x﹣3的常数项是3D．单项式﹣系数是﹣，次数是3【答案】D【解答】解：A．代数式πx2+4x﹣3是二次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意；B．3x2y与﹣2xy2不是同类项，原说法错误，故此选项不符合题意；C．代数式x2+4x﹣3的常数项是﹣3，原说法错误，故此选项不符合题意；D．单项式﹣系数是﹣，次数是3，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．一十．合并同类项（共2小题）18．多项式2x3+3mxy﹣9xy+5不含xy项，则m＝3．【答案】3．【解答】解：2x3+3mxy﹣9xy+5＝2x3+（3m﹣9）xy+5，由题意得：3m﹣9＝0，解得：m＝3，故答案为：3．19．定义：若x﹣y＝m，则称x与y是关于m的相关数．（1）若5与a是关于2的相关数，则a＝3．（2）若A与B是关于m的相关数，A＝3mn﹣5m+n+6，B的值与m无关，求B的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵5﹣a＝2，∴a＝3，故答案为：3；（2）∵A﹣B＝m，∴3mn﹣5m+n+6﹣B＝m，∴B＝3mn﹣5m+n+6﹣m＝3mn﹣6m+n+6＝（3n﹣6）m+n+6，∵B的值与m无关，∴3n﹣6＝0，∴n＝2，∴B＝2+6＝8．答：B的值为8．一十一．去括号与添括号（共1小题）20．把式子（a﹣b）﹣（﹣a+1）去括号正确的是（）A．a+b﹣a﹣1B．a﹣b+a﹣1C．a﹣b﹣a+1D．a+b+a+1【答案】B【解答】解：（a﹣b）﹣（﹣a+1）＝a﹣b+a﹣1．故选：B．一十二．规律型：数字的变化类（共3小题）21．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（）A．363B．361C．359D．357【答案】A【解答】解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：第一行的第一个数：1×0+1＝1第二行的第一个数：2×1+1＝3第三行的第一个数：3×2+1＝7…第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1∴第19行的第一个数：19×18+1＝343∴第19行的第11个数：343+10×2＝363故选：A．22．有一组单项式如下：﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4……，则第100个单项式是（）A．100x100B．﹣100x100C．101x100D．﹣101x100【答案】C【解答】解：由﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4……得，单项式的系数的绝对值为序数加1，系数的正负为（﹣1）n，字母的指数为n，∴第100个单项式为（﹣1）100（100+1）x100＝101x100，故选：C．23．观察下面三行数：第①行：2、4、6、8、10、12、…第②行：3、5、7、9、11、13、…第③行：1、4、9、16、25、36、…设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+z的值为（）A．10199B．10201C．10203D．10205【答案】A【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、…2n，∴第100个数＝2×100＝200，∴x＝200；观察第②行：3、5、7、9、11、13、…（2n+1），∴第100个数＝2×100+1＝201，∴y＝201；观察第③行：1、4、9、16、25、36、 (2)∴第100个数＝1002＝10000，∴z＝201；∴2x﹣y+z＝2×200﹣201+10000＝10199，故选：A．一十三．规律型：图形的变化类（共3小题）24．如图，每个图案均由边长相等的黑白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（）个．A．n B．（5n+3）C．（5n+2）D．（4n+3）【答案】D【解答】解：第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4）个，第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（7+4×2）个，类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]个，即（4n+3）个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）个．故选：D．25．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察图形，得第1幅图形中有“●”的个数为3个，即a1＝3＝1×3第2幅图形中有“●”的个数为8个，即a2＝8＝2×4第3幅图形中有“●”的个数为15个，即a3＝15＝3×5…第n（n为正整数）幅图形中有“●”的个数为n（n+2）个，即a n＝n（n+2）∴第8幅图形中有“●”的个数为80个，即a8＝80＝8×10∴＝+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1+﹣﹣）＝故答案为．26．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为91cm．【答案】91．【解答】解：由题意得：1节链条的长度＝2.8cm，2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，..．∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），故答案为：91．一十四．单项式（共1小题）27．关于单项式﹣，下列说法中正确的是（）A．系数是﹣2B．次数是2C．系数是D．次数是3【答案】D【解答】解：单项﹣的系数和次数分别是：﹣，3．故选：D．一十五．多项式（共3小题）28．多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．29．若多项式4x2y|m|﹣（m﹣1）y2+1是关于x，y的三次三项式，则常数m＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵多项式4x2y|m|﹣（m﹣1）y2+1是关于x，y的三次三项式，∴2+|m|＝3，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．30．已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．（1）a＝﹣10，b＝20，线段AB＝30；（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．【答案】（1）﹣10，20，30；（2）CM的长是3或75；（3）．【解答】解：（1）由题意知：a+10＝0，b＝20，∴a＝﹣10，∴AB的距离为20﹣（﹣10）＝30；故答案为﹣10，20，30；（2）分两种情况：①当点C在AB之间时，如图1，∵AC＝BC，AB＝30，∴AC＝18，∵M是AB的中点，∴AM＝15，∴CM＝18﹣15＝3；②当点C在点B的右侧时，如图2，∵AC＝BC，AB＝30，∴AC＝90，∵AM＝15，∴CM＝90﹣15＝75；综上，CM的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20+t，∵t＜30，AB＝30，∴点G在线段AB之间，∵D为BG的中点，∴点D表示的数为：＝5+t，∵F是DH的中点，∴点F表示的数为：＝，∵BG＝20﹣（﹣10+t）＝30﹣t，∵EG＝BG，∴EG＝＝10﹣t，∴点E表示的数为：﹣10+t+10﹣t＝t，∴DE+DF＝（5+t）﹣t+﹣（5+t）＝．一十六．整式的加减—化简求值（共2小题）31．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是﹣（a﹣b）2．（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；拓展探索：（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；故答案为：﹣（a﹣b）2；（2）∵x2﹣2y＝4，∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9；（3）∵a﹣2b＝3①，2b﹣c＝﹣5②，c﹣d＝10③，由①+②可得a﹣c＝﹣2，由②+③可得2b﹣d＝5，∴原式＝﹣2+5﹣（﹣5）＝8．32．先化简，再求值：2（a2b+ab2）﹣2（a2b﹣1）﹣ab2﹣2．其中a＝1，b＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2a2b+2ab2﹣2a2b+2﹣ab2﹣2＝ab2，当a＝1，b＝﹣3时，原式＝1×（﹣3）2＝9．一十七．方程的解（共1小题）33．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．一十八．一元一次方程的定义（共2小题）34．已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．3或1B．1C．3D．0【答案】B【解答】解：根据题意得：|a﹣2|＝1，解得a＝3或a＝1，因为a﹣3≠0，所以a≠3，综上可知：a＝1．故选：B．35．已知方程（m﹣3）x|m|﹣2﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，得|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．一十九．解一元一次方程（共2小题）36．现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（）A．4B．5C．21D．5或21【答案】B【解答】解：若x≥3，3x﹣3＝12，解得x＝5；若x＜3，x﹣9＝12，解得x＝21（不符合题意，舍去）．综上，x＝5，故选：B．37．解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝；（2）x＝21．【解答】解：（1），2（2x﹣1）﹣（10x+1）＝3（2x+1）﹣12，4x﹣2﹣10x﹣1＝6x+3﹣12，4x﹣10x﹣6x＝3﹣12+2+1，﹣12x＝﹣6，x＝；（2），8﹣（7+3x）＝2（3x﹣10）﹣8x，8﹣7﹣3x＝6x﹣20﹣8x，﹣3x﹣6x+8x＝﹣20+7﹣8，﹣x＝﹣21，x＝21．二十．同解方程（共1小题）38．已知方程＝3﹣与关于x的一元一次方程2﹣kx＝x的解相同，则k的值为﹣．【答案】﹣．【解答】解：＝3﹣，2（x﹣1）＝18﹣3x，2x﹣2＝18﹣3x，2x+3x＝18+2，5x＝20，x＝4，由题意得：把x＝4代入方程2﹣kx＝x中得：2﹣4k＝4，﹣4k＝4﹣2，﹣4k＝2，k＝﹣，故答案为：﹣．二十一．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）39．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：＝3，故选：C．40．某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（）A．12x＝18（28﹣x）B．2×12x＝18（28﹣x）C．12×18x＝18（28﹣x）D．12x＝2×18（28﹣x）【答案】B【解答】解：∵有x名工人生产螺栓，∴有（28﹣x）名工人生产螺母，∵每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，∴螺栓有12x，螺母有18×（28﹣x）个，故方程为2×12x＝18（28﹣x），故选：B．二十二．一元一次方程的应用（共2小题）41．某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他（）A．不赚不赔B．赚9元C．赔18元D．赚18元【答案】C【解答】解：设在这次买卖中原价都是x元，则可列方程：（1+25%）x＝135解得：x＝108比较可知，第一件赚了27元第二件可列方程：（1﹣25%）x＝135解得：x＝180，比较可知亏了45元，两件相比则一共亏了18元．故选：C．42．一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购买2件该商品，相当于这2件商品共打了（）A．5折B．5.5折C．7折D．7.5折【答案】D【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：x+0.5x＝2x•，解得：y＝7.5即相当于这两件商品共打了7.5折．故选：D．。

北师大版2024—2025学年七年级上册秋季数学期末复习练习一、选择题1．如图所示几何体，从左面看是（）A．B．C．D．2．在代数式：，3m﹣3，﹣22，﹣，2πb2中，单项式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若﹣3xy2m与5x2n﹣3y8的和是单项式，则m、n的值分别是（）A．m＝2，n＝2B．m＝4，n＝1C．m＝4，n＝2D．m＝2，n＝3 4．七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（）A．86分B．93分C．87分D．80分5．若2a2﹣b＝4，则代数式3+2a2﹣b的值为（）A．11B．7C．﹣1D．﹣56．若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5B．x≥5C．x＜5D．x≤57．太阳中心的温度可达15500000℃，这个数用科学记数法表示正确的是（）A．0.155×108B．15.5×106C．1.55×107D．1.55×1058．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A 点表示的数是（）A．﹣2π﹣1B．﹣1+πC．﹣1+2πD．﹣π9．南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（）A．有B．事C．竟D．成10．下列图形都是由同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中圆圈的个数为（）A．34B．43C．53D．3311．设M＝x2﹣8x﹣4，N＝2x2﹣8x﹣3，那么M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定12．把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长20cm，若记图2中阴影部分的周长为C1，图3中阴影部分的周长为C2，那么C1﹣C2＝（）A．10cm B．20cm C．30cm D．40cm二、填空题1．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC＝度．2．已知a+b＝8，则代数式1﹣2a﹣2b的值为．3．如果单项式﹣x m y2与6xy n+5是同类项，那么m+n＝．4．元旦节期间，某商店将一件衣服按成本价提高50%后标价，然后打八折卖出，结果仍获利60元，那么这件衣服的成本价是元．5．已知（a﹣1）x|a|+2024＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．6．一次数学测试，如果95分为优秀，以95分为基准简记，例如106分记为+11分，那么86分应记为分．7．一个正方体展开图如图所示，若相对面上标记的两个数均互为相反数，则xy的值为．8．如果关于x的方程2x+1＝3和方程的解相同，那么k的值为．9．已知x+y＝5，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为．10．将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，以此类推，当摆放2024个时，实线部分长为．11．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝10cm，BD＝2cm，则AC＝cm．12．某天的最高气温是17℃，最低气温是﹣2℃，该天的温差是．13．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有个小圆圈．14．钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为．三、解答题1．计算：（1）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）；（2）5×（﹣6）﹣（﹣4）2+（﹣8）；（3）；（4）﹣15+（﹣2）3×（﹣）﹣|﹣1﹣5|．2．解下列方程：（1）5x﹣3（x﹣1）＝6；（2）．3．化简求值：，其中|x+1|+（2y﹣4）2＝0．4．表示有理数a、b、c的点在数轴上的位置如图所示．（1）比较b、c、﹣b、﹣c的大小关系为．（用“＜”号连接）（2）化简：2c﹣|a+b|+|c﹣b|+|c+a|．5．学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：+7，﹣6，+8，﹣10，+13，﹣8，﹣4（单位：米）．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后一共跑了多少米？6．某中学学生步行到郊外旅行．七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．（1）后队追上前队需要多长时间？（2）后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少千米？7．某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一、每买一张课桌就赠送一把椅子；方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款．某校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）．（1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？（2）当x＝300时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案中的哪种更省钱？（3）当购买多少把椅子时，两种方案的费用都一样？8．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图；（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，①在图中所示几何体上最多可以添加个小正方体；②在图中所示几何体上最多可以拿走个小正方体．9.已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2﹣xy+1，（1）求3A﹣6B；（2）若3A﹣6B的值与x的取值无关．求y的值．10.如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若，求∠BOE的度数；（2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数．11.已知∠AOB，过点O作射线OK，如果，则称∠BOK是∠AOB的“伴随角”．如图1，不难发现∠AOB的“伴随角”有两个，∠BOK1和∠BOK2都是∠AOB的“伴随角”．（1）已知∠AOB的“伴随角”为20°，求∠AOB的度数；（2）如图2，点O在直线MN上，满足：①∠AOB＝90°；②∠FOB＝80°；③∠FOM：∠NOB＝1：11，请依据以上条件，计算出∠AON的度数；（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB的余角是∠MON补角的．射线OK和OA 分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，射线OK的速度为每秒12°，射线OA的速度为每秒4°，两条射线相遇时停止．在旋转过程中∠BOK能否成为∠AOB的“伴随角”．若能，请求出符合条件的旋转时间；若不能，请说明理由．12.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22．（1）写出数轴上点B表示的数；（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①若|x﹣8|＝3，则x＝；②|x+14|+|x﹣8|的最小值为．（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2．。

专题02有理数及其运算（易错必刷40题12种题型专项训练）正数和负数 有理数 数轴相反数 有理数大小比较 有理数加法有理数的加减运算 有理数的乘法绝对值非负数的性质：绝对值 有理数的乘方 有理数的混合运算一．正数和负数（共3小题）1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克3．在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为86分，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作+12分，若小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为（）A．90分B．88分C．84分D．82分二．有理数（共1小题）4．下列说法中正确的是（）A．正分数和负分数统称为分数B．正整数、负整数统称为整数C．零既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数三．数轴（共8小题）5．在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（）A．2013B．2014C．2015D．20166．点M在数轴上距原点4个单位长度，若将M向右移动2个单位长度至N点，点N表示的数是（）A．6B．﹣2C．﹣6D．6或﹣27．数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（）A．1B．5C．1或﹣5D．1或58．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：甲：b﹣a＜0乙：a+b＞0丙：|a|＜|b|丁：其中正确的是（）A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁9．有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（）A．4a+b﹣5B．4a﹣b﹣5C．b+5D．﹣b﹣510．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（）A．0B．1C．2D．311．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A 表示的数是．12．如图，有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①a+b﹣c＞0；②b﹣a＜0；③bc﹣a＜0；④﹣+＝1，其中正确的是．四．相反数（共1小题）13．已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值．五．绝对值（共10小题）14．如果|a|＝a，下列各式成立的是（）A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤015．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（）A．x＝4或x＝﹣3B．x＝4C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣316．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．517．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．218．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．1119．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（）A．﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或220．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝．21．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为．22．绝对值大于3而不大于7的所有整数是．23．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．六．非负数的性质：绝对值（共1小题）24．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（）A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3七．有理数大小比较（共1小题）25．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（）A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a八．有理数的加法（共2小题）26．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为．27．某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行汽车出租，到晚上6时，一天行驶记录如下：（向东记为正，向西记为负，单位：千米）+10、﹣3、+4、+2、+8、+5、﹣2、﹣8、+12、﹣5、﹣7（1）到晚上6时，出租车在什么位置．（2）若汽车每千米耗油0.2升，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少升？九．有理数的加减混合运算（共2小题）28．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（）A．20﹣3+5﹣7B．﹣20﹣3+5+7C．﹣20+3+5﹣7D．﹣20﹣3+5﹣729．将﹣2﹣（+5）﹣（﹣7）+（﹣9）写成省略括号的和的形式是（）A．﹣2+5﹣7﹣9B．﹣2﹣5+7+9C．﹣2﹣5﹣7﹣9D．﹣2﹣5+7﹣9一十．有理数的乘法（共2小题）30．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为．31．若x＝5，|y|＝3，且xy＜0，则代数式x﹣2y＝．一十一．有理数的乘方（共4小题）32．下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1|B．﹣32与（﹣3）2C．（﹣4）3与﹣43D．与（）233．一根长为2020厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2019次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为厘米．34．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有条．35．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1，即S＝22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013＝22014﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．一十二．有理数的混合运算（共5小题）36．日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（）A．25B．23C．55D．5337．2020年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯300盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）：星期一二三四五六日+4﹣6﹣3+10﹣5+11﹣2增减（单位：盏）（1）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？（2）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元．若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励15元，少生产一盏扣20，那么该灯具厂工人上周的工资总额是多少元？38．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.250.30.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量；（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元39．计算：（1）32×（﹣）+8÷（﹣2）2．（2）（﹣﹣）×（﹣36）40．小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元．月末结算时，每周每天以50碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）：周次一二三四销售量382610﹣4（1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？（2）这四周总销售额是多少？（3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元．若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出专题02有理数及其运算（易错必刷40题12种题型专项训练）正数和负数 有理数 数轴相反数 有理数大小比较 有理数加法有理数的加减运算 有理数的乘法绝对值非负数的性质：绝对值 有理数的乘方 有理数的混合运算一．正数和负数（共3小题）1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 【答案】B【解答】解：由零件标注φ30可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm，∴最大可以是30+0.03＝30.03（mm）．故选：B．2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克【解答】解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．故选：D．3．在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为86分，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作+12分，若小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为（）A．90分B．88分C．84分D．82分【答案】D【解答】解：根据题意得：小明98分，应记为+12分；小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为82分．故选：D．二．有理数（共1小题）4．下列说法中正确的是（）A．正分数和负分数统称为分数B．正整数、负整数统称为整数C．零既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数【答案】A【解答】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意；C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意；D．零是有理数，但零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不符合题意；故选：A．三．数轴（共8小题）5．在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（）A．2013B．2014C．2015D．2016【答案】C【解答】解：2014﹣（﹣1）＝2015，故A，B两点间的距离为2015．故选：C．6．点M在数轴上距原点4个单位长度，若将M向右移动2个单位长度至N点，点N表示的数是（）A．6B．﹣2C．﹣6D．6或﹣2【解答】解：因为点M在数轴上距原点4个单位长度，点M的坐标为±4．（1）点M坐标为4时，N点坐标为4+2＝6；（2）点M坐标为﹣4时，N点坐标为﹣4+2＝﹣2．所以点N表示的数是6或﹣2．故选：D．7．数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（）A．1B．5C．1或﹣5D．1或5【答案】C【解答】解：如图：根据数轴可以得到在数轴上与点P距离3个长度单位的点所表示的数是：﹣5或1．故选：C．8．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：甲：b﹣a＜0乙：a+b＞0丙：|a|＜|b|丁：其中正确的是（）A．甲乙B．丙丁C．甲丙D．乙丁【答案】C【解答】解：由图可知：b＜0＜a，|a|＜|b|，∴b﹣a＜0，a+b＜0，，综上可知，乙丁错误，甲丙是正确的，故C正确．故选：C．9．有理数a，b在数轴上如图所示，则化简|2a|﹣|b|+|2a﹣5|的结果是（）A．4a+b﹣5B．4a﹣b﹣5C．b+5D．﹣b﹣5【答案】C【解答】解：由题意可得，﹣2＜b＜﹣1＜1＜a＜2，∴|2a|﹣|b|+|2a﹣5|＝2a﹣（﹣b）+[﹣（2a﹣5）]＝2a+b﹣2a+5＝b+5，故选：C．10．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，则圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2，2，6...﹣2+4n，圆周上数字1所对应的点与数轴上的数﹣1，3，7...﹣1+4n，圆周上数字2所对应的点与数轴上的数0，4，8...4n，圆周上数字3所对应的点与数轴上的数1，5，9...1+4n，∵2021＝1+4×505，∴数轴上的数2021与圆周上数字3重合，故选：D．11．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A 表示的数是﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：设点A表示的数是x．依题意，有x+7﹣4＝0，解得x＝﹣3．故答案为：﹣312．如图，有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①a+b﹣c＞0；②b﹣a＜0；③bc﹣a＜0；④﹣+＝1，其中正确的是②③．【答案】②③．【解答】解：根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置可知：①因为a+b﹣c＜0，所以①错误；②因为b﹣a＜0，所以②正确；③因为bc﹣a＜0，所以③正确；④因为﹣+＝﹣+＝1+1+1＝3，所以④错误．所以其中正确的是②③．故答案为：②③．四．相反数（共1小题）13．已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程3x+2＝﹣4，解得：x＝﹣2，因为x、y互为相反数，所以y＝2，把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1，解得：m＝2．五．绝对值（共10小题）14．如果|a|＝a，下列各式成立的是（）A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0【答案】C【解答】解：∵|a|＝a，∴a为绝对值等于本身的数，∴a≥0，故选：C．15．已知|2x﹣1|＝7，则x的值为（）A．x＝4或x＝﹣3B．x＝4C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣3【答案】A【解答】解：∵|2x﹣1|＝7，∴2x﹣1＝±7，∴x＝4或x＝﹣3．故选：A．16．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．从轻重的角度看，最接近标准的工件是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．5【答案】A【解答】解：|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，|3|＝3，|5|＝5，∵2＜3＜5，∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记为﹣2的工件．故选：A．17．已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．2【答案】C【解答】解：∵m+n＝|m+n|，|m|＝4，|n|＝6，∴m＝4，n＝6或m＝﹣4，n＝6，∴m﹣n＝4﹣6＝﹣2或m﹣n＝﹣4﹣6＝﹣10．故选：C．18．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．11【答案】A【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；…第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7．故选：A．19．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（）A．﹣8B．2C．8或﹣2D．﹣8或2【答案】D【解答】解：x的相反数是3，则x＝﹣3，|y|＝5，y＝±5，∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8．则x+y的值为﹣8或2．故选：D．20．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b＝0，∴|a﹣c|﹣|b+c|＝c﹣a﹣c﹣b＝﹣（a+b）＝0．21．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为4或0或2．【答案】4或0或2．【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0，∴a、b、c三个数中必定是一正两负，∴当a＜0，b＜0，c＞0时，ab＞0，此时＝﹣1+2+3＝4；当a＜0，b＞0，c＜0时，ab＜0，此时＝﹣1﹣2+3＝0当a＞0，b＜0，c＜0时，ab＜0，此时＝1﹣2+3＝2故答案为：4或0或2．22．绝对值大于3而不大于7的所有整数是﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7．．【答案】见试题解答内容【解答】解：绝对值大于3且不大于7的所有整数是﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7．故答案为：﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，4，5，6，7．23．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|．（3）如果|x﹣2|＝5，则x＝7或﹣3．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|；（3）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得：x＝7或x＝﹣3，故答案为：7或﹣3；（4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|＝4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1，故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1；（5）根据绝对值的几何意义可知当3≤x≤6时，有最小值是3．六．非负数的性质：绝对值（共1小题）24．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（）A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3【答案】A【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故选：A．七．有理数大小比较（共1小题）25．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（）A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a【答案】B【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，∴﹣a＜0，﹣a＞b，﹣b＞0，﹣b＞a，即b＜﹣a＜a＜﹣b，故选：B．八．有理数的加法（共2小题）26．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为﹣3或﹣6．【答案】﹣3或﹣6．【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则﹣7+6+b+8＝2，解得b＝﹣5，6+4﹣5+x＝2，解得x＝﹣3，则a＝2，y＝﹣1或a＝﹣1，y＝2，当a＝2时，a+b＝2+（﹣5）＝﹣3；当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+（﹣5）＝﹣6，故答案为：﹣3或﹣6．27．某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行汽车出租，到晚上6时，一天行驶记录如下：（向东记为正，向西记为负，单位：千米）+10、﹣3、+4、+2、+8、+5、﹣2、﹣8、+12、﹣5、﹣7（1）到晚上6时，出租车在什么位置．（2）若汽车每千米耗油0.2升，则从停车场出发到晚上6时，出租车共耗油多少升？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（+10）+（﹣3）+（+4）+（+2）+（+8）+（+5）+（﹣2）+（﹣8）+（+12）+（﹣5）+（﹣7）＝10﹣3+4+2+8+5﹣2﹣8+12﹣5﹣7＝41﹣25＝16（千米）．∴到晚上6时，出租车在停车场东边16千米；（2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|﹣2|+|﹣8|+|+12|+|﹣5|+|﹣7|＝10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7＝66（千米），0.2×66＝13.2（升）．九．有理数的加减混合运算（共2小题）28．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（）A．20﹣3+5﹣7B．﹣20﹣3+5+7C．﹣20+3+5﹣7D．﹣20﹣3+5﹣7【答案】C【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7．故选：C．29．将﹣2﹣（+5）﹣（﹣7）+（﹣9）写成省略括号的和的形式是（）A．﹣2+5﹣7﹣9B．﹣2﹣5+7+9C．﹣2﹣5﹣7﹣9D．﹣2﹣5+7﹣9【答案】D【解答】解：﹣2﹣（+5）﹣（﹣7）+（﹣9）＝﹣2﹣5+7﹣9．故选：D．一十．有理数的乘法（共2小题）30．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为±2．【答案】±2．【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝6，∴x＝±8，y＝±6．∵xy＞0，∴x、y同号．∴当x＝8时，y＝6，x﹣y＝8﹣6＝2．当x＝﹣8时，y＝﹣6，x﹣y＝﹣8﹣（﹣6）＝﹣2．故答案为：±2．31．若x＝5，|y|＝3，且xy＜0，则代数式x﹣2y＝11．【答案】11．【解答】解：∵|y|＝3，∴y＝±3，∵xy＜0，∴x，y异号，∵x＝5，∴y＝﹣3，∴x﹣2y＝5﹣2×（﹣3）＝5+6＝11，故答案为：11．一十一．有理数的乘方（共4小题）32．下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1|B．﹣32与（﹣3）2C．（﹣4）3与﹣43D．与（）2【答案】C【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误；B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确；D、＝，＝，≠，故本选项错误．故选：C．33．一根长为2020厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2019次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为1厘米．【答案】1厘米．【解答】解：2020×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝2020×××…×＝1（厘米）．答：剩下的塑料管长为1厘米．故答案为：1．34．将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有127条．【答案】127．【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1；第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1；第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1；第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1；……，∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127，故答案为：127．35．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：2S﹣S＝22014﹣1，即S＝22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013＝22014﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵设S＝1+3+32+33+…+32014，则3S＝3+32+33+…+32014+32015，∴2S＝32015﹣1，∴．一十二．有理数的混合运算（共5小题）36．日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的（）A．25B．23C．55D．53【答案】D【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+1×1＝53．∴二进制中的数110101表示的是十进制中的53．故选：D．37．2020年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯300盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）：星期一二三四五六日+4﹣6﹣3+10﹣5+11﹣2增减（单位：盏）（1）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？（2）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元．若超额完成任务，则超过部分每盏另外奖励15元，少生产一盏扣20，那么该灯具厂工人上周的工资总额是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）4﹣6﹣3+10﹣5+11﹣2＝9（盏），300×7+9＝2109（盏），答：该该灯具厂上周实际生产景观灯2109盏；（2）根据题意，4+10+11＝25（盏），6+3+5+2＝16（盏），2109×50+25×15﹣16×20＝105505（元），答：该灯具厂工人上周的工资总额是105505元．38．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.250.30.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量；（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱），10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2＝203（千克）；答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克；（2）25×203﹣200×20＝1075（元）；答：全部售出可获利1075元；（3）25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20＝466（元）．答：是盈利的，盈利466元．39．计算：（1）32×（﹣）+8÷（﹣2）2．（2）（﹣﹣）×（﹣36）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）32×（﹣）+8÷（﹣2）2．＝9×（﹣）+8÷4，＝﹣3+2，＝﹣1；（2）（﹣﹣）×（﹣36），＝﹣36×+36×+36×，＝﹣18+30+21，＝﹣18+51，＝33．40．小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元．月末结算时，每周每天以50碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）：周次一二三四销售量382610﹣4（1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？（2）这四周总销售额是多少？（3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元．若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出？【答案】（1）第二周收益最多，为1010.8元；（2）这四周总销售额是9674元．（3）小刘更希望以方案二卖出．【解答】解：（1）先算出每一周每天的平均收益：第一周每天的平均收益：（4.5﹣3.1）×（38+50）＝123.2（元）；第二周每天的平均收益：（5﹣3.1）×（26+50）＝144.4（元）；第三周每天的平均收益：（5.5﹣3.1）×（10+50）＝144（元）；第四周每天的平均收益：（6﹣3.1）×（50﹣4）＝133.4（元）．∵123.2＜133.4＜144＜144.4，∴第二周每天的平均收益最多，一周的总收益为144.4×7＝1010.8（元）．（2）这四周总销售额是：7×[（38+50）×4.5+（26+50）×5+（10+50）×5.5+（50﹣4）×6]＝9674（元）；答：这四周总销售额是9674元．（3）小刘一次卖出4碗的收益有如下两种方案：方案一：4×（6﹣3.1﹣0.7）＝8.8（元）；方案二：4×（6﹣3.1）﹣2＝9.6（元）；∵9.6＞8.8，∴方案二收益最多，∴小刘更希望以方案二卖出．。

北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习丰富的图形世界（提高）知识讲解【学习目标】1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．【要点梳理】要点一、立体图形1．定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．要点诠释：常见的立体图形有两种分类方法：2．棱柱的相关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．（2）长方体、正方体都是四棱柱．（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．3．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．要点二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点三、截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．要点四、从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）【典型例题】类型一、立体图形1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．【答案与解析】解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．类型二、点、线、面、体2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题．【答案与解析】解：(1)6， 6， V+F-E＝2；(2)20；(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为243362⨯=条，根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，∴ x+y＝14．【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2【变式】（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）五棱柱 B. 六棱柱 C. 七棱柱 D. 八棱柱【答案】B解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A、五棱柱共15条棱，故A误；B、六棱柱共18条棱，故B正确；C、七棱柱共21条棱，故C错误；D、八棱柱共24条棱，故D错误；3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（）A．从正面看相同 B．从左面看相同 C．从上面看相同 D．三个方向都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．【答案】B类型三、展开与折叠4．（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（）A. 全B. 明C. 城D. 国【答案】C【解析】由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．举一反三：【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．类型四、截一个几何体5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：（1）截面一定是什么图形？（2）剩下的几何体可能有几个顶点？【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点．【答案与解析】（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；（2）剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，如图所示．【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．类型五、从三个方向看物体的形状6．（2016春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．（1）说出这个立体图形的名称；（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．【答案与解析】解：（1）这个立体图形是直三棱柱；（2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．举一反三：【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？【答案】几何体的形状不唯一，最少需要小方块的个数： 3222110++++=，最多需要小方块的个数： 3323116⨯+⨯+=． 北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习丰富的图形世界（提高）巩固练习主视图 俯视图【巩固练习】一、选择题1．（2015•新乐市一模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（）A. B.C. D.2．用一个平面去截一个圆柱体，截面的形状不可能是（）．A．长方形 B．圆 C．椭圆 D．等腰梯形3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的( )．4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）．A．5 B．6 C．7 D．85．（2016•福建龙岩市）如图所示正三棱柱的主视图是（）A． B． C． D．6．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）．A． B． C． D．二、填空题7．（2016•宁夏）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是__________个.8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体A，B，C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________．9．（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为．10．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成．11．用一个平面去截三棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截四棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截五棱柱，截面的边数最多是_______，12． (1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)．三、解答题13．如图所示，一长方体的长、宽、高分别是10 cm、8 cm、6 cm，有一只蚂蚁从A点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到A点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．14．(1)一个梯形ABCD，如图所示，画出绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看，从上面看，从左面看所得到的图形．(2)梯形绕BC所在直线旋转一周形成什么图形?(3)梯形绕DC所在直线旋转一周形成什么图形?15．（2014秋•扶沟县期末）将图中的几何体进行分类，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D【解析】A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误；B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误；C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误．D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确.2．【答案】D3．【答案】D【解析】选项A中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项B中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项C中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的，选项D中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选D．4．【答案】B【解析】如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数．5．【答案】B【解析】解：正三棱柱的主视图中前面正对的一条棱是可以看到的，要用实线标出，所以其主视图平行排列的两个矩形.故选B．6．【答案】C【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．二、填空题7．【答案】5【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．8．【答案】6【解析】与l相邻的四个面分别为4、5、2、3，则1的对面为6，再由B可知3的对面为4，由A可知5的对面为2，可推出“?”处的数字为6．9．【答案】19，48．【解析】∵亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，∴该长方体需要小立方体4×32=36个，∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，表面积为：2×（9+7+8）=48.10．【答案】4 【解析】如右图，其中长方形中的数字表示该位置上的小长方体的个数．11．【答案】5、6、7【解析】截面能经过几个面，得到的形状就是几边形．12．【答案】(1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等．(2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出的漆面．(3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面．三、解答题13．【解析】解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行68cm．路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A．14．【解析】解：(1)如图所示．(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台．(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体．15．【解析】解：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．（1）长方体是由平面组成的，属于柱体．（2）三棱柱是由平面组成的，属于柱体．（3）球体是由曲面组成的，属于球体．（4）圆柱是由平面和曲面组成的，属于柱体．（5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体．（6）四棱锥是由平面组成的，属于锥体．（7）六棱柱是由平面组成的，属于柱体．若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面，若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习有理数的意义【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如 ．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】类型一、正数与负数1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．举一反三：【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m【答案】B2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5100%62.5% 8⨯=；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a-一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a-为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】√，⨯，⨯，⨯【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【答案】D4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-，.正整数集合:{ …}， 负整数集合:{ …}， 整数集合:{ …}， 正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}， 非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.88，723-； 分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，723-； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0, 723- 【解析】 【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数. 举一反三：【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．【答案】2.类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】(12+n )【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关. 举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：【答案】-3【变式2,,301,201,121,61 根据其规律可知第9个数是： 【答案】90北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2014•甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个 （1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数； （3）不存在既不是正数又不是负数的数； （4）0℃表示没有温度．A. 0B. 1C. 2D. 3 2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( ) A ．前进-18米的意义是后退18米 B ．收入-4万元的意义是减少4万元 C ．盈利的相反意义是亏损D ．公元-300年的意义是公元后300年 4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A ．甲站的东边70千米处 B ．甲站的西边20千米处 C ．甲站的东边30千米处 D ．甲站的西边30千米处 5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量B ．有最大的数C ．没有最小的数，也没有最大的数D ．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是 （ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ． 2二、填空题 1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 . 4．既不是正数，也不是负数的有理数是 . 5．（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. 三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m 2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+”，不足50km 的记为“﹣”，刚好50km 的记为“0”，记录数据如下表：时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km ） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +41 +8 （1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，...(2)-1,21,-31,41,51-,61,71-, , ,... ,... 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确； （3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误； （4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数. 3. 【答案】D【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年. 4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处. 5.【答案】C【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对. 6. 【答案】B 二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，112；22-，0，-45 【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数. 3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量. 4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零. 5.【答案】-20.【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，∴向西行驶20米，记作﹣20米， 故答案为：﹣20．6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0. 7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数. 8.【答案】10，10.03，9.98【解析】03.002.010+-表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03），即大于9.98而小于10.03.三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；（2）运进-5t 表示运出5t ； （3）浪费-14元表示节约14元；（4）上升-2m表示下降2m；(5)向南走-7m表示向北走7m.提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3.【解析】解：（1）=50，50×30=1500（km）．答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；（2）×8×7.14×12=10281.6（元），答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）111,,...,,...892011--北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习数轴——知识讲解【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法；3．能利用数轴比较有理数的大小．【要点梳理】要点一、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．要点诠释：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度。