机械振动(总复习)

机械振动基础

目 录

第一章 导 论

§1.1 引言

§1.2 振动的分类

§1.3 离散系统各元件的特征

§1.4 简谐振动及其表示方法

§1.5 叠加原理

§1.6 振动的幅值度量

第二章 单自由度系统

§2.1 引言

§2.2 无阻尼自由振动

§2.3 阻尼自由振动

§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动

§2.5 简谐强迫振动理论的应用

§2.6 周期强迫振动

§2.7 非周期强迫振动

第三章 二自由度系统

§3.1 引言

§3.2 运动微分方程

§3.3 不同坐标系下的运动微分方程

§3.4 无阻尼自由振动

第四章 多自由度系统

§4.1 运动微分方程

§4.2 固有频率与振型

§4.3 动力响应分析

§4.4 动力响应分析中的变换方法

第五章 随机振动

§5.1 随机过程

§5.2 随机过程的数字特征

§5.3 平稳过程和各态历经过程

§5.4 正态随机过程

§5.5 相关函数

§5.6 功率谱密度函数

§5.7 线性振动系统在单——随机激励下的响应

§5.8 线性系统在两个随机激励下的响应

第一章 导 论

§1.1 引言

振动：指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化。

机械振动：机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。

机械振动研究对象：机械或结构，在理论分析中要将实际的机械或结构抽象为力学模型，即形成一个力学系统。

激励或输入：外界对振动系统的激励或作用。

响应或输出：系统对外界影响的反应，如振动系统某部位产生的位移、速度、加速度及应力等。

机械振动研究内容：研究激励、响应和系统三者之间的关系。

激励、系统和响应三者知其二可求出第三者。

常见的振动问题的三种基本课题：

1．振动设计 已知外界激励的条件下设计系统的振动特性，使其响应满足预期的要求。

2．系统识别 根据已知的激励与响应的特性分析系统的性质，得到振动系统的全部参数。 系统 激励

输入 响应

输出

3．环境预测 已知系统振动性质和响应，研究激励的特性。

§1.2 振动的分类

1.2.1 线性振动和非线性振动

振动可分成线性振动和非线性振动两种。

线性振动：系统在振动过程中，振动系统的惯性力、阻尼力、弹性力分别与绝对加速度、相对速度、相对位移成线性关系。线性振动系统可以用线性微分方程描述。

非线性振动：系统的惯性力、阻尼力、弹性力与绝对加速度、相对速度、相对位移不是线性关系。非线性振动系统只能用非线性微分方程描述。

1.2.2 确定性振动和随机振动

确定性振动：系统的振动对任意时刻t，都可以预测描述它的物理量的确定的值x。反之为随机振动。

在确定性振动中，振动系统的物理量可以用随时间变化的函数描述。

随机振动只能用概率统计方法描述。

1.2.3 离散系统和连续系统

系统的自由度数：描述系统运动所需要的独立坐标的数目。

连续系统：振动系统的质量和刚度都是连续分布的，需

要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方程是偏微分方程。

离散系统：在结构的质量和刚度分布很不均匀时，或为了解决实际问题的需要，把连续结构简化为由若干个集中质量、集中阻尼和集中刚度组成的系统。离散系统是指系统只有有限个自由度。描述离散系统的振动可用常微分方程。

1.2.4 其他的分类

按外界激励情况和系统对激励的响应情况分类。

按激励情况分类：

自由振动：系统在初始激励下或原有的激励消失后的振动。

强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。

按响应情况分类：

大致可分为确定性振动和随机振动。其中确定性振动又可分为：

简谐振动：振动的物理量为时间的正弦或余弦函数。

周期振动：振动的物理量为时间的周期函数，可用谐波分析的方法归结为一系列简谐振动的叠加。显然，简谐振动也是周期振动。

瞬态振动：振动的物理量为时间的非周期函数，在实际的振动中通常只在一段时间内存在。

§1.3 离散系统各元件的特征

离散振动系统三个最基本的元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。

弹性元件：忽略其质量和阻尼，在振动过程中储存和释放势能。弹性力与其两端的相对位移成比例，方向相反。

)(122xxkFs

线性扭转弹簧：

)(122tskT

阻尼元件：在振动过程中消耗振动能量。在线性振动系统中，阻尼力的大小与阻尼元件两端的相对速度成比例，方向相反，这种阻尼又称为粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的质量和弹性。

)(122xxcFd

惯性元件：完全刚性且无阻尼，在振动过程中储存和释放动能。集中质量的惯性力与惯性坐标系下的加速度(绝对加速度)成正比，方向相反。

xmFm

扭转振动系统：

ITm

若干个元件串联或并联的情况，等效刚度、等效阻尼和

等效质量。

§1.4 简谐振动及其表示方法

1.4.1 简谐振动

周期运动满足

)()(txTtx

简谐运动满足：

)sin()(tAtx 或 )cos()(tBtx

T2

21Tf

1.4.2 两种常用的简谐振动表示方法

1.向量表示法

2.复数表示法

§1.5 叠加原理

叠加原理：一个线性振动系统，激励F1(t)、F2(t)、……Fn(t)，分别对应于响应x1(t)、x2(t)、……xn(t)，若激励为F1(t)=c1F1(t)+c2 F2(t)+...... + cnFn(t)，则有对应的响应x(t)= c1 x1(t)+ c2 x2(t)+...... + cnxn(t)成立。

§1.6 振动的幅值度量

1．峰值 max)(txX

2．平均值 TdttxTTx0)(1lim

3．均方值 TdttxTTx022)(1lim

4．均方根值(rms) 是2x的平方根。2xxrms

第二章 单自由度系统

基本内容：

无阻尼自由振动

阻尼自由振动

单自由度系统的简谐强迫振动

简谐强迫振动理论的应用

周期强迫振动

非周期强迫振动

§2.1 引言

单自由度系统：只有一个自由度的振动系统。可用一个

常系数的二阶线性常微分方程描述其振动规律。

§2.2 无阻尼自由振动

自由振动：系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。

2.2.1 运动微分方程

列出系统的运动微分方程步骤：

1. 取一个坐标系，原点为静平衡时质量所在位置。

2. 设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图。

3. 按牛顿第二定律写出运动微分方程。

4. 确定系统初始的运动状态。

00)0(,)0(0xxxxkxxm

或

002)0(,)0(0xxxxxxn

系统的固有频：mkn/

方程的通解为：

)cos(sincos21tAtAtAxnnn

nnnxxarctgxxAxAxA0020200201)/(/,

单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。

周期：kmTn22

频率：mkTfnn2121

系统的动能、势能：2221,21kxUxmEt

0)(UEdt

即

常数EUEt

无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。

EkAUEt2maxmax21

定义动能系数：2max22121'xmmAT

'//max2TUmkn

对于单自由度系统无阻尼自由振动系统，有以下结论：

1. 单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。运动的中点为系统的静平衡位置。

2. 振动频率只与系统的刚度、质量有关。

3. n、nf与k成正比而与m成反比。

4. 振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。振动时动能、势能不断相互转换。

上面的结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助于简化问题的求解。

2.2.2 求固有频率的方法

方法1：列出系统运动微分方程，求出系统的固有频率，mkn/。需已知系统的刚度和质量。