海南省海南枫叶国际学校2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

1 海南枫叶国际学校2017-2018学年度第二学期

高一年级数学学科期中考试试卷

（范围：必修四第三章，必修五第一，二章

一．选择题。（每小题5分，共60分）

1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )

A．－22 B.22 C.32 D．1

2. 下列各式中，值为32的是（ ）

A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°

C． 2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°

3. 已知1sincos3，则sin2（ ）

A．89 B．21 C． 21 D．89

4. 在△ABC中，0045,75,10CBa,则c等于 （ ）

A．103 B．106 C．3310 D．3610

5. 已知△ABC的周长为9，且4:2:3sin:sin:sinCBA，则Ccos的值为（ ）

A．41 B．41 C．32 D．32

6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102 海里 B．103 海里

C．203 海里 D．202 海里

7. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是 （ ）

A.na=n2-(n-1) B.na=n2-1 C.na=2)1(nn D.na=2)1(nn

8.已知等差数列}{na的前n项和为Sn，若854,18Saa则等于（ ） 2 A．18 B．36 C．54 D．72

9. 已知na是等比数列，an＞0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于 （ ）

A．6 B．6 C．-6 D．18

10.已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）

A 1010 B 1010 C 10103 D 10103

11. 在△ABC中，ABBA22sintansintan，那么△ABC一定是 （ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形

12. 已知数列na中，11,a前n项和为nS，且点*1(,)()nnPaanN在直线10xy上，则1231111nSSSS=（ ）

A.(1)2nn B.2(1)nn C.21nn D.2(1)nn

二．填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知数列的通项52nan，则其前n项和nS ．

14. 在△ABC中,若222cba,且sin C =23,则∠C =

15. 求值：0000tan50tan703tan50tan70

16. 关于函数f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6，有下列命题：

①y＝f(x)的最大值为2；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f(x)在区间π24，13π24上单调递减；

④将函数y＝2cos2x的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确命题的序号是____________________。(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

三．解答题（本大题70分） 3 17.（10分） 已知等差数列na满足23a，前3项和293S.

(1)求na的通项公式；

(2)设等比数列nb满足15411,abab，求nb的前n项和nT

18. （12分）已知α∈π2，π，sin α＝55.

(1)求sinπ4＋α的值；

(2)求cos5π6－2α的值．

19. （12分）已知71cos，1413)cos(，且20.

(1) 求2tan的值； (2) 求  的值.

4

20. （12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，

cos∠B＝33.

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC＝23，求AB的长．

21. （12分）设)4(coscossin)(2xxxxf

(1)求函数f(x)在3,6x的值域

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为cba,,.若0)2(Af，1a，求△ABC面积的最大值．

22. （12分）nS为数列na的前n项和．已知0na，3422nnnSaa.

(1)求na的通项公式

(2)设213nanb，求数列nnba21的前n项和nS.

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海南枫叶国际学校2017-2018学年度第二学期

高一年级数学学科期中考试试卷答案

（范围：必修四第三章，必修五第一，二章 命题者：黄琳）

一．选择题

BBADAA CDBCDC

二．填空题

13.252nn 14.32 15.3 16（1）（2）（3）

三．解答题

17.解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得

a1＋2d＝2,3a1＋3×22d＝92，

化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝32，解得a1＝1，d＝12，

故{an}的通项公式an＝1＋n－12，即an＝n＋12.

(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝15＋12＝8.

设{bn}的公比为q，则q3＝b4b1＝8，从而q＝2，

故{bn}的前n项和

Tn＝b1－qn1－q＝－2n1－2＝2n－1.

18.解：(1)因为α∈π2，π，sin α＝55，

所以cos α＝－1－sin2α＝－255.

故sinπ4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α

＝22×－255＋22×55 6 ＝－1010.

(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×－255＝－45，

cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，

所以cos5π6－2α＝cos5π6cos 2α＋sin5π6sin 2α

＝－32×35＋12×－45

＝－4＋3310.

19.解：（1）34tan,734sin

47382tan

（2）1433sin

23)(sinsin

3

20.解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝33，

所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－13.

因为∠D∈(0，π)，

所以sin∠D＝1－cos2∠D＝223.

因为AD＝1，CD＝3，

所以△ACD的面积

S＝12AD·CD·sin∠D＝12×1×3×223＝2. 7 (2)在△ACD中，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，

所以AC＝23.

因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，

所以23sin∠B＝ABπ－2∠B＝ABsin 2∠B＝AB2sin∠Bcos∠B＝AB233sin∠B，

所以AB＝4.

21.解：(1)由题意知f(x)＝sin 2x2－1＋cos2x＋π22

＝sin 2x2－1－sin 2x2＝sin 2x－12.

由36x，得3223x

所以12sin23x

所以21212sin213x

故21,213)(xf

(2)由fA2＝sin A－12＝0，得sin A＝12，

由题意知A为锐角，所以cos A＝32.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，

即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立．

因此12bcsin A≤2＋34.

所以△ABC面积的最大值为2＋34 8 22.解：解：(1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，①

可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②

②－①，得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，

即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．

由an>0，得an＋1－an＝2.

又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，

通项公式为an＝2n＋1.

(2)由(1)可得nannb3321

所以nnnnba321,

所以Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋4×34＋…＋n·3n，

3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，

两式相减得2Sn＝－(3＋32＋33＋34＋…＋3n)＋n·3n＋1

＝－－3n1－3＋n·3n＋1

＝3＋n－n＋12，

所以Sn＝3＋n－n＋14.