完全平方数

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1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程

3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|npN，则2|npN．

性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

完全平方数

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数2a，则p能整除a。

2.重点公式回顾：平方差公式：22()()ababab

模块一、完全平方数基本性质和概念

基础练习、指出下列哪些是平方数？

1156，5487，5329，8008。

1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？

2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几

【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

1、在50～400中，有多少个平方数？

2、在50～761中有多少个平方数？

例题精讲 知识点拨

3、123×134的积是平方数吗？

4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【例 2】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【巩固】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

2、 46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。

3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。

【例 3】 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。

1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（ ）。

2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（ ）岁。

3.求一个能被180整除的最小完全平方数.

【例 4】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

完全平方数是什么意思

如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。

1、个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数。

2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数。

3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数。

4、形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数。

5、形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数。

6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数。

7、形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整数一定不是完全平方数。

8、数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数。

9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和。

10、完全平方数的因数个数一定是奇数。

1 1．3 完全平方数

【知识精讲】

1．定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数.例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,„，分析和比较这些完全平方数，可以获得对它们个位数、十位数、各位数字和等的规律性的认识.

2．完全平方数的性质

性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.

推论：末位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数.

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数.

证明:奇数必为下列五种形式之一：

10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9.

分别平方后，得

(10a+1)2=100 a2+20a+1=20a(5a+1)+1，

(10a+3)2=100 a2+60a+9=20a(5a+3)+9，

(10a+5)2=100 a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5，

(10a+7)2=100 a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9，

(10a+9)2=100 a2+180a+81=20(5a+9a+4)+1.

综上各种情形可知：奇数平方的个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数.

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.

证明:∵222(10)10020xyxxyy，∴如果完全平方数2210020xxyy的十位数字是奇数，则2y的十位数字是奇数，∴y=4或6，由此知2210020xxyy的个位数字是6.

反之，若m2=10k+6，则k为奇数.

∵m2的个位数为6，∴m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6，从而有10k+6=(10n+4)2=100n2+10(8n+1)+6，或10k+6=(10n+6)2=100n2+10(12n+3)+6，即k=10n2+8n+1=2(5n2+4n)+1，或k=10n2+12n+3=2(5n2+6n)+3，∴k为奇数. 2 推论1：如果完全平方数的十位数字是偶数，则它的个位数字一定不是6；反之，如果完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字一定是偶数.