二元一次方程和一次函数 教学设计

§7.6 二元一次方程和一次函数
一．教学目标
(一)知识与能力
1.二元一次方程和一次函数的关系.
2.二元一次方程组的图象解法.
(二)过程与方法
1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.通过学生的思考和操作，探索出方程与函数图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法.同时培养学生初步的数形结合的意识和能力.
(三)情感与态度
通过学生的自主探索，归纳出方程和函数图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣.
二．教学重点
1.二元一次方程和一次函数的关系.
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
三．教学难点
归纳二元一次方程和一次函数之间的对应关系.
四．教学方法
学生操作——自主探索的方法.
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数的图象(直线)之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力.
五．教具准备
多媒体课件
六．教学过程
（一）.引入新课
师：甲乙两人步行共走了5千米，其中甲走了x千米，乙走了y千米，请用一个式子表示其中的等量关系.
生：可以表示成y=5－x，x+y=5.
师：表示的本质含义是一样的，但是形式有什么不同？
生：y=5－x是一次函数，x+y=5是二元一次方程.
师：非常好，一个是一次函数,另一个是二元一次方程，虽然形式不同却可以描述成同一个问题，那么一次函数与二元一次方程具有什么样的内在联系呢？这就是我们这节课要研究的内容.
（设计思路：利用实际问题引入，体现出数学问题来源于实际，并且自然的引出了一次函数和二元一次方程，为后边的研究做了铺垫.）
（二）讲授新课
师：1.画出一次函数y=5－x的图象.
2.方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个，在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图象上吗？
3.在一次函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
4.以方程x +y =5的解为坐标的所有点构成的图形与一次函数y=5－x 的图像一致吗？
5、由上边的问题提出猜想，你认为一次函数与二元一次方程具有什么样的关系？
生：1.学生在坐标纸上画图，复习一次函数图像的作法.
2.方程x +y =5的解有无数个.例如⎩
⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==61;5,0;23;3,2;4,1y x y x y x y x y x …… 这些点都在一次函数y =5－x 的图象上.
3.在一次函数y=5-x 的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5.
4.以方程x +y =5的解为坐标的所有点构成的图形与一次函数y=5-x 的图像一致.
5.学生通过观察y =5－x 的图象并且探索交流可知，二元一次方程和一次函数有如下关系：
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
反过来，一次函数图象上的点的坐标是相应的二元一次方程的解.
［想一想］你能利用图象解释二元一次方程为什么有无数个解吗？
生：一次函数图象上有无数个点，这些点的坐标都是相应的二元一次方程的解，所以二元一次方程有无数个解.
［做一做］在同一坐标系内分别画出一次函数y =5－x 和y =2x －1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组⎩
⎨⎧=-=+125y x y x 的解有何关系？ 师：同桌的两个同学们为一组，一个同学在同一坐标系中画出一次函数y =5－x 和y =2x －1的图象，并观察得出两个函数图象交点的坐标.另一位同学解方程组⎩
⎨⎧=-=+125y x y x ，并比较你们的结果. 生：一次函数y =5－x 和y =2x －1的图象如图所示：
所以一次函数y =5－x 与y =2x －1的图象的交点是P (2，3).
生：根据二元一次方程和一次函数图象的关系可知：P (2,3)在一次函数y =5
－x 的图象上，所以⎩⎨⎧==3
2y x 是二元一次方程x +y =5的一个解；同时P (2,3)也是一
次函数y =2x －1的图象上的点，所以⎩
⎨⎧==32y x 也是二元一次方程2x －y =1的一个解.根据二元一次方程组的解的定义可知⎩⎨⎧==32y x 是⎩⎨⎧=-=+1
25y x y x 的解.
生：老师，用消元法解二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+125y x y x 得到的解也是⎩⎨⎧==32y x . 师：因此，我们又有了解二元一次方程组的新的方法——图象法.下面我们来看一个例题.
［例1］用作图象的方法解方程组⎩
⎨⎧=--=-.22,22y x y x 分析：在同一坐标中作出相应的两个一次函数的图象.观察图象的交点便可得出方程组的解.
解：由x －2y =－2可得y =2
1x +1,
同理，由2x －y =2可得y =2x －2,
在同一坐标系内作出一次函数y =2
1x +1的图象l 1和y =2x －2的图象l 2.如下
图.
观察图象，得l 1,l 2的交点为P (2，2).
所以方程组⎩⎨⎧=--=-2222y x y x 的解是⎩
⎨⎧==22y x 师：请概括用作图法解方程组的步骤
生：1.把二元一次方程化成一次函数的形式
2.在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。

3.交点坐标就是方程组的解。

（三）随堂练习
1.课本P 208.
(1)用作图象的方法解方程组⎩⎨
⎧=-=+12
3242y x y x . 解：由2x +y =4得y =4－2x 同理，由2x －3y =12得y =3
2x －4,
在同一坐标系中作函数y =4－2x 的图象l 1和函数y =32x －4的图象l 2,如下图所示：
观察图象，得l 1,l 2的交点为P (3，－2)
所以方程组⎩⎨⎧=-=+1232,42y x y x 的解为⎩
⎨⎧-==.2,3y x (2)下图中的两直线l 1、l 2的交点坐标可以看作方程组_________的解.
解：由图象可知l 1过点(1，3)、(0，1).设l 1是函数y =k 1x +b 1的图象，根据题意，得⎩⎨⎧==+1
3111b b k 解得k 1=2,b 1=1.
所以l 1是函数y =2x +1的图象.
同理可得l 2是函数y =4－x 的图象.所以l 1、l 2交点的坐标可看做二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-=+124y x y x 的解. 师:二元一次方程组的图象解法有何优缺点？
生：由图象得到方程组的解很直观，但需要注意的是我们利用图像法所获得的解只是近似的结果,这种做法有一定的局限性
（四）活动与探究
师：有一组数同时适合方程x +y =2和x +y =5吗？一次函数y =2－x ，y =5－x 的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么？
过程：学生经过尝试是很容易发现x +y =2和x +y =5时没有一组数同时适合这两个二元一次方程的.即⎩⎨⎧=+=+5
2y x y x 这个二元一次方程组无解.
学生作出一次函数y =2－x ，y =5－x 的图象 (如下图)，观察图象可以发现它们的图象(直线)是互相平行的，即它们无公共点.
结果：学生从中可以“悟”出方程组的解与函数图象交点之间的关系：
二元一次方程组无解<=>相应的一次函数的图像平行（无交点）
二元一次方程组有一解<=>相应的一次函数的图像相交（有一个交点）
二元一次方程组有无数个解<=>相应的一次函数的图像重合（有无数个交点）
（五）课时小结 请思考：二元一次方程与一次函数到底有怎样的关系？
1．一次函数的表达式本身就是一个二元一次方程，因此，一次函数图像上每一点的坐标都是其相应二元一次方程的解，反之：以一个二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图像（直线）上。

2． 由1知，以二元一次方程组的解为坐标的点恰是相应的两个一次函数图像的交点；换言之：两个一次函数图像（直线）的交点坐标，是相应的两个一次函数表达式组成的二元一次方程组的解。

3．二元一次方程与一次函数为什么有上述关系？举例说明。

事实上，二元一次方程：如2x+y=4 ，经过恒等变形得到： y= -2x+4（这是一个一次函数）从根本上两个量：x 、y 的数量关系没有发生变化，所以他们的几何意义相同。

在方程2x+y=4中，x 、y 的地位完全相同，在一次函数：y= -2x+4，x 是因变量，y 随x 的变化而变化，二元一次方程与相应的一次函数仅此区别而已。

（六）.课后作业
1.课本P 208、习题7.7.。