三角函数专题辅导课程安排专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时 学习目标：1. 掌握常用公式的变换。
2. 明确一般三角函数化简求值的思路。
第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。
其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。
本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。
它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。
正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。
正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。
它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。
余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。
余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。
正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。
正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。
正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。
三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。
专题五三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD 2OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=( )A.11−3√32B.11−4√32C.9−3√32D.9−4√32答案 B 连接OC,如图.∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=√3,CD=2-√3,∴s=2+(2−√3)22=11−4√32,故选B.2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB 的面积与弓形的面积之和. 作PD ⊥AB 于D 点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O 为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以S △PAB =12·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S 弓形=S 扇形OAB -S △OAB =12·2β·22-12·4sin β·2cos β=4β-4sin β· cos β.故阴影部分的面积为S △PAB +S 弓形=4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(−4)+3=-45.故选D.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角,∴cos α=√1−sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1−sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 9.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25B.-15C.15D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 10.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= . 答案13 解析 本题考查三角函数的诱导公式.由角α与角β的终边关于y 轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,∵sin α=13,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=13.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√16+y ,又sin θ=-2√55,∴√16+y =-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√16+y 2=-2√55是本题求解的关键.12.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.13.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)−π4]=12−11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。
第4讲：三角函数的图象一、5年考题导向 二、知识要点梳理1. 正弦、余弦、正切函数的图象 ① 图象特征 ② “五点法”：x y sin =的图象在一个周期内有：3个平衡点；1个峰点；1个谷点 .x y cos =的图象在一个周期内有：2个平衡点；2个峰点；1个谷点 .问：B x A y ++=)sin(ϕω的图象在一个周期内有哪5点？B x A y ++=)cos(ϕω的图象在一个周期内有哪5点？③ 基本性质：三、典型例题剖析例1. 已知函数2cos 2sin 3xx y +=（R x ∈）.（1）用“五点法”画出它的图象； （2）求它的振幅、周期及初相；（3）说明该函数图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？ 例2. 解下列各题： （1）已知函数xxx f 2tan 1tan 2)(-=，画出其图象并求它的最小正周期.（2）求函数x x y 66cos sin +=的定义域、值域、奇偶性、单调区间及最小正周期 .（3） 若方程a x x =+cos sin 3在]2,0[π上有两个不同的实数根，求a 的取值范围.例3. 已知函数 21)4sin()4sin(3)4(sin )(2--⋅+++=x x x x f πππ（1）写出)(x f 的最小正周期 ；（2）求)(x f 的最大值及相应的x 的值的集合 ；（3）函数)(x f 的图象是否存在对称中心，若存在，写出其中的一个（不必证明）；若不存在，请说明理由 .例4. 已知一条正弦函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0>>ωA ）的图象如图所示. （1） 求出函数的解析式)(x f（2） 求与)(x f 的图像关于8=x 对称的函数的解析式)(x g ；（3） 求)()(x g x f y +=的最值 .6. 已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω、πϕ≤≤0）是R 上的偶函数，其图像关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值 .例2. 已知函数)sin(ϕω+=x A y ，R x ∈（其中0,0>>ωA ）的图象在y 轴右侧的第一个最高点（函数取极大值的点）为)22,2(M ，与x 轴在原点右侧的第一个交点为)0,6(N ，求这个函数的解析式.由图象求函数)(x f 的解析式的专题训练：1. [06四川6] 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（A ）sin()6y x π=+ （B ）sin(2)6y x π=-（C ）cos(4)3y x π=-（D ）cos(2)6y x π=-2.[07宁夏3] 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣，的简图是（ ）xＡ．Ｂ．xy3.[08山东3] 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ） 4.[08江西10] 函数y =tan x +sin x -|tan x -sin x |在区间（3,22ππ）内的图象大致是5.[06安徽9] 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-xxA ．B ．C ．D ．C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-四、高考真题体验：一、三角函数的性质：1.[06天津5] 设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2.[06安徽8] 对于函数()sin 1(0)sin x f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值3.[07天津9] 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数4.[08全Ⅰ卷6] 2(sin cos )1y x x =--是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数5.[08广东5] 已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，R x ∈,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6.[06全1卷6] 函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为 ；7.[06福建16] 已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿。
