人教版八年级下册 第十八章 18.2 正方形 复习(基础)讲义(无答案)

人教版八年级下册 第十八章 18.2 正方形 复习(基础)讲义（无答案）

1 / 8 课 题 正方形复习（基础）

学习目标 1. 探索并掌握正方形的性质和判定方法

2. 通过正方形的性质解决一些简单的实际问题

3. 分析特殊与一般的关系

4. 学会用类比的思想方法学习正方形的相关知识

正方形的概念及性质

（1） 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

由定义可知正方形即是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，更是特殊的平行四边形。因此，正方形具有矩形，菱形，平行四边形的所有性质，也就是说既是矩形，又是菱形的四边形是正方形。

（2） 正方形的性质

正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。

1、边：四边相等，邻边垂直，对边平行。

2、角：四个角都是直角。

3、两条对角线：相等；互相垂直平分；每条对角线平分一组对角。

4、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴。

5、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

5、正方形一条对角线上的点到另一条对角线两个端点的距离相等。

正方形的判定

（1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（2） 一组邻边相等的矩形是正方形。

（3） 一个角是直角的菱形是正方形。

特殊四边形性质对照表：

边 角 对角线

平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分

矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等

菱形 对边平行，四条边都相等 对角相等 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

正方形 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角

特殊四边形判定对照表： 人教版八年级下册 第十八章 18.2 正方形 复习(基础)讲义（无答案）

2 / 8 平行四边形 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等

矩形 （1）有三个角是直角的四边形；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且对角线相等

菱形 （1）四条边都相等的四边形；（2）是平行四边形，并且有一个组邻边相等；（3）是平行四边形，并且对角线互相垂直

正方形 （1）是矩形，并且有一组邻边相等；（2）是菱形，并且有一个角是直角

例题讲解：

1.下列说法中错误的是（ ）

A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.两条对角线相等的四边形是矩形

C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形

D.两条对角线相等的菱形是正方形

2.下列命题中是真命题的是（ ）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.两条对角线相等的平行四边形是矩形

D.两边相等的平行四边形是菱形

3.正方形有 条对称轴．

4.正方形是特殊的平行四边形，请写出一条正方形具有而平行四边形不具有的性质：

例1．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是

变式练习：

1.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．

2.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可，答案不唯一） 人教版八年级下册 第十八章 18.2 正方形 复习(基础)讲义（无答案）

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例2．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是

度．

变式练习：

1.如图：延长正方形ABCD的边BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC=

度．

2.如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=AC，则∠E= 度．

例3．如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=15°，且AB=AE，则DE= cm．

变式练习：

1.已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是 cm2．

2.已知正方形的面积为4，则正方形的边长为 ，对角线长为

例4. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接PA、PC．

（1）证明：∠PAB=∠PCB；

（2）在BC上取一点E，连接PE，使得PE=PC，连接AE，判断△PAE的形状，并说明理由．

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4 / 8 变式练习：

1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．

例5.正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长．

变式练习：

1.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．

（1）求证：CE=CF；

(2)若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

正方形的判定题组：

1.下列说法不正确的是（ ）

A.一组邻边相等的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.对角线互相垂直的矩形是正方形

D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）

A.AC=BD,AB//CD,AB=CD.

B.AD//BC,A=C

C.AO=BO=CO=DO

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC,ACBD

例6. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折人教版八年级下册 第十八章 18.2 正方形 复习(基础)讲义（无答案）

5 / 8 痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是

变式练习：

1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是

例7. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．

（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是 形；

（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形；

（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是 形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）

变式练习：

1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．

（1）求证：DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

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6 / 8 课内练习与训练

1. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是

2. 如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，连接DE、EF，要使四边形ADEF为正方形，还需增加条件：把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．

（1）正方形可以由两个_____能够完全重合的拼合而成；

（2）菱形可以由两个_____能够完全重合的拼合而成；

（3）矩形可以由两个______能够完全重合的拼合而成．

3.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 度．

4. 如图所示，E为正方形ABCD对角线BD上一点，作EFBC于F,EGCD于G,若正方形ABCD的周长为m,则四边形EFCG的周长为

5. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，BPC是等边三角形，则CDP的面积是____;BPD的面积是______.

6.已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE是正方形．

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7 / 8 7.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．

8.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，

求证：AF⊥DE．

9.如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

10.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．