人教B版高中数学精编必修一学案：3.3 幂函数

幕函数中的三类讨论题在幕函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现， 下面我们将一起来学习幕函数中的三类讨论题.类型一：求参数的取值范围.2例1已知函数f(x) x 2m m 3 (m€ Z )为偶函数，且f (3) <f (5),求m 的值，并 确定f (x )的解析式. 分析：函数f (x) x 2m m 3 (me Z )为偶函数，已限定了2m 2 m 3必为偶数，又m€乙f (3) <f (5)，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定f (x )的解析式.解: T f ( x )是偶函数，2m 2 m 3应为偶数 又•••f (3)<f (5),即32 22m m32m m 35,2m 2 m 3整理，得3 1.5••• 2m 2m 3 0 ,解得13 m .2又•••mE Z , • m=0 或 1.当m=0时，c 22m m3 3为奇数(舍去)；当m =1时，2 m 2 m 3 2为偶数. 故m 的值为1, f (x) x 2. 类型二：求解存在性问题.2例2已知函数f(x) x ，设函数g(x) qf[f(x)] (2q 1)f(x)1，问是否存在实数q( q <0),使得g (x )在区间(一^,—4]上是减函数，且在区间(一4, 0)上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.分析：判断函数的单调性时，可以利用定义， 也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间.解：••• f (x) x 2，则 g(x)qx 4 (2q 1)x 2 1 .假设存在实数q (q <0)，使得g (x )满足题设条件， 设任意 x-1,x 2 且 x-1 x 2,则 g(xjg(x 2)4qx1(2q 1)X 12 4 2qx 2 (2q 1)X 2 (捲 2X 2X X 2 xJ[q(X 1X ；) (2q 1)].右X 1, x 2 €(—s,—4 ]，易知XX 2 0, X 2X 1 0,要使 g(x)在(— a, — 4:一 一 一 2 2上是减函数，则应有 q(X 1X 2) (2q 1) 0恒成立.T 为4, x ? < 4 ,2 2 2 2••• X 1 X 2 32 .而 q 0,.・. q(X 1x ?) 32q .2 2从而要使q （x iX 2） 2q 1恒成立，则有2 2函数，则应有q （X 1 X 2） （2q 1） 0恒成立.2 2 2 2• X ! X 2 32，而 q 0 ,• q(x 1x ?)22要使q （X i X 2） 2q 1恒成立，则必有2q1综上可知，存在实数q 30，使得g （X ）在（—汽—41上是减函数，且在（—4， 0） 上是增函数.类型三：类比幕函数性质，讨论函数值的变化情况例3讨论函数y （k 2 k ）X k 2k 1在X 0时，随着X 的增大其函数值的变化情况.分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幕指数，并参照幕函数的性质讨论.减小;增大而增大;增大;而减小.2q1 > 32q ，即 q < 丄30若 X 1? X 2 € (— 4, 0)，易知(捲 X 2)(X 2 X i ) 0，要使f （x ）在（—4, 0）上是增4 X 1 0, 4 X 2 0,1 1'32q，即q ‘30解：（1）当k 20 ,即 卩 k 0或k 1时，y 0为常函数;(2)k 2 2k 0 ,即 卩 k .2或k 1. 2时，此时函数为常函数;(3)k 2 k 20,2k，即01 /2时，函数为减函数，函数值随 X 的增大而(4)k 2 k 2 0,2k ，即k0 1 . 2时，函 数为增函数，函数值随X 的(5)k 2 k 20,2k ，即 1 2 k 0 0时，函数为增函数，函数值随 X 的增大而(6)k 2 k 2 0,2k，即 1 k 1 0,2时，函数为减函数，函数值随 X 的增大2借幕函数比较大小比较大小问题是幕函数中的一种常见 题型•下面介绍几种方法，供同学们学习时参考.一、直接法当幕指数相同时，可直接利用幕函数的单调性来比较. 例1 比较下列各组中两个值的大小：(1)0.71.5,0.61.5;2 2(2)2.2 3 , 1.8 3 •解析：题中两组值都是幕运算的结果， 且指数相同，因此可以利用幕函数的性质来判断它们的大小.(1 )• • •幕函数y x 1.5在］0,+^)上为增函数，又0.7 >0.6 ,•••0.71.51.50.6 ;(2 )•2••幕函数y x 3在(0,+^)上为减函数，又 ■2.2 > 1.8 ,2 2• 2.2 3>1.8 3•例2a函数f(x) (a b)x 3 b 3是幂函数，比较f (a)与f (b)的大小解析： • f (x)是幂函数，• b 3 °，,解得… a b 1 b 3.4••• f (x) x 3 •4T 函数f(x) x 3在(0,+s)上是增函数，且 a > b >0,• f(a) f(b). 二、转化法当幕指数不同时可先转化为相同幕指数，再运用单调性比较大小.224例3 比较(2)3,( 0.7) 3,.1 3 的大小.2•••幕函数y x 3在(0,+^)上单调递减，且_ 2解析：(x2)323 2，(0-7) 30.7 31.1 31.210.7V 1.212 3 21.21 3 .2 4二(0.7) 3 ( ,2)31.1 3 .三、中间值法当底数不同且幕指数也不同， 不能运用单调性比较大小时， 可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的.1 1例4 比较0.8 2与0.9 3的大小.解析：由于这两个数的 底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小.注1 1意到这两个数的特点，中间值应选0.9 3或0.8 ° .1 1••• 一 > 0,二幕函数y x 2在(0,+^)上是增函数.21 1又 0.8 v 0.9 ,••• 0.8 2 v 0.9 2 .(填 “〉、=、<”)(8) =4,8 ,• 2 .32f (x) x 3，显然该函数是偶函数,上是减函数,幕函数解析式的求法••• 0.7 2 222又0V 0.9 V 1，指数函数y0.9在(0,+m)上是减函数，且1 1综上可得0.8 2 v 0.9 3 . 四、模型函数法X 若函数 y f (x)满足性质：f(xy) f(x)gf(y), f - y f (x)等，则可以认为其模型函f(y)数为幕函数f (x) x a •对于此类抽象函数的大小比较问题, 我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解. 例5 已知函数f(x)满足fy匸^，且 f ( 8) =4,贝U ff(y)2 2解析：f (x)的原型函数是f (x)(为常数)，且在区间(0,+^)上是增函数，在(一8,0)对某些幕函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式. 本文就常见的幕函数解析式的求法归类例析如下：一、利用幕函数的定义2例1 已知函数y (m2m 1)x m 2m 1是幕函数，求此函数的解析式.2解：••• y (m2m 1)x m 2m 1是幕函数，••• y可以写成如下形式y x ( 是常数).2•- m m 1 1，解得m i 1, m2 2 .2 2当m11, m2 2 时，有m1 2m 1 2 (2 为常数)，m2 2m2 1 1 (- 1 为常数). •••函数的解析式为y x 1或y x2.评注：幕函数y x (x为自变量，是常数)的定义强调：系数为1,幕指数为常数.求出参数m后要注意检验幕指数是否为常数.二、利用幕函数的图象例2 若函数f(x) (a2 9a 19)x a 9是幕函数，且图象不经过原点，求函数的解析式.分析：对于幕函数y x ( 是常数)而言，要使幕函数的图象不过原点，则指数< 0.解：•••函数f(x) (a2 9a 19)x a 9是幕函数，且图象不经过原点，2•a 9a 19 1，且a 9 < 0.•a 3或6.•函数解析式为f(x) x 6或f (x) x 3.2例3 已知幕函数f(x) x m 1(m€ Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称.求2 .函数f (x) x m 1的解析式.解：•••函数的图象与x轴、y轴都无交点，2•- m 1 < 0 ,解得K m < 1 .又图象关于原点对称，且m€ Z,•m= 0.•- f (x) x 1.评注：解决与幕函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题.三、利用幕函数的性质例4已知幕函数f (x)1 23 -(1 4t t2)(t3 t 1)x2(t Z )是偶函数，且在( 0，+8)上为增函数, 求函数的解析式.解：••-f (x)是幕函数，. • t3 t 1 1，解得t = —1，t = 0 或t = 1，.••当t = 0时，f(x)1x2，是非奇非偶函数，不满足条件•当t = 1时，f(x)2x是偶函数，但在(0, +8)上为减函数，不满足条件•当t 1时，满足题设.综上所述，实数t的值为—1,所求解析式为f(x) x2•评注：涉及求与幕函数有关的参数问题，掌握幕函数的概念和性质是解题的关键. 解含参问题有时还应注意分类讨论.幕的十位数“求一个自然数的高次幕的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数•顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幕算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意•但我在这里说的不是’算’出来，而是 '求’出来•那位举手的孩子，你想问什么？”“我想知道’算’与’求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道.“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了•好，我们继续•”123456789248624862“一个自然数，若它的个位数是2,那么它的1次幕的个位数仍然为2，它的2次幕的个位数为4, 3次幕的个位数为8, 4次幕的个位数为6, 5次幕的个位数又为 2 了博士说道，“这张表格的第一行是幕的次数，第二行就是相应次数的幕的个位数•我们看到了什么？我们看到这些个位数以2, 4, 8, 6为基本模块不断地循环，其循环周期为4•由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4.令n=500,即可知20022002的个位数为4.” 布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起.“那么幕的十位数，比方说，19978, 19989, 19991073的十位数，该怎样’求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字.“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦•”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幕的十位数……你能帮他“求”出这三个幕的十位数吗？提示：注意1997, 1998, 1999都是离2000很近的数.幕函数图象要了解和掌握幕函数y x （为常数）性质，可结合幕函数的图象，而幕函数的图象,只要看其第一象限内的函数图象即可. 这是因为：任何幕函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象•如果幕函数是奇函数，在第三象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幕函数是偶函数，在第二象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幕函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内.那么如何来看幕函数y x （为常数）在第一象限内的函数图象呢？下面结合下图加以分析:1•幕函数y x （为常数）的图象均过定点（1, 1）（我们称其为“束点”），即所有幕函数的图象都经过束点.2.两条相交于束点的直线x 1 (y>0)和y=l (x> 0)把第一象限分成四个区域：左上区、左下区、右上区、右下区•那么，幕函数的图象的所属区域由幕指数确定：(1)当 > o时，幕函数的图象在左下右上区；此时函数图象呈上升趋势，在第一象限内为增函数；(2)当V 0时，幕函数的图象在左上右下区；此时函数图象呈下降趋势，在第一象限内为减函数；(3)当=0时，幕函数的图象为直线y=1 (x > 0);此时函数图象为上下区域的分界线，与x轴平行.3 .当>0时，幕函数的图象除过束点(1, 1)外，还过定点(0,0)(即坐标原点).此时除=1时幕函数的图象为直线外，其他情况下所对应的幕函数的图象都属于“抛物线型”图象：(1)当> 1时，幕函数的图象呈下凸形状，与x轴相切；(2)当0V V 1时，幕函数的图象呈上凸形状，与y轴相切.4.当V 0时，幕函数的图象只过束点(1,1),不过定点(0,0).此时所对应的幕函数的图象属于“双曲线型”图象，即前面所熟悉的反比例函数类型：向左上、右下分别逼近于两坐标轴，并无限接近.5.幕函数的图象与幕指数大小变化的关系：在右区(直线x=1的右边)，不同的幕函数的图象随幕指数的增加而变高；那么对应的，在左区(直线x=1的左边与y轴之间的部分)，不同的幕函数的图象随幕指数的增加而变矮.可见，两个不同的幕函数的图象，以束点为变化点，在束点左边方位高的曲线，对应地在束点右边就变成了方位低的曲线，反之亦然.通过幕函数y x在第一象限内的函数图象的变化，结合幕函数本身的奇偶性，同学们可补全函数图象，从而全面了解幕函数图象的变化情况和幕函数的性质.。

§3.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数．梳理 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征 一般幂函数特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．y ＝32x 与y ＝64x 定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)xm 2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3或1，n ＝32，所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )． (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )． (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定答案 A解析 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴13＝⎝⎛⎭⎫23α，23＝⎝⎛⎭⎫13β， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小例3 设212333222,,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为增函数，223322,35⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与(0.3)25. 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数． 又25>13， ∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35.∴⎝⎛⎫－23－1>⎝⎛⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>0.325.② 由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>0.325. 命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝mx 2－2mx ＋m －1x 2－2x ＋1(m ∈R )，试比较f (5)与f (－π)的大小．解 f (x )＝mx 2－2mx ＋m －1x 2－2x ＋1＝m (x －1)2－1(x －1)2＝m －1(x －1)2＝m －(x －1)－2. f (x )的图象可由y ＝x －2的图象首先作关于x 轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m ≥0)(或向下(m <0))平移|m |个单位长度得到(如图所示)．显然，图象关于x ＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (－π)＝f (2＋π)，而2＋π>5， ∴f (－π)＝f (2＋π)>f (5)．反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去确定α的取值．跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21mmx + (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解 (1)∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)2112222,mm+==∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ∴f (x )＝12x ，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数． ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116 C ．2 D.12答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．下列是y ＝23x 的图象的是( )答案 B5．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 答案 D1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数知，m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 答案 C解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝x 25在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝⎝⎛⎭⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝223(22)n n n n x －＋－ (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6．若α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 ∵幂函数y ＝x α是奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝13，1,3.故选A.二、填空题7．已知函数：①y ＝3x －2；②y ＝x 4＋x 2；③y ＝3x 2，其中幂函数有________个． 答案 1解析 ③y ＝3x 2＝23x ，符合幂函数的定义；①y ＝3x －2，②y ＝x 4＋x 2不符合幂函数的定义． 8．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. 9．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x 2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x －2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．10．已知幂函数f (x )＝21m x － (m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．答案 f (x )＝x －1 解析 ∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，∴m 2－1<0，解得－1<m <1.∵图象关于原点对称，且m ∈Z ，∴m ＝0，∴f (x )＝x －1.三、解答题11．已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，求m 的值． 解 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53. 又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意．综上知，m ＝1.12．已知幂函数()223m m f x x--=(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数． (1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由．解 (1)由于幂函数()223m m f x x --=在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4.(2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x 4是偶函数； 当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2，因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝a x 4＋(a －2)x 既不是奇函数也不是偶函数． 13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5，∴α＝12，∴f (x )＝12.x (2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， ∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．四、探究与拓展14．已知实数a ，b 满足等式1132,a b =下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ；④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)答案 ①③⑤解析 首先画出y 1＝12x 与y 2＝13x 的图象(如图)，已知1132a b =＝m ，作直线y ＝m .若m ＝0或1，则a ＝b ；若0<m <1，则0<b <a <1；若m >1，则1<a <b .从图象知，成立的是①③⑤.15．已知幂函数f (x )＝x (2k －1)(3－k )(k ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx 是单调函数，求m 的取值范围． 解 (1)∵幂函数f (x )＝x (2k －1)(3－k )(k ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，∴(2k －1)(3－k )>0，解得12<k <3. ∵k ∈Z ，∴k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，(2k －1)(3－k )＝2，满足函数f (x )为偶函数，当k ＝2时，(2k －1)(3－k )＝3，不满足函数f (x )为偶函数，∴k ＝1，且f (x )＝x 2.(2)∵f (x )＝x 2，∴g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－mx ，函数g (x )的对称轴为直线x ＝m 2. 要使函数g (x )当x ∈[－1,1]时是单调函数，则m 2≤－1或m 2≥1， 解得m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．。

2.3 幂函数 教学设计（第一课时）一．教材分析及重难点把握 （一）教材分析1．地位与作用：本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教B 版）必修一《幂函数》，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数.通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并将把指数函数、对数函数、幂函数科学的组织起来，能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性系统研究一类函数的意识.这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究上.因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升.2．由生活实例的函数模型，引入幂函数的概念.通过研究x y =，12132,,,-====x y x y x y x y 等函数的图象和性质，让学生认识到所有的幂函数都过点（1,1）,幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数0>α时，函数在),0(+∞上单调递增，但是函数增减快慢不同；当幂指数0<α时，函数的图象在),0(+∞上单调递减.我们应注意用数形结合、分类讨论以及从特殊到一般的数学思想方法去探究幂函数的图象和性质.另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象和性质是一个重要途径. （二）目标分析根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为： 1.知识与技能：（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图 像；（2）结合这几个幂函数的图像，理解幂函数图像的变化情况和性质．能记住幂函数的概念，会判断一个函数是否是幂函数；2.过程与方法：（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力； （2）使学生体会数形结合、分类讨论以及从特殊到一般等数学思想.3.情感态度价值观：（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；（2）利用计算机，了解幂函数图像的变化规律，使学生认识到现代技术在认识过程中的作用，从而激发学生的学习欲望. （三）重难点分析重点：幂函数的定义以及幂函数的图象与性质.难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律,适当引伸一般幂函数的图象及性质. 二．教法学法分析 （一）学情分析从知识上来讲，初中已经研究过12,,-===x y x y x y 这三种幂函数.高一第一章新定义了函数，研究了函数的定义域、值域、单调性及奇偶性等性质，幂函数又是继指数函数和对数函数研究后的又一基本函数，学生已经基本掌握了研究一类函数的方法.但是学生刚进入高中，归纳概括、探究能力还有待加强，因此由五个具体幂函数的图象概括其性质，体会图象的变化规律,适当引伸一般幂函数的图象及性质成为本节课的难点.从认知心理上来讲，学生对于探究新函数图象这一问题是比较感兴趣. （二）教法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，要在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，培养学生的思维品质.根据以上教学原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：（1）分组探究法：通过分组研究五个幂函数图象和性质，进行对比总结相关结论，当幂指数0>α时，函数在),0(+∞上单调递增，但是函数增减快慢不同；当幂指数0<α时，函数的图象在),0(+∞上单调递减.（2）演示教学法:通过动态的图像演示,引导、启发学生发现问题、猜想验证、从而解决问题，形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣.（3）合作交流法：通过合作交流应用幂函数αx y =的性质比较数的大小，为学生创设充分表现自我的氛围，使人人都有自我表现的机会和条件，并使之在小组中交流中分享成功的快乐. （三）学法分析教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）对比学习法（2）探究学习法（3）观察法（4）协作学习法（5）练习巩固法（四）多媒体教学本节课涉及函数图像多，手工绘图复杂，为了增加绘图的形象性、准确性，提高课堂效率，采用几何画板和PPT 制作多媒体课件辅助教学. （五）教学基本流程三．教学过程（一）创设情景，导入新课：看以下几个实际问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，那么立方体的体3a V =，这里V 是a 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形边长21S a =,这里a 是S 的函数；（5）如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度km/s t v -1=，这里v 是t 的函数.思考1：这些函数的共同形式是什么?【设计意图】通过生活实例的函数模型，引入幂函数的概念（解析式右边又都是幂的形式，变量在底数位置，我们把这种函数叫做幂函数）；使学生体会到实际生活中处处有数学，从而激发学生的学习兴趣. （二）自主探究，构建新知1.幂函数的定义：一般地，函数αx y =叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数.练习1：判断下列函数哪些是幂函数？①3x y -=②3-=x y ③22x y =④2)1(-=x y ⑤13+=x y ⑥4x y =2.幂函数的结构特征：①αx 前面的系数是1②底数只能是x ③幂函数只有一项. 判断⑦x y 4=是什么函数？思考2：怎样判断一个函数是幂函数还是指数函数？【设计意图】让学生了解幂函数的严格定义，通过判断一个函数是否是幂函数引导学生分析幂函数的结构特征，注意区分幂函数与指数函数.教师提问：根据前面学习指数函数、对数函数的学习经历，认为下面应该研究什么呢？探究活动一：五个幂函数x y =)1(2)2(x y =1213)5()4()3(-===x y x y x y 的图象和性质(将学生分为五个大组，每个大组用描点法画一个幂函数的图象，并根据画的图象，完成相应函数的性质).画出这五个幂函数的图象：根据图象填下列表格：五个幂函数的性质： 教师：将这五个幂函数的图象通过PPT 用不同的颜色呈现在同一坐标系中，引导学生比较它们的异同.2x y =xy =3x y =21xy =1-=x y 21x y =教师：引导学生根据幂函数,x y =13,-==x y x y ，2x y =的奇偶性只需画第一象限的图象，并总结下列结论：（1）所有幂函数都过点（1,1）；（2）函数,,,32x y x y x y ===21x y =在区间),0(+∞上是增函数，但增减快慢不同，函数1-=x y 在区间),0(+∞是减函数.教师：引导学生根据幂函数,,,32x y x y x y ===21x y =的指数大于0，1-=x y 的指数小于0，分两大类探究一般幂函数图象和性质（分类讨论思想）.探究活动二：简单探究一般幂函数的图象和性质（1）当α>0时,①10<<α，在区间（0，+∞）上是凸着增的,与函数21x y =图象形状类似，②1>α，在区间（0，+∞）上是凹着增的,与函数32x y x y ==和图象形状类似；（2）当α<0时, 在区间（0，+∞）的单调性为减函数，与函数1-=x y 图象形状类似.教师：引导学生根据五个特殊幂函数,,,32x y x y x y ===21x y =,1-=x y 探究一般幂函数图象和性质，这叫从特殊到一般的数学思想，并用几何画板演示一般幂函数图象.【 探究活动一、二设计意图】让学生用描点法自主动手画五个幂函数53325287879.1-8.3, 1.4 )2()91(8- )1(）和（和---x y =)1(2)2(x y =1213)5()4()3(-===x y x y x y 的图象，巩固作函数图象的方法与步骤，通过观察图象得到每个幂函数的性质，培养学生识图能力及进一步体会数形结合的思想.将这五个幂函数的图象通过PPT 呈现在同一坐标系中，引导学生比较它们的异同，启发学生逐步发现规律，概括结论.让学生形成自己对新知的探究，促进由学会到会学转化. （三）知识应用例1 已知函数 是幂函数，且在),0(+∞上是增函数，求f(x)的解析式.教师：引导学生思考此例题应用了哪些知识. 例2 比较25251.33--和的大小练习2：比较下列各组数的大小教师：引导学生思考每组数的特征，能否用指数函数知识解决这些问题，并对比用幂函数知识比较这些数的大小.对于练习2（2），学生用幂函数知识比较有难度，通过小组交流，找出解决问题的方法（学生投影展示）.【设计意图】及时巩固是学习和发展的需要，只有及时巩固，才能迁移应用，这样更能突出重点、突破难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高.把问题交给学生小组讨论完成，培养学生合作交流的能力. （四）课堂总结问题1：从这节课你学到了哪些知识点？ 问题2：本节用到的数学思想方法有哪些？【设计意图】由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对幂函数定义与性质的应用，使本节课的总结成为学生凝练提高的平台. （五）布置作业1.请同学们用指数函数知识比较下列各组数的大小533252878725259.1-8.3 ,1.4 )3(91- 8- )2(1.3 3)1(）和（和和----⎪⎭⎫ ⎝⎛2. 课本79页练习2.3第1、2题，课本82页Ａ组10题.322)1()(-+∙--=m m x m m x f四．板书设计五．教学反思这节课由生活实例的函数模型，引入幂函数的概念，创设情境，激发学生学习新知的情意；操作上，每次不是让电脑代替学生去作图，而是让学生先动手作图，自主探究，树立起数形结合的思想，然后利用PPT和几何画板动态演示幂函数的图象，让学生直观的看到随着 取值的改变，图象变化的规律，体会分类讨论以及从特殊到一般的数学思想方法.另外，从新课程的理念：利用计算机技术演示幂函数图象，从根本上改变学生的学习方式，使计算机的信息技术能够很好的运用于新课程改革，使学生真正成为学习课程的主体.。

幂函数中的三类讨论题在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题．类型一：求参数的取值范围． 例1 已知函数223()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）<f （5），求m 的值，并确定f （x ）的解析式． 分析：函数223()mm f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，又m ∈Z ，f （3）<f （5），只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定f （x ）的解析式．解：∵f （x ）是偶函数，∴223m m -++应为偶数． 又∵f （3）<f （5），即22232335m m m m -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭．∴2230m m -++>，解得312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴m =0或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当m =1时，2232m m -++=为偶数． 故m 的值为１，2()f x x =． 类型二：求解存在性问题．例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数q （q <0），使得g （x ）在区间（－∞，－4］上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间． 解：∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+． 假设存在实数q （q <0），使得g （x ）满足题设条件，设任意12x x ，且12x x <，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+-- 22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若12x x ，∈（－∞，－４]，易知122100x x x x +<->，，要使()g x 在（－∞，－4］上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵1244x x <--，≤，∴221232x x +>．而0q <，∴2212()32q x x q +<．从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12x x ，∈（－4，0），易知1221()()0x x x x +-<，要使f （x ）在（－4，0）上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵124040x x -<<-<<，， ∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在（－∞，－4］上是减函数，且在（－4，0）上是增函数．类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况. 例3 讨论函数2221()kk y k k x --=+在0x >时，随着x 的增大其函数值的变化情况．分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．解：（１）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（２）当2210k k --=，即1k =1k =（３）当220210k k k k ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩，，即01k <<+x 的增大而减小；（４）当220210k k k k ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩，，即1k <-或1k >x 的增大而增大；（５）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨--<⎪⎩，，即10k <时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（６）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨-->⎪⎩，，即11k -<<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小．借幂函数比较大小比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考． 一、直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较． 例１ 比较下列各组中两个值的大小：（1） 1.5 1.50.70.6，； （2）232.2-，231.8-．解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．（1）∵幂函数 1.5y x =在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6， ∴ 1.51.50.70.6>；（2）∵幂函数23y x -=在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，∴232.2->231.8-．例2 函数3()()3a f x a b x b =-+-是幂函数，比较()f a 与()f b 的大小． 解析：∵()f x 是幂函数，∴301b a b -=⎧⎨-=⎩，，解得43.a b =⎧⎨=⎩，∴43()f x x =．∵函数43()f x x =在（0，＋∞）上是增函数，且a ＞b ＞0， ∴()()f a f b >．二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小． 例３比较224333((0.7) 1.1---，，的大小．解析：22223333((0.7)0.72---⎛=-= ⎝⎭，，42331.1 1.21--=．∵幂函数23y x-=在（０，＋∞）上单调递减，且0.71.21，∴2223330.71.212---⎛>> ⎝⎭．∴224333(0.7)( 1.1--->>．三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的． 例４ 比较0.812与0.913的大小．解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.913或0.812．∵12＞0，∴幂函数12y x =在（０，＋∞）上是增函数． 又0.8＜0.9，∴0.812＜0.912．又0＜0.9＜1，指数函数0.9xy =在（0，＋∞）上是减函数，且12＞13，∴0.912＜0.913．综上可得0.812＜0.913． 四、模型函数法若函数()y f x =满足性质：()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ⎛⎫==⎪⎝⎭，等，则可以认为其模型函数为幂函数()af x x =．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．例５ 已知函数()f x 满足()()x f x f y f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f （8）=4，则f ⎝⎭_________f ⎛ ⎝⎭（填 “＞、=、＜”）．解析：()f x 的原型函数是()f x x α=（α为常数），又f （8）=4，∴48α=，∴23α=． 于是23()f x x =，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，332f f f ⎛⎛⎛-=<⎝⎭⎝⎭⎝⎭．幂函数解析式的求法对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下： 一、利用幂函数的定义例１ 已知函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．解：∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴y 可以写成如下形式y x α=（α是常数）． ∴211m m --=，解得1212m m =-=，．当1212m m =-=，时，有211212m m --=（2为常数），222211m m --=-（－1为常数）． ∴函数的解析式为1y x -=或2y x =．评注：幂函数y x α=（x 为自变量，α是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m 后要注意检验幂指数是否为常数． 二、利用幂函数的图象例２ 若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式． 分析：对于幂函数y x α=（α是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数α≤0． 解：∵函数29()(919)a f x a a x-=-+是幂函数，且图象不经过原点，∴29191a a -+=，且90a -≤． ∴3a =或6．∴函数解析式为6()f x x -=或3()f x x -=． 例３ 已知幂函数21()m f x x -=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称．求函数21()mf x x -=的解析式．解：∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴210m -≤，解得11m -≤≤． 又图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0． ∴1()f x x -=．评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题．三、利用幂函数的性质例４ 已知幂函数21(14)32()(1)t t f x t t x --=-+（t ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．解：∵()f x 是幂函数，∴311t t -+=，解得t ＝－1，t ＝0或t ＝1，∴当t ＝０时，12()f x x =，是非奇非偶函数，不满足条件．当t ＝1时，2()f x x -=是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当1t =-时，满足题设． 综上所述，实数t 的值为－1，所求解析式为2()f x x =．评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．幂的十位数“求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？”“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道．“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．”“一个自然数，若它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．”博士说道，“这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．”布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字．“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数……你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数．幂函数图象=（α为常数）性质，可结合幂函数的图象，而幂函数的图象，要了解和掌握幂函数y xα只要看其第一象限内的函数图象即可．这是因为：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．如果幂函数是奇函数，在第三象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第二象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．=（α为常数）在第一象限内的函数图象呢？下面结合下图加以那么如何来看幂函数y xα分析：=（α为常数）的图象均过定点（1，1）（我们称其为“束点”），即所有1．幂函数y xα幂函数的图象都经过束点．x=（y＞0）和y=1（x＞0）把第一象限分成四个区域：左上区、2．两条相交于束点的直线1左下区、右上区、右下区．那么，幂函数的图象的所属区域由幂指数α确定：（１）当α＞0时，幂函数的图象在左下右上区；此时函数图象呈上升趋势，在第一象限内为增函数；（２）当α＜0时，幂函数的图象在左上右下区；此时函数图象呈下降趋势，在第一象限内为减函数；（３）当α=0时，幂函数的图象为直线y=1（x＞0）；此时函数图象为上下区域的分界线，与x轴平行．3．当α＞0时，幂函数的图象除过束点（１，１）外，还过定点（０，０）（即坐标原点）．此时除α＝１时幂函数的图象为直线外，其他情况下所对应的幂函数的图象都属于“抛物线型”图象：（１）当α＞1时，幂函数的图象呈下凸形状，与x轴相切；（２）当0＜α＜1时，幂函数的图象呈上凸形状，与y轴相切．4．当α＜0时，幂函数的图象只过束点（１，１），不过定点（０，０）．此时所对应的幂函数的图象属于“双曲线型”图象，即前面所熟悉的反比例函数类型：向左上、右下分别逼近于两坐标轴，并无限接近．5．幂函数的图象与幂指数α大小变化的关系：在右区（直线x=1的右边），不同的幂函数的图象随幂指数α的增加而变高；那么对应的，在左区（直线x=1的左边与y轴之间的部分），不同的幂函数的图象随幂指数α的增加而变矮．可见，两个不同的幂函数的图象，以束点为变化点，在束点左边方位高的曲线，对应地在束点右边就变成了方位低的曲线，反之亦然．=在第一象限内的函数图象的变化，结合幂函数本身的奇偶性，同学们可通过幂函数y xα补全函数图象，从而全面了解幂函数图象的变化情况和幂函数的性质．。