浅谈复变函数的可微性与解析性
作者：高喜花
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2013年第16期
高喜花
（河南水利与环境职业学院，河南 郑州 450011）
摘 要：本文主要介绍复变函数的可微性与解析性，并利用柯西－黎曼方程推出它们成立的充分条件、必要条件和充要条件，最后归纳总结出复变函数的可微性与解析性的联系与区别.
关键词：复变函数；可微性；解析性；解析函数；柯西－黎曼方程
中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2013）08-0008-03
在复变函数教学中，解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一种具有某种特性的可微函数.函数的解析性与可微性是一个学习重点，也是易混淆的学习难点.文章对这部分内容进行了思考总结，指出复变函数可微性与解析性的联系与区别，从而有利于更好地理解和掌握复变函数.
1 复变函数的可微性
1.1 复变函数可微性的定义
所以，函数在z平面上处处连续，且在整个复平面满足C-R方程，故
f(z)=sinxchy+icosxshy
在z平面上处处可微，在z平面上处处不解析.
参考文献：
〔1〕钟玉泉.复变函数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2004．
〔2〕钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2003．
〔3〕余家荣.复变函数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2000．
〔4〕龚东宝.复变函数典型题解[M].西安：西安交通大学出版社，2002．
〔5〕路可见，等.复变函数[M].武汉：武汉大学出版社，2004．
〔6〕方企勤.复变函数教程[M].北京：北京大学出版社，1996．
第三章 复变函数的积分
复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路（实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入）．
一．学习的基本要求
1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与多元函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点． 复积分与实积分的具体关系如下：
函数()(,)(,)fzuxyivxy定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C上，则
()Cfzdz存在(,)(,)Cuxydxvxydy和(,)(,)Cvxydxuxydy都存在．
此时还有
()(,)(,)(,)(,)CCCfzdzuxydxvxydyivxydxuxydy．
2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．
参数方程法
3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法 ，并 牛顿－莱布尼兹公式
能用这两种方法熟练计算复积分．
●熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C的参数方程为
()zzt，0ttT，其中00()zzt，()ZzT
()fz在积分路径C上连续，则
0()d[()]()dTCtfzzfztztt
3中国科教创新导刊I中国科教创新导刊2008NO.25ChinaEducationInnovationHerald理论前沿复变函数作为数学与应用数学专业的一门专业基础课，无论从知识结构的承前启后还是从能力的培养和思维品质的提高等诸方面看，复变函数的教学对学生的培养都起着十分重要的作用。而且它又是解决实际问题的强有力的工具，这就要求我们不但要使学生了解本课程的体系，掌握基本概念、理论、方法和技巧，为后续课程作一个良好的铺垫，更重要的是通过教学，培养和提高学生的数学素质及思考问题和解决问题的能力，这就对我们的教学提出了很高的要求。如何激发学生学习的兴趣，提高教学效率就成为一个现实的问题。下面就结合教材、大学生的心理特点与学习特点以及我院学生的实际情况，对复变函数课程的教学进行了如下的改革。 1激发学生的学习兴趣兴趣是最好的老师,只要有了学习的兴趣，就有了学习的动力，此时困难也不再成为负担。为此，作了如下的尝试。1.1课程开始前回答学生最关心的几个问题开设这么课程的原因；该课程在所属学科领域的地位；这门课程的用途和应该掌握的内容；学好这门课程的方法以及和其它学科之间的联系。当学生明白了这些问题之后，学习兴趣就被激发出来了，从而知难而进并感到学习的无限乐趣。1.2为避免数学课程的枯燥性，增加课外实验，通过实践加强学生对理论知识的理解，更重要的是培养学生的动手能力和解决实际问题的能力学生可应用Matlab等数学软件，自己动手，验证所学的知识，加强对基本概念、基本定理的认识和理解，激发学习的兴趣，增强学习效果。例如，在学习初等函数时，让学生画出正弦函数的实部和虚部的图像，这样通过实际的图像学生不但知道了和的区别，也更加明白了实数和复数确实不同。有了感性的认识，学生在以后的学习中就会很好的注意这一点，减少犯错误的几率。1.3结合现实介绍复变函数在实际中的应用如在学习留数时，除重点介绍留数在复积分和实积分中的应用之外，还简单介绍留数计算在流体力学中的应用等；而在学习保形映射时，介绍了保形映射在神经系统科学中的应用，例如对人脑中枢神经系统中灰质的复杂结构的研究。这样一来，学生就知道了复变函数在实际中应用确实广泛，极大地提高了学生的学习兴趣、积极性和主动性。 2丰富课堂教学手段课堂是教学的主阵地，如何提高课堂的教学效率就成为整个教学环节中最重要的一环。我们知道，单一的课堂教学模式，时间久了就会让学生产生厌倦的情绪，久而久之就提不起上课的兴趣，教学效果自然就大打折扣。为了更好地利用课堂教学这块主阵地，在教学方法和手段上采取多种形式，主要有以下几方面。2.1注重启发式教学大学生正是思维最活跃的时候，不但接受知识快，而且也富有创造性。如果采用填鸭式教学，整节课程满堂灌，不给学生留下思考的时间和机会，学生只是被动地接受知识，这样必然使学生养成思维的惰性，久而久之，学生就失去了创造力和学习的激情。为此，上课时注意知识的回顾和预告；注意由背景问题引入数学概念；留给学生思考的时间，并根据章节内容留下适当的思考题和讨论题。2.2强调互动式教学教学中强调互动式教学，努力克服学生被动学习的局面。课堂上不仅仅是教师讲授，还要鼓励学生向教师提问。上课时，给学生留下提问的时间，让他们提出自己的疑问和想法，并适时地组织课堂讨论。在遇到一些比较重要的地方时，鼓励学生走上讲台，提出有自己见解的思想和方法，这样学生就由被动学习变为主动学习，学习效果和效率就大大提高了。2.3主要采用讨论式教学学生是学习的主体，老师只是一个引路者，课堂上注意发挥学生的主观能动性。在学习新知识时，首先给出几个问题，老师和学生共同讨论来解决，课堂上可以畅所欲言，体现学生的主体地位。当学生真正参与进来时，学习的效果自然就好了，同时学生也有了成就感,学习的动力就大了。2.4充分利用类比法教学类比法是一种创造性的思维方法，在教学中，类比的过程就是培养学生创造思维的过程。复变函数与数学分析有着有机的联系。教学中注重与微积分课程中相关的定理、概念、性质与方法做类比，有利于学生理解和记忆，让学生在共性与个性、一般与特殊的对照中加深对内容的理解和认识。例如学习基本初等函数时，让学生和数学分析中的基本初等函数作比较，找出它们的异同点。学习复变函数的导数概念时与数学分析中一元函数导数概念进行比较等。2.5利用多媒体辅助教学数学作为一门注重逻辑推理的学科，纯粹利用多媒体教学往往得不到很好的效果。但作为辅助教学手段，会起到很好的作用。例如通过三维图形展示某些初等函数的实部与虚部、模与幅角；演示解析函数导数的“旋转角不变性”和“伸缩率不变性”，进而理解“保形映射”的概念等。 3充分利用课外这个第二课堂由于课堂的时间有限，仅仅通过课堂的学习是远远不够的，也达不到很好的效果。为了更好的发挥第二课堂的作用，采取了以下的措施。3.1成立课外研究小组上课时留一些研究题目，学生课后以小组来完成。如在学习解析函数时，让学生找出解析函数的等价定义并证明；学习积分计算时，让学生总结复积分计算的方法；在学习幂级数时，让学生总结幂级数收敛的判别方法等。在每一章上完后，让研究小组来总结每一章的内容、重点及应该注意的问题等。这样既培养了学生的团队协作精神，又锻炼了他们的科研能力。3.2建立网上学习平台通过互联网进行交流，这样出现问题时可以及时解决。 4改革课程考核方法现行的课程考核方法就是作业、考勤和期末考试的综合，但这并不能很好的反映学生学习的实际情况，也不利于提高学生学习的积极性。原因就在于，只要保持全勤、作业抄好，平时分数就会很高。为改变这种状况，进行了一些有益的尝试。4.1出现雷同的作业时，相应地扣除学生的平时分数4.2增加创新分数，学生的课堂发言、论文等作为加分的依据通过多年的教学实践，以上的教学改革是可行的，并且取得了很好的教学效果。但需要说明的是，以上方法的使用并不是一成不变的，应该根据教学的实际情况不断改变，这样才能取得事半功倍的效果。 参考文献[1]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社,2000.[2]波利亚.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版社,2002.[3]J.B.康威.单复变函数[M].上海:上海科学技术出版社,1985.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.复变函数课程教学法探讨①姜海波(襄樊学院数学系湖北襄樊441053)摘要：本文结合复变函数课程的教学实际，讨论了复变函数课程的教学改革以及相应的改革措施。关键词：复变函数教学法改革中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1673-9795(2008)09(a)-0123-01
I 复数的若干应用
摘 要
本文从六个方面阐述了复数在高等数学以及初等数学中的简单应用，包括复数在高阶导数、级数、实积分、非齐次微分方程、初等代数﹑解析几何题等领域的应用。采用的主要思想是利用欧拉公式进行三角函数与复指数之间转换，以及利用复数不等式解实数问题，从而使问题得以简化。
关键词 复数； 欧拉公式； 不等式
II Some applications of complex numbers
Abstract
This paper describes six areas in advanced mathematics and complex in the simple
application of elementary mathematics, including the application of the plural in the
higher order derivatives, series, real integration, non-homogeneous differential
equations, elementary algebra and so on. The main idea is to use Euler formula to
convert between trigonometric functions and the complex index, and to use the plural
inequalities to solve the complex real problems, so the problem can be simplified.
Key words Plural; Euler formula; Inequality
III
目 录
摘 要 ............................................................................................................... Ⅰ
