高三年级数学练习(综合题4)(占华平)2013.12.24

C 1B 1A 1QPCBA（第19题图）虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．2log 1(0)x x -> 2．[]0,2 3. 2 4．285． 13 6. 80 7. 2213y x -= 8． 8 9. 12 10． 8π 11．509112. 14n -13．63 14．()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 解：（1）1111122=23=210+31020600)ABC ABC A B C ABB A S S S cm ∆-+⨯⨯=+正三棱柱侧矩形 ……(3分)111231=1020)ABC ABC A B C V S AA cm -∆⋅⨯=正三棱柱……(6分)（2）连结11,,BA BC 则1//,BC PQ 又11//,A C AC故11BC A ∠等于异面直线PQ AC 与所成角. ……(8分)易得111110BC BA AC ===而，故222111111111cos 2BC A C BA BC A BC A C +-∠==⋅⋅于是异面直线PQ AC 与所成角的大小为arc ……(12分) 20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由AB AC S ⋅=得 1cos sin 2c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅tan 2,0,.2A A π⎛⎫⇒=∈ ⎪⎝⎭于是 ……(4分)进而求得4sin ,cos tan 2.3A A A ===- ……(7分)（2）66, 6.CA CB BA c-===由得即……(9分)6sinsin sin sin()b c c BbB C A B=⇒===+由正弦定理，有 (12))11sin612.22S bc A=⋅=⋅=于是……(14分)21．(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）因为()11()()1,1f x f x xx==≠-故[]()2111()()10,1,111f x f f x x xxx===-≠≠--[][]32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),(3)1f x f f x x x xxf x f f x x xx===≠≠--==≠≠-分故对任意的3,()()(2,3,4),n i in N f x f x i+∈==有于是20153671221()()()1(0,1);f x f x f x x xx⨯+===-≠≠201510,1()()1.x x g x f xx>≠==-故当时，1(1)0,0()1.g x g xx=>=-又故当时，由()g x为偶函数，1100,()()11.x x g x g xx x<->=-=-=+-当时，11,0,1()1110.xxg xxxx⎧+<⎪⎪==-⎨⎪->⎪⎩，因此.……(6分)(2) 由于()y g x=的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞又,,a b mb ma a b<<可知与同号，0m<且;进而[](),g x a b在递减,且0.a b<<……(8分)函数()y g x=的图像，如图所示.由题意，有1()1,1()1,g a maag b mbb⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩……(10分)故,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有 两个不相等的实根，于是140101010.4m a b m ab m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=<⎨⎪⎪=->⎪⎩⇔-<< ……(12分) 综合上述，得：实数m 的取值范围为1,0.4⎛⎫-⎪⎝⎭……(14分) 注：若采用数形结合，得出直线y m x =与曲线11(0)y x x=+<有两个不同交点，并进行求解也可.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 解：（1）当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a = 当3n =时，由33323233,S a a +=+=得33;a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a =猜想：23().n a n n N *=-∈ ……(3分) 下面用数学归纳法证明：① 当2n =时， 21,a =结论显然成立；② 假设当2n k =≥时，2 3.k a k =-由条件知2,n n S na n =-故[]1111222(1)(1)()(1)1,k k k k k k k a S S k a k ka k k a ka ++++=-=+-+--=+--于是11(1)1(23)1(1)(21),2(1) 3.k k k k a ka k k k k a k ++-=+=-+=--=+-从而故数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈ ……(6分)另解（1）：当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a =当3n =时，由33323233,S a a +=+=得3 3.a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a = ……(2分) 当3n ≥时，由条件知2,n n S na n =-故()[]111222(1)(1)(1)1,n n n n n n n a S S na n n a n na n a ---=-=-----=---于是1111(2)(1)1,1221n n n n a a n a n a n n n n -----=⇒-=----- ……(4分) 112322()()()1122321111111111111()()()()()212233432211n n n n n a a a a a a aa n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-----=+-+-+-++-+-=------从而故23(3).n a n n =-≥ 于是数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈……(6分)证：（2）当1n =时， 11231,b a =+=当2n ≥时，由条件得[][]()()123112311111(21)35(23)(21)35(23)23232(23)2(25)2(8(1)2)n n n n n n n n n n n n b b b b n b n b b b b n b a a n n n -------=++++-+--++++-=⋅+-+=---=-分从而12.n n b -= 故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)解：（3）由题意，得1112212221111111(223)(221)(221)(227)(225)2(223)(225)(12)34224n n n n n n n n n n n n nnn c a a a a ---++------+=++++=⋅-+⋅-+⋅+++⋅-+⋅-⎡⎤⋅⋅-+⋅-⎣⎦==⋅-分22311223(444)(222)434(41)2(21)442344 (14)121n n n n n n n n T c c c +=+++=+++++++-⋅-=⋅-=-⋅+--故分从而 11lim lim 143 1.424n nn n nn T →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ……(16分)注：在解答第（3）小题时，可直接求出n T .23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.解：（1）由题意，得22222,,,b c b b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ……(2分)2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩解得 故椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--于是由20000001(0,)(,),0,22HM HN y x y y y y ⋅=⋅--=-=->=及得 再由点M 在椭圆C上，得220001,4x y x +==求得所以),(),0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程:40.x y -=由2240,1,4x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩J 求得 ……(8分)进而NJ NJ =线段的中点坐标为 因此以线段NJ为直径的圆的方程为：22153((.50x y +=……(10分) （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l的斜率为0时，可以求得PQR S ∆= ……(12分)当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l的距离为d =从而由几何意义，得PQ ==由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为11,y x k=--可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,;44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭于是AR =12PQRS PQ AR ∆⋅==故 ……(15分)u =令则232321313PQR u u u uS ∆=≤++=当且仅当u k =>=即时，上式取等号.>故当k =时，()max PQR S ∆=此时直线1l 的方程为：1.y x =-（也可写成220.y ++=） ……(18分)。

2023届高三综合测试数学参考答案一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符0分。

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．10x y −−= （写成1y x =−亦可） 14．421516．3(1)2n n −−四、 解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）()1cos o 62c s 2sin 2πf x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=−=−=−⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …1分 因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以12T π=，则2πT =，所以22ππT ω==，解得1ω=， 所以()n 62si πf x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭．……3分 由22262k x k πππππ−+≤−≤+，k Z ∈，解得22233k x k ππππ−+≤≤+，k Z ∈ 因此()f x 的单调增区间是22,233k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. ……5分 （2）由()2sin 6πf x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以26πππk ω−=，Z k ∈，所以123k ω=+，Z k ∈， ……7分 由,30πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则,6636ππππx ωω⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦， 又函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以2036πππωω⎧−≤⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤， ……9分 由10223k <+≤解得0k =，此时13ω=.……10分18.解：（1）当1n =时，1124S <<.……1分 又因为n a Z ∈，所以11a =.依题意，2(1)(1)n n n n d n <+−<+，……3分 得2(1)20(1)10d n d d n dn −+−<⎧⎨−−−<⎩恒成立 ……4分 解得1d =， ……5分 所以，n a n =.……6分（2）2n n nb =12323411232222112322222n n n n n T n T +=++++=++++①②①-②，得1231111111212222222n n n n n n T +++=++++−=−……9分 即2222n n n T +=−<……10分1,22n n n =<+时，[]0n T =;12(1)2,21122n n n n n n C C n n +≥≥++=++≥+时，[]1n T =，所以2019M =.……12分19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的70%分位数. ……1分 由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，由70%5035⨯=，日需求量在24箱以下的天数为10101535++=，可知，日需求量的样本数据的第35项数据为24，第36项数据为25， 因此，可以估计日需求量的第70%分位数为242524.52+=， ……3分 所以能70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为24.5箱.……4分 （2）由（1）知2424.5<25t ≤=，即024n = 设每天的进货量为24箱的利润为X ，由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为35，当天卖不完剩余1箱的概率15，当天卖不完剩余2箱的概率15，若当天卖完24(10050)1200X =⨯−=元，若当天卖不完剩余1箱23(10050)1301120X =⨯−−⨯=元，若当天卖不完剩余2箱22(10050)2301040X =⨯−−⨯=元， ……6分所以31()1200(11201040)115255E X =⨯+⨯+=元.……7分 设每天的进货量为25箱的利润为Y ，由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为310，当天卖不完剩余1箱的概率310，当天卖不完剩余2箱的概率15，当天卖不完剩余3箱的概率15，若当天卖完25(10050)1250Y =⨯−=元，当天卖不完剩余1箱24(10050)1301170Y =⨯−−⨯=元， 当天卖不完剩余2箱23(10050)2301090Y =⨯−−⨯=元，当天卖不完剩余3箱22(10050)3301010Y =⨯−−⨯=元， ……9分所以31()(12501170)(10901010)1146105E Y =⨯++⨯+=元， ……10分由于()()E Y E X <，显然每天的进货量25箱的期望利润小于每天的进货量为24箱的期望利润， 所以店老板应当购进24箱. ……12分20.（1）证明：连接,BD 在正方形ABCD 中BD AC ⊥, 又PA ⊥平面ABCD ，故PA BD ⊥ 而,PA AC 是平面PAC 上的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC ……2分 在PBD △中，EF 为中位线，故//EF BD ……3分 所以EF ⊥平面PAC . 又EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PAC ……5分 （2）以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz −， 则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0,1,0,1,0,1,1A B C P D E F ，()()1,0,1,0,1,1AE AF ==， ……7分设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =−， ……8分设1(01)2PG PC λλλ=<<≠，， 则()()()0,0,22,2,22,2,22AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+−=−则3sin cos ,1m AG θ===， 整理得212810λλ−+=，解得16λ=或12λ=（舍去）， ……10分 故16PG PC =,故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==,故126EBG S BE h =⋅=△因为(1,0,1)(0,1,00AE BC ⋅=⋅=）,所以AE BC ⊥ 又(1,0,1)(2,0,20AE BP ⋅=⋅−=）,所以AE BP ⊥， 又BPBC P =，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG的距离为EA =三棱锥E ABG −体积为1113369E ABG A EBG EBG V V S EA −−==⋅=⨯=△. ……12分 21.解：（1）因为12PF F ∆的周长等于22a c +为定值,所以内切圆半径最大时，即12PF F ∆的面积最大，此时点P 为椭圆的上（下）顶点……1分可得1(22)2a c bc ⋅+=； ……2分 又因为23c e a ==，222c a b =+，解得3,2,a c b ===……3分 所以椭圆E 的方程为22195x y +=；……4分（2）（法一）设点由条件可知直线l 的斜率0k ≠， 设点1122(,),(,)P x y Q x y ，由22(1)195y k x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(59)189450k x k x k +−+−=所以2212122218945,5959k k x x x x k k−+==++（*） ……5分由（*）可得21212122925(2)(2)2()459k x x x x x x k −−−=−++=+① ……6分12211221270(2)(2)(1)(2)+(1)(2)59ky x y x k x x k x x k−−+−=−−−−=+② ……7分 22121212240[()1]59k y y k x x x x k−=−++=+ ③ ……8分由对称性，不妨令点M 位于第四象限，设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ， 则1212tan ,tan ,tan 22y ym x x αβγ===−−又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=−可得出12121212221122y y m mx x y y m mx x −−−−=++−− ……9分化简得2121212121212()2(1)()=0222222y y y y y ym m x x x x x x ++−−+−−−−−−即[]2122112121221[(2)(2)]2(2)(2)[(2)(2)]0y x y x m x x y y m y x y x −+−+−−−−−+−= 将①②③式代入上式得：2235(4925)350km k m k −+−+=……10分 则(75)(57)0km m k +−+=，解得57,()75km m k =−=舍去 ……11分故直线2F M 方程为5(2)7y x k =−−，令9x =得点5(9,)M k−则5'9k k =−，故5'9kk =−为定值.……12分【法二】设线由条件可知直线l 的斜率0k ≠，设直线2PF 的斜率为1k ，直线2QF 的斜率为2k ，直线2F M 的斜率为m ， 直线:(2)1l x ny −−+=，其中1k n=由22195x y +=得225[(2)2]945x y −++= 即()[][]22295220(2)(2)25(2)0y x x x ny x ny +−+−−−+−−−+=整理得222(925)70(2)40(2)0n y n x y x −+−−−=……6分即22(925)7040022y y n n x x ⎛⎫−+−= ⎪−−⎝⎭令2yk x =−,则22(925)70400n k nk −+−=，其中12k k ，为方程的根所以12270259nk k n +=−，12240259k k n =− ……8分 由对称性，不妨令点M 位于第四象限，设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ，则1212tan ,tan ,tan 22y y m x x αβγ===−− 又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=− 由121211m k k m mk mk −−=++得2121212()(22)()0k k m k k m k k ++−−+= ……9分 代入整理得2235(2549)350nm n m n +−−=， ……10分则(57)(75)0nm m n −+=故75m n =（舍去）或者57n m =− ……11分所以直线2F M 的方程为5(2)7ny x =−−，令9x =得点(9,5)M n −故5'9n k =−，则5'9k k =−为定值.……12分 22.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．……1分21(1)1(1)(1)'()(1)ax a x ax x f x ax a x x x−++−−=+−+==． ……2分 ① 0a =时，1'()xf x x−=，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增；当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，故()(1)10f x f ≤=−<，无零点． ……3分 ② 0a <时，10ax −<，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增；当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，故max ()(1)12af x f ==−−，且0,x x +→→+∞时，均有()f x →−∞．若102a−−>即2a <−时，()f x 有两个零点；若102a−−=即2a =−时，()f x 有一个零点；若102a−−<即20a −<<时，()f x 无零点． ……4分③ 0a >时，若01a <<，则01x <<或1x a>时，'()0,()f x f x >均单调递增；11x a <<时，'()0,()f x f x <单调递减．而(1)10,2af x =−−<→+∞时，()f x →+∞，故()f x 有一个零点． 若1a =，则'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，且0x +→时，()f x →−∞，x →+∞时，()f x →+∞，故()f x 有一个零点．若1a >，同理可得，()f x 在1(0,),(1,)a +∞上单调递增，在1(,1)a上单调递减，111()ln 102f a a a =−−<，此时()f x 有一个零点． ……6分 综上得：当20a −<≤时，()f x 无零点；当2a =−或0a >时，()f x 有一个零点；当2a <−时，()f x 有两个零点．……7分 （2）当1a >时，由（1），任取,i j x x ()i j x x <，设1jix t x =>， 先证ln ln 2j ij ij ix x x x x x −>−+． 上述不等式即为2(1)ln 01t t t −−>+，设2(1)()ln 1t g t t t −=−+， 则22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t −=−=>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0g t g >=，即ln ln 2j i j i j ix x x x x x −>−+成立．……9分由()()i j f x f x =得：22311ln (1)ln (1)22i i i j j x ax a x x ax a x +−+=+−+， 所以ln ln ()(1)02i ji j i jx x ax x a x x −++−+=−， 所以2()(1)02i j i j ax x a x x ++−+<+， 即2()(1)()202i j i j ax x a x x +−+++<， 即[()1][()2]02i j i j ax x x x +−+−<，所以22i j x x a <+<，……11分即1213232222,2,2x x x x x x a a a<+<<+<<+<， 三式相加即得12333x x x a<++<．……12分。

全国100所名校单元测试示范卷高三数学第二十三单元综合测试四一、选择题（共15小题，每题4分，共60分。

）1. 已知函数$f(x)=frac{1}{x-3}+k$，且$f(4)=0$，则$k$的值为（）。

A. $-1$B. $-3$C. $3$D. $5$2. 若$frac{x^2-y^2}{x-y}=k$，则$frac{x^4-y^4}{x^2-y^2}$的值为（）。

A. $k^2$B. $k^3$C. $k^4$D. $k^5$3. 已知$alpha$为方程$x^2+px+q=0$的一个根，则$alpha^2+alpha p+q=$（）。

A. $0$B. $-1$C. $1$D. $2$4. 已知$log_3 5=a$，$log_3 2=b$，则$log_{10} 10$可以用$a,b$表达为（）。

A. $2ab$B. $frac{1}{ab}$C.$frac{1}{2ab}$ D. $ab$5. 若$Asubseteq B$，$Bsubseteq C$，则（）。

A. $Asubseteq C$B. $Csubseteq A$C. $A=B$D. $B=C$6. 已知等差数列$a_1,a_2,a_3,cdots,a_n,cdots$的公差$de 0$，且$limlimits_{nto infty}a_n=0$，则（）。

A. $a_1=0$B. $a_{n+1}=a_n$C.$a_1+a_2+a_3+cdots+a_n$无限接近于某个常数 D.$a_n$无限接近于某个常数7. 已知函数$f(x)=x^3+3x^2-2x+1$的图象上某点的横坐标为$-1$，则该点处的斜率为（）。

A. $-4$B. $-2$C. $0$D. $2$8. 已知$log_2 a+b=1$，$log_2 a-b=3$，则$a$和$b$的值分别为（）。

A. $a=2,b=-1$B. $a=4,b=1$C.$a=2,b=1$ D. $a=4,b=-1$9. 已知函数$f(x)=frac{1}{x^2-4}$，则$f(frac{1}{2})+f(frac{1}{3})$的值为（）。

2013届高三理科数学高考模拟考试4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）..35A i + .35B i - .35C i -+ .35D i --2. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）..A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）. .7A .9B .10C .15D4. 设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）.3.,62A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3.,12B ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ [].1,6C - 3.6,2D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5. 执行右面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）..2A .3B .4C .5D 6. 已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）..A 22182x y += .B 221126x y +=.C 221164x y += .D 221205x y += 7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）..232A .252B .472C .484D8. 设函数()()()21,,,0f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ）..A 当0a <时，12120,0x x y y +<+> .B 当0a <时，12120,0x x y y +>+< .C 当0a >时，12120,0x x y y +<+< .D 当0a >时，12120,0x x y y +>+>二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 为线段1AA ，1BC 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为___________.11. 设0a >，若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =___________.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则()()()()1232013f f f f ++++= ___________. 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正方向滚动.当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP的坐标为____________.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）1A 图 4已知两面线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩ 和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量()()sin ,1,cos ,cos 202A m x n x x A ⎫==>⎪⎭，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6. （1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17. （本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60,DAB FC ∠=⊥平面ABCD ，,AE BD CB CD CF ⊥==. （1）求证：BD ⊥平面AED ；（2）求二面角F BD C --的余弦值.18. （本小题满分13分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9m m内的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系,xOy F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 为抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.（3）若点M 直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,,A B l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22AB DE +的最小值.21. （本小题满分14分） 已知函数()ln xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()()()2g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+.。