数学北师大版九年级下册锐角三角函数及其应用.5三角函数的应用

课题：1.5 三角函数的应用 课型：新授课 年级：九年级 教学目标： 1. 经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用． 2. 能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 3. 发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. 教学重点与难点： 重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 课前准备：多媒体课件．

教学过程: 一、创设情境，导入新课 （多媒体展示）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时．

问题：你能计算出哪艘船先赶到C处吗？ 处理方式：设计当今时政的热点问题，以活动引出课题，激发学生的求知欲． 设计意图：通过联系生活中实际问题导入新课，既可以激发学生的学习兴趣，为本节课

做好情感铺垫，同时也加强了对学生进行爱国主义教育. 二、探究学习，感悟新知 活动内容1：（多媒体出示）

A B C 北 北

59° 44 °

钓鱼岛 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流． 问题1：我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? 问题2：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? 处理方式： 1. 我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下

2. 根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度。我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较．当大于10没有触礁危险，小于10有触礁危险. 3． 过A作BC的垂线，交BC于点D．得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里．得 ADtan55°-ADtan25°＝20， AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=25tan55tan20≈20.79(海里)． 这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险． 设计意图：通过选取了现实生活中的题材：船右触礁的危险吗，达到本节课的知识目标

和能力目标．让学生体会数学与身边事件的关系，彰显数学的实际作用．同时培养学生寻找方法解决问题的能力．让学生形成严密的思维，培养思维的多样性． 活动内容2：（多媒体出示） 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.

问题1：什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?如何规定的? 问题2：同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)． 处理方式： 1. 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指 ∠DAC，60°的仰角指∠DBC. 2. 首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°=ACCD， 即AC＝30tanCD在Rt△BDC中，tan60°=BCCD, 即BC＝60tanCD，又∵AB=AC-BC＝50 m，得

30tanCD-60tanCD=50.

解得CD≈43(m)， 即塔CD的高度约为43 m. 活动内容3：（多媒体出示） 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m， 问题：调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m) 处理方式： 1.请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)．

2. 解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝ACAB，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地 长BC＝4cos40°m. 调整后,在Rt△ADB中，sin35°＝ADAB，则AD＝35sin40sin435sinABm.楼梯占地长 DB=35tan40sin4m. ∴调整后楼梯加长AD-AC＝35sin40sin4-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝DB-BC=35tan40sin4 -4cos40°≈0.61(m). 设计意图：在此过程中，给学生充分的时间观察、交流、画图、比较，从自己动手操作过程中得出方法，能让学生产生自豪感及满足感，培养学生的自信心及逻辑推理能力，既突出了重点，又达成了目标． 三、例题解析，应用新知 活动内容1：解决例题 通过对以上问题的探索、归纳，你能用它解决一些简单的问题吗？ （多媒体出示例1） 例1：一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 分析： （1）本例是解直角三角形的应用-方向角问题； （2） 过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解

Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间． 解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里， ∴CD=AC=40海里． 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°， ∴BC=≈=50（海里），

∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=45（小时）． 处理方式：让学生自己尝试完成，针对学习有困难的学生进行个别指导．可以由两名学生板演，其余学生练习本上完成，然后借助多媒体展示矫正、规范理解． 设计意图：这里教师把生活中的实际问题作为学生数学学习的素材，引导学生主动的观

察、猜测、推理、合作与交流，使学生有机会在对教科书内容的处理过程中获得发展，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.进一步加深学生对定理的理解． 活动内容2：巩固训练 （多媒体出示练习题） 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到

C0.1m）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732） 处理方式：引导学生分析问题，建立直角三角形模型，让学生自己尝试完成，针对学习有困难的学生进行个别指导，并借助多媒体展示矫正、规范理解． 设计意图：通过实际问题的解决，学生自觉地认识现实中的解直角三角形模型，在有趣

的问题情境中感知数学与生活的紧密联系，让学生巩固课堂上所学的知识，学生基本都能运用所学的知识解决实际问题，收到了较好的教学效果． 四、回顾反思，提炼升华 活动内容：同学们，“学而不思则罔，思而不学则怠”，通过这节课的学习，有何感想，你有什么收获，学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． 处理方式：学生畅谈自己的收获！先让学生总结一遍，教师再补充.由学生来总结本节课所学的知识，体现了学生是学习的主人． 设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总

结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识． 五、达标检测，反馈提高 师：通过本节课的学习，相信聪明的你们收获颇多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示） A组： 1. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路a的距离，在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=50m，则小岛B到公路a的距离为（ ）

A.25m B.325m C.m33100 D.(32525)m．

C B

A a 2. 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成450夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为 . (结果保留根号.)

3. （2014•南通）如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

B组： 4．（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上． （1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）