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运筹学2对偶问题运筹学教程运筹学Operations Research Chapter 2 对偶问题Dual Problem1. 线性规划的对偶模型Dual Model of LP2.对偶性质对偶性质3.对偶单纯形法对偶单纯形法4.灵敏度分析灵敏度分析Dual property Dual Simplex Method Sensitivity Analysis 运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dual model of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 2 of 19在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。

【例2.1】某企业用四种资源生产三种产品，工艺系数、例资源限量及价值系数如下表：产品资源Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 每件产品利润9 5 8 7 100 8 4 3 6 80 6 7 2 4 70 500 450 300 550 A B C 资源限量建立总收益最大的数学模型。

运筹学教程§2.1线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型Dualmodel of LPCh2 Dual Problem2022年11月26日星期五Page 3 of 19 设x1,x2,x3分别为产品A,B,C的产量，则线性规划数学模解型为：m Z = 100x + 80x + 70x ax1 2 39x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 500 5x + 4x + 7x ≤ 450 2 3 1 8x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x1, x2, x3 ≥ 0 现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。

假如企业自己不生产产品，而将现有的资源转让或出租给其它企业，那么资源的转让价格是多少才合理？价格太高对方不愿意接受，价格太低本单位收益又太少。

《辞海》对运筹学解释为：“二十世纪四十年代开始形成的一门 科学，主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达的有关运 用，筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分 析与运算，作出综合性的合理的安排，以达到较经济、较有效地 使用人力、物力。近年来，它在理论与应用方面都有较大发展。 其主要分枝有规划论、对策论、排队论及质量控制等。”
后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名， 由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马 对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的 上马。这样，两胜一负每天赢得一千金。
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1．赛马与桂陵之战
不久，即公元前354年，魏国以庞涓为将率军伐赵，兵围邯郸。 次年，邯郸在久困之下已岌岌可危，而魏军因久攻不下，损失也很 大。齐国应赵国的要求，以田忌为将，孙膑为军师，率军击魏救赵。 孙膑令一部轻兵乘虚直趋魏都大梁，而以主力埋伏于庞涓大军归途 必经的桂陵之地。魏国因主力远征，都城十分空虚。魏惠王见齐军 逼进，急令庞涓回师自救。刚刚攻下邯郸的庞涓闻大梁告急，急率 疲惫之师回救。
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2．晋国公重建皇城
距今约1000年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
当时，皇城都是砖木结构的， 建筑材料必须从远地通过汴水运 来。由于时间紧、任务重，按一 般的操作法肯定不能按时完成。 丁渭深思熟虑，规划并实施了一 个至今令人拍案叫绝的施工方案。
运筹学
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内容提要
绪论 线性规划与单纯形法 线性规划的进一步研究 运输问题 动态规划 存储论 排队论
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绪论
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第一节 运筹学的产生和发展
运筹学，英国称Operational Research，美国称Operations Research，直译作“作业研究”或“运用研究”，简称OR。中文 “运筹”二字取自《史记•高祖本记》中，刘邦“夫运筹帷幄之中， 决胜于千里之外，吾不如子房”。由此可见，它是一门决策科学， 优化科学。

决策单元和DMU的效率评价
决策单元（DMU）
在DEA中，决策单元是指具有相同类型的输入和输出的决策 实体。每个决策单元都有一组输入和输出，用于衡量其效率 。
DMU的效率评价
DEA的目标是通过比较各决策单元的相对效率，对它们的效 率进行评价。DEA使用数学模型和优化技术，通过比较输入 和输出的比率来计算决策单元的效率得分。
环境等。
DEA算法的重要性在于它能够 处理多投入、多产出的复杂系 统，提供了一种有效的评估决
策单元效率的方法。
DEA算法的应用领域
01
金融领域
评估银行的经营效率，比较不同银 行的盈利能力。
物流领域
评估物流企业的运输和配送效率， 优化资源配置。
03
02
医疗领域
评估医院的运营效率，比较不同医 院的医疗服务质量。
案例二：某医院的医疗服务效率评价
总结词
利用DEA算法Biblioteka 某医院的医疗服务效率 进行评价，发现医院在某些科室的资源 配置和医疗服务质量方面存在不足，提 出改进建议。
VS
详细描述
该医院采用DEA算法对其医疗服务进行效 率评价，发现部分科室在人力资源和设备 资源配置方面存在不足，影响了医疗服务 质量。医院针对这些问题，优化了资源配 置，加强了医护人员的培训和管理，提高 了医疗服务效率。
05 DEA算法的案例分析
案例一：某制造企业的生产效率评估
总结词
通过DEA算法，评估某制造企业的生产效率，发现企业在某些方面存在效率低下的问题，提出改进措 施。
详细描述
该制造企业使用DEA算法对其生产过程进行效率评估，发现其原材料采购、生产流程和仓储管理等方 面存在效率低下的问题。针对这些问题，企业采取了优化采购策略、改进生产流程和加强仓储管理等 措施，提高了整体生产效率。

2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤++=0,84821234..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：首先划出平面直角坐标系4 x 1 +3x 2X 1⎩⎨⎧=+=-1234842121x x x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=14921x x 所以：2111492max =+⨯=z 所以有唯一解(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-+=0,414234223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：2=41⎩⎨⎧=+=+-1423422121x x x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4132521x x 所以:144132253max =⨯+⨯=z 因为直线02321=+x x 与直线142321=+x x 平行， 所以有无穷多最优解，max z=14（3） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432..32max 21212121x x x x x x t s x x z 解：（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330..max 21212121x x x x x x t s x x z解：2.2将下列线性规划问题化为标准形式(1) s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：（1）令011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x则上述形式可化为：)'''(32'2m ax 3321x x x x z --+=⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--+=-++0,'',',,'6)'''('24)'''('..43321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：令33'x x -= )0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：')'''(23m ax 3221x x x x z ----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。