湖南省常德市津市一中2016届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)
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2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设复数Z满足（﹣i）•Z=2i，则|Z|=( )
A． B． C．1 D．2
3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( )
A．（﹣1，1） B．（0，） C．（﹣1，0） D．（，1）
5．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
6．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于( )
A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
7．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )
A． B． C． D．
8．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
9．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.1，则输出的n=( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线A1C1和AB1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
11．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )
A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1
12．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）( )
A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为__________．
14．曲线f（x）=xlnx+x在点x=1处的切线方程为__________．
15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=__________．
16．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命题中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）
①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；
②若{an}为等差数列，则[an）也是等差数列；
③函数f（x）=[x）﹣x是周期函数； ④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：
17．已知命题p：|1﹣|≤2 命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
19．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
信息技术 生物 化学 物理 数学
周一
周三
周五
根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
20．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
21．设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜2；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式Sn﹣1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲
22．（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐
标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．
2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．
【专题】计算题．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．设复数Z满足（﹣i）•Z=2i，则|Z|=( )
A． B． C．1 D．2
【考点】复数求模．
【专题】计算题；数系的扩充和复数．
【分析】由复数的除法运算求解复数Z，然后直接利用复数模的公式求解．
【解答】解：由（﹣i）•Z=2i，得=．
∴|Z|=||=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．
3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵， ∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( )
A．（﹣1，1） B．（0，） C．（﹣1，0） D．（，1）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x﹣1＜0，即 ，
解得0＜x＜．
∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．
故选B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
【考点】分层抽样方法．
【专题】阅读型．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：C．
【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
6．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于( )
A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
