大学物理第十一章静电场中的导体(精)

第9章　静电场中的导体9.1 求导体外表面紧邻处场强的另一方法。

设导体面上某处面电荷密度为σ，在此处取一小面积ΔS，将ΔS 面两侧的电场看成是ΔS 面上的电荷的电场（用无限大平面算）和导体上其他地方以及导体外的电荷的电场（这电场在ΔS 附近可以认为是均匀的）的叠加，并利用导体内合电场应为零求出导体表面紧邻处的场强为σ/ε0（即教材式（8.2））。

解：如图8-1所示，导体表面小面积ΔS 上所带电荷在它的两侧分别产生场强为σ/2ε的电场E'1和E'2，ΔS以外的电荷在ΔS 附近产生的电场为E"，可视为均匀的。

由电场叠加原理，在ΔS 的导体内一侧应有于是在ΔS的导体外一侧，则合电场应为这说明E ex 的大小为2σ/（2ε0）＝σ/ε0，而其方向垂直于导体表面。

图8-19.2 一导体球半径为R1，其外同心地罩以内、外半径分别为R2和R3的厚导体壳，此系统带电后内球电势为φ1，外球所带总电量为Q 。

求此系统各处的电势和电场分布。

解：设内球带电为q 1，则球壳内表面带电将为－q1，而球壳外表面带电为q 1＋Q ，这样就有由此式可解得于是，可进一步求得9.3 在一半径为R1＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B 。

已知球壳B 的内、外半径分别为R2＝8.0 cm ，R3＝10.0 cm 。

设A 球带有总电量QA ＝3×10－8 C ，球壳B 带有总电量QB ＝2×10－8C 。

（1）求球壳B 内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B 的电势；（2）将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地。

求金属球A 和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B 的电势。

解：（1）由高斯定律和电荷守恒可得球壳内表面带的电量为球壳外表面所带电量为于是（2）B 接地后断开，则它带的总电量变为然后球A 接地，则φ'a＝0。

设此时球A 带电量为q'A ，则由此解得9.4 一个接地的导体球，半径为R ，原来不带电。

V
五.电场强度的计算 电偶极子 1.定义 (物理模型) P r 其距离较问 题涉及线度 –q l +q 小得多l<<r 的等量异号的点电荷系统. 2.电矩 (电偶极矩) p –q l +q p=ql p与l同向,l从负指向正. 3.电偶极子电场的电场强度 (1)延长线上的电场强度 E– A E+ 坐标如图 –q l +q A的坐标 O x 为x. E+=qi/[4πε0(x–l/2)2] E–=–qi/[4πε0(x+l/2)2] E=E++E–
四.电场叠加原理 4.点电荷系激发的电场 (由力的叠加原理得出) E = qiri/(4πε0ri3) 将带电体分成无数个点电荷. i 试验电荷受力为 5.连续带电体激发的电场 F =Fi= q0qiri/(4πε0ri3) E =q rdq/(4πε0r3) i i ρ=dq/dV E=F/q0 = q0 qiri/(4πε0ri3) q0 (1)体电荷 体电荷密度 i E = rρdV/(4πε0r3) E = qiri/(4πε0ri3) =Ei (2)线电荷截面尺寸远小于长 i i 1.独立性 任何电荷的电场不 度.也远小于问题所涉及线度 线电荷密度 λ=dq/dl 因其它电荷的存在而受影响; E = lrλdl/(4πε0r3) 2.叠加性 空间电场是所有电 (3)面电荷 厚度远小于表面尺 荷产生电场的矢量和. 3.求电场的基点 寸,也远小于问题所涉及线度 (1)点电荷激发的电场; 面电荷密度 σ=dq/dS (2)电场叠加原理. E = S rσdS/(4πε0r3)
2 1 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
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讨论 1.中垂线上 1+2=π Ex=0 sin2=sin1 cos1=–cos2=(l/2)/(a2+l2/4)1/2 Ey=λcos1/(2πε0a) =(q/l)[(l/2)/(a2+l2/4)1/2]/(2πε0a) =q/[4πε0a)(a2+l2/4)1/2] (1)当l ≫ a 1=0 Ey=λ/(2πε0a) (2)当 Ey=q/(4πε0a2) 点电荷 (3)当a=0 带电体不再是线电荷 ≪a 2.延长线上 dl r bP x 所有电 O dE 荷元产 l

10-1静电场中的导体Electrostatic field in conductor一、导体的静电平衡1、金属导体的电结构特征：具有大量的自由电子。

2.静电感应：导体在外电场中，其上的电荷重新分布，局部呈带电状态的现象。

3. 静电平衡：自由电子无定向运动，感应电荷稳定 E = E+F F = qE t = -eE导体的静电平衡条件 、严E 1、 导体内部的场强处处为零V （内部电子无运动）。

r2、 导体表面附近紧贴导体外侧处的场强方向垂直 表面（沿表面电子无运动）。

— *■0—Y— *-© Y分布。

导体表面附近的电场 强度的大小与该表面电 荷面密度成正比2）有空腔导体 ＜空腔内无电荷血 ©dd()电荷分布在表面上 问内表面上有电荷吗？ 结论电荷分布在外表面上（内表面无电荷） •导体空腔内包围有电荷 萨肪=（）q 沪_q 当空腔内有电荷时， 内表面因静电感应出现等 值异号的电荷T ，外表面 有感应电荷+?（电荷守恒）2、导体表面电场强度与电荷面密度的关系 帖辰 EdS +II(/、/$+( K ds =—・・•crl, £*1; CT T E T3、孤立导体表面电荷按曲率分布1）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大）电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（曲率较小）带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电＜电风实验＞f "K1+ + 4尖端放电会损耗电能，还会干扰精密测量和对通讯产生危害；然而尖端放电也有很广泛的应用。

V避雷针〉三、静电屏蔽 1、屏蔽外电场2.屏蔽腔内电场接地空腔导体 将使外部空间不 受空腔内的电场 影响高压带电作业电场影响。

这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处 处相等。

例题：点电荷+?处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为乩和心，求电场强度和电势的分布。

解：球壳内表面感应・g ,外表面+? ”二s*0r < : E、・4“ =—£=_^_E4grE,=0/?)< r < R2: E、・4TC r2 =0r>R,i £\・4龙尸=土%例题证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金 属板A 和〃相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相 反，相背的两面上电荷面密度大小相等，符号相同。

[习题解答]11-7 在磁感应强度大小为B = 0.50 T 的匀强磁场中，有一长度为l = 1.5 m 的导体棒垂直于磁场方向放置，如图11-11所示。

如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v 向右运动，则在导体棒中将产生动生电动势。

若棒的运动速率v = 4.0 m ⋅s -1 ，试求：(1)导体棒内的非静电性电场K ；(2)导体棒内的静电场E ；(3)导体棒内的动生电动势ε的大小和方向；(4)导体棒两端的电势差。

解(1)根据动生电动势的表达式,由于()的方向沿棒向上，所以上式的积分可取沿棒向上的方向，也就是d l 的方向取沿棒向上的方向。

于是可得.另外，动生电动势可以用非静电性电场表示为.以上两式联立可解得导体棒内的非静电性电场，为,方向沿棒由下向上。

图11-11(2)在不形成电流的情况下，导体棒内的静电场与非静电性电场相平衡，即,所以，E 的方向沿棒由上向下，大小为.(3)上面已经得到,方向沿棒由下向上。

(4)上述导体棒就相当一个外电路不通的电源，所以导体棒两端的电势差就等于棒的动生电动势，即,棒的上端为正，下端为负。

11-8 如图11-12所表示，处于匀强磁场中的导体回路ABCD ，其边AB 可以滑动。

若磁感应强度的大小为B = 0.5 T ，电阻为R = 0.2 Ω，AB 边长为 l = 0.5 m ，AB 边向右平移的速率为v = 4 m ⋅s -1 ，求：(1)作用于AB 边上的外力；(2)外力所消耗的功率；(3)感应电流消耗在电阻R 上的功率。

解(1)当将AB 向右拉动时，AB 中会有电流通过，流向为从B 到A 。

AB 中一旦出现电流，就将受到安培力F 的作用，安培力的方向为由右向左。

所以，要使AB 向右移动，必须对AB施加由左向右图11-12的力的作用，这就是外力F外。

在被拉动时，AB中产生的动生电动势为,电流为.AB所受安培力的大小为,安培力的方向为由右向左。

外力的大小为,外力的方向为由左向右。