2014年北约自主招生数学试题及解答-(完美word版)

2.【解】由题知所有分组方法有 N
C C C 3 3 4 10 7 4
2100 种.
A2 2
3.【解】由题意 u x2 2ax a 的值域包含区间 (0, ) ,则 u x2 2ax a 与 x 有交点,
故 (2a)2 4a 0 ,解得 a 1或 a 0 .
4.【解】由 f (1) 1, f (4) 7 得 f (2) f (4 21) f (4) 2 f (1) 3 ;
(二法)左边展开得 ( 2 x1)( 2 x2 ) ( 2 xn )
n
( 2)n ( 2)n1 xi ( 2)n2 (
xi xj ) ( 2)nk (
x xi1 i2 xik ) x1x2 xn
i 1
1i j n
1i1 i2 ik n
由平均值不等式得
x xi1 i2
1i1 i2 ik n
2014 年\北约自主招生·数学试题－3
4
4
4
令 t xy (0, 1],则易知函数 y t 1 在 (0,1] 上递减,所以其在 (0, 1] 上递减,
4
t
4
于是 xy 1 有最小值 4 1 17 ,无最大值.
xy
44
6.【解】奇函数 f (0) 0 ,故 c arctan 2 .
7.【证明】由三角公式 tan 2 2 tan , tan( ) tan tan ,
3
3
f (3) f (1 2 4) f (1) 2 f (4) 5 ,由数学归纳法可推导得 f (n) 2n 1, n N * ,
3
3
所以 f (2014) 4027 .
5.【解】由 x 0, y 0可知, x y 1| x y |1| x | | y |1 ,
所以| xy || x | | y | (| x | | y |)2 1 ,即 xy (0, 1] ,
2014 年\北约自主招生·数学试题－1
2014 年北约自主招生试题参考答案
1.【解】设扇形的半径为 r ,则由 6 1 r2 ,得 r 6 . 23
于是扇形的弧长为 l 6 2 ,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为 1, 3
所以底面面积为 12 ,也所以圆锥的表面积为 S 6 7 .
9.【解】不可以同时在 M 中,下面给予证明.假设 0, 7 ,16 同时在 M 中, 23
2014 年\北约自主招生·数学试题－2
设 ak a kd (1 k 13,k N *) ,其中 d 为公差,则 M {3a (i j k)d |1 i j k 13} {3a md | 6 m 36,m N *}
于是存在正整数
6
x,
y,
z
36
,使得
3a 3a 3a
xd yd zd
0, 7, 2 16 3
从而
( y ( z
x)d x)d
7, 2 16 3
也所以 y x 21 ,由于 21,32 互质,且 y x, z x 为整数,则有| y x | 21,| z x | 32 , z x 32
n
2
n
n(
2
1
n
)n ……①;
xk
n
n(
xk
1
)n ……②
k 1 2 xk
k 1 2 xk
k 1 2 xk
k 1 2 xk
①+②得 n n
1
2 (x1x2 xn )n ,即 (
n
1
( 2 xk )n
k 1
2 x1)(
2 x2 )
( 2 xn ) ( 2 1)n 成立.
如果已知 f (x) 0 有两个不同的实根,求证 g(x) 0 没有实根.
9. a1, a2 ,
, a13 是等差数列, M
{ai
aj
ak
|1 i
j
k
13} ,问: 0, 7 ,16 23
是否可以同时在
M 中,并证明你的结论.
10.已知 x1, x2 , , xn R ,且 x1x2 xn 1,求证: ( 2 x1)( 2 x2 ) ( 2 xn ) ( 2 1)n .
1 tan2
1 tan tan
若 tan3 是有理数,则 tan 6 , tan12 , tan 24 为有理数,再由 tan 6 和 tan 24 可得 tan 30 为有
理数,这与 tan 30 3 为无理数矛盾!因此, tan3 是无理数. 3
8.【证】由题可设 3 f (x) g(x) a1(x b1)2, f (x) g(x) a2 (x b2 )2 ,其中 a1 0, a2 0 ,
a1b12
a2b22 ] ,
即 4(a1b1 a2b2 )2 4(a1 a2 )(a1b12 a2b22 ) 4a1a2 (b1 b2 )2 0 ,所以 b1 b2 ,
故此时观察
g(x)
1 4
[a1 ( x
b1 )2
3a2
(x
b2
)2
]
可知,
a1, 3a2 同号,且 a1 3a2 0 , b1 b2 ,故 g(x) 0 恒成立,即证明 g(x) 0 没有实根.
3
3
5.已知 x y 1 且 x, y 都是负数,求 xy 1 的最值. xy
6.已知 f (x) arctan 2 2x c 在 ( 1 , 1) 上是奇函数,求 c .
1 4x
44
7.证明 tan3 是无理数. 8.已知实系数二次函数 f (x) 与 g(x) 满足 3 f (x) g(x) 0 和 f (x) g(x) 0 都有双重实根,
xik
Ck n
(
x xi1 i2
1i1 i2 ik n
1
x )Cnk ik
Ck n
((
x1
x2
1
x ) ) C Cnk11 Cnk
k
n
n
故 ( 2 x1)( 2 x2 ) ( 2 xn )
2)n (
2
)n1
C1 n
(
2
)n2
C2 n
(三法)由平均值不等式有
(
2
)nk
Ck n
Cn n
(
2 1)n ,即证.
则
f
(x)
பைடு நூலகம்
1 4 [a1 ( x
b2 )2
a2 (x
b2 )2 ], g(x)
1 4 [a1 ( x
b1)2
3a2 (x
b2 )2 ] ,
由 f (x) 0 有两个不同的实根,则必有 a1, a2 异号,且 a1 a2 0 ,
此时
f
(x)
1 4 [(a1
a2 )x2
2(a1b1
a2b2 )x
( 2 x1)( 2 x2 ) ( 2 xk )( 2 xk1)
( 2 x1)( 2 x2 ) [2 2(xk xk1) xk xk1]
( 2 x1)( 2 x2 ) ( 2 xk xk1)( 2 1) ( 2 1)k ( 2 1) ( 2 1)k1 其中推导上式时利用了 x1x2 xk1(xk xk1) 1及 n k 时的假设,故 n k 1时不等式也成 立. 综上①②知,不等式对任意正整数 n 都成立.
2014 年北约自主招生数学试题
1.圆心角为 60 的扇形面积为 6 ,求它围成的圆锥的表面积.
2.将 10 个人分成 3 组,一组 4 人,两组各 3 人,有多少种分法.
3.如果 f (x) lg(x2 2ax a) 的值域为 R ,求 a 的取值范围.
4.设 f (a 2b) f (a) 2 f (b) ,且 f (1) 1, f (4) 7 ,求 f (2014) .
但| z x | 36 6 30 ,矛盾!假设错误,即证明 0, 7 ,16 不可以同时在 M 中. 23
10.【证】(一法:数学归纳法)①当 n 1时,左边 2 x1 2 1 2 1 右边,不等式成立;
②假设 n k(k 1, k N *) 时,不等式 ( 2 x1)( 2 x2 ) ( 2 xk ) ( 2 1)k 成立. 那么当 n k 1时,则 x1x2 xk xk1 1,由于这 k 1个正数不能同时都大于 1,也不能同时 都小于 1,因此存在两个数,其中一个不大于 1,另一个不小于 1,不妨设 xk 1,0 xk1 1 , 从而 (xk 1)(xk1 1) 0 xk xk1 1 xk xk1 ,所以