2020年高中数学(人教版必修5)配套练习：2.3 等差数列的前n项和 第1课时

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第二章 2.3 第1课时

一、选择题

1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )

A．－6 B．－4

C．－2 D．2

[答案] A

[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．

 S3＝4a3a7＝－2⇒ 3a1＋3d＝4a1＋8da1＋6d＝－2⇒ a1＝10d＝－2.

∴a9＝a1＋8d＝－6.

2．四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝13，则公差d等于( )

A．8 B．16

C．4 D．0

[答案] A

[解析] ∵a2a3＝13，∴a1＋da1＋2d＝13，∴d＝－2a1.

又S4＝4a1＋4×32d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，

∴d＝8.

3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝( )

A．168 B．156

C．152 D．286

[答案] D

[解析] ∵ a3＋a7－a10＝8a11－a4＝14，∴ a1－d＝87d＝14，

∴ d＝2a1＝10，∴S13＝13a1＋13×122d＝286.

4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )

A．0 B．4475

C．8950 D．10 000

[答案] C

[解析] 设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前文库 精品

100项和S100＝100c1＋c1002＝100×40＋1392＝8950.

5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )

A．5 B．4

C．3 D．2

[答案] C

[解析] 设等差数列为{an}，公差为d，

则 a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，

∴5d＝15，∴d＝3.

6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7a5＝913，

则S13S9＝( )

A．1 B．－1

C．2 D．12

[答案] A

[解析] S13S9＝13a79a5＝139×913＝1，故选A．

二、填空题

7．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.

[答案] －5n2＋n2

[解析] ∵an＝－5n＋2，

∴an－1＝－5n＋7(n≥2)，

∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)．

∴数列{an}是首项为－3，公差为－5的等差数列．

∴Sn＝na1＋an2＝n－5n－12＝－5n2＋n2.

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

[答案] 24

[解析] ∵S9＝9·a1＋a92＝72，

∴a1＋a9＝16，即a1＋a1＋8d＝16，

∴a1＋4d＝8，

又a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d 文库

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＝3(a1＋4d)＝3×8＝24.

三、解答题

9．已知等差数列{an}．

(1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求n和d；

(2)a1＝4，S8＝172，求a8和D．

[解析] (1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，

∴d＝－16.

又Sn＝na1＋nn－12·d＝－5，

解得n＝15，n＝－4(舍)．

(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82，

解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

10．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.

(1)求通项an；

(2)若Sn＝242，求n的值．

[解析] (1)设公差为d，

则a20－a10＝10d＝20，

∴d＝2.

∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，

∴a1＝12.

∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.

(2)Sn＝na1＋an2＝n2n＋222

＝n2＋11n＝242，

∴n2＋11n－242＝0，

∴n＝11.

一、选择题

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )

A．S7 B．S8 文库 精品

C．S13 D．S15

[答案] C

[解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝13a1＋a132＝13a7为常数．

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )

A．12 B．18

C．24 D．42

[答案] C

[解析] ∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，

∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，

∴2(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24.

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( )

A．310 B．13

C．18 D．19

[答案] A

[解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．

设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，

∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，

∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，

∴S6S12＝3k10k＝310.

4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )

A．3 B．4

C．5 D．6

[答案] C

[解析] 本题考查数列的前n项和Sn与通项an的关系及等差数列的定义．

Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，

∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.

Sm＝a1m＋mm－12·1＝0， ①

am＝a1＋(m－1)·1＝2， 文库 精品

∴a1＝3－m. ②

②代入①得3m－m2＋m22－m2＝0，

∴m＝0(舍去)，m＝5，故选C．

二、填空题

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.

[答案] 100

[解析] ∵OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线，

∴a1＋a200＝1，

∴S200＝200×a1＋a2002＝100.

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于________．

[答案] 14

[解析] 对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.

三、解答题

7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．

[解析] 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则

Sn＝na1＋nn－12D．

由已知得 10a1＋10×92d＝100， ①100a1＋100×992d＝10. ②

①×10－②整理得d＝－1150，代入①得，a1＝1 099100，

∴S110＝110a1＋110×1092d

＝110×1 099100＋110×1092×－1150

＝1101 099－109×11100

＝－110.

8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的文库 精品

前n项和，求数列{Snn}的前n项和Tn.

[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则

Sn＝na1＋12n(n－1)D．

∵S7＝7，S15＝75，∴ 7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，即 a1＋3d＝1a1＋7d＝5，

解得a1＝－2，d＝1.

∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)，

∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，

∴数列{Snn}是等差数列，其首项为－2，公差为12，

∴Tn＝14n2－94n.

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