2015年漳州一中、龙海一中、漳浦一中自主招生考试-数-学-试-卷

2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确选项的序号填写在答题卷相应的表格内）1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，则∁U A=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2}C．{4}D．{1，2，4}2．（5.00分）sin45°cos15°﹣cos45°sin165°的值为（）A．B．﹣C．﹣ D．3．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）4．（5.00分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或25．（5.00分）若sin（）=，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．C．D．﹣6．（5.00分）下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（）A．y= B．y=log2x C．y=2x D．y=7．（5.00分）设a=log2m，b=log5m，且+=1则m=（）A．10 B． C．20 D．1008．（5.00分）已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．9．（5.00分）函数f（x）=mx2﹣2x+1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m＜0或m=1 D．m≤0或m=110．（5.00分）若函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示，则有（）A．ω=1， B．ω=1，C．，D．，11．（5.00分）已知为f（x）奇函数，在[3，6]上是增函数，[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）等于（）A．﹣15 B．﹣13 C．﹣5 D．512．（5.00分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin1）＞f（cos1）C．f（cos）＜f（sin）D．f（cos2）＞f（sin2）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）满足2x＞4的x的取值范围是．14．（4.00分）若＜，＞=，||=||=1，则•=．15．（4.00分）若tanα=2，则tan2α=．16．（4.00分）若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f （x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=x．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，B={x|x﹣2＜0}．求A∪B，A ∩B，B∩（∁A）．∪18．（12.00分）已知向量=（1，﹣1），=（1，k）．（1）若⊥，求实数k的值；（2）若＜，＞=，求实数k的值．19．（12.00分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=1，求的值．20．（12.00分）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每家庭月用电量不超过100度时，按每度0.57元计算；当每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）若某家庭一月份用电120度，问应交电费多少元？（3）若某家庭第一季度缴纳电费情况如下表：月份1月2月3月合计交费金额（元）766345.6184.6问这个家庭第一季度共用多少度电？21．（12.00分）已知=（，cos2x），=（sin2x，）函数f（x）=•+．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？22．（14.00分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确选项的序号填写在答题卷相应的表格内）1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，则∁U A=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2}C．{4}D．{1，2，4}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4}，故选：C．2．（5.00分）sin45°cos15°﹣cos45°sin165°的值为（）A．B．﹣C．﹣ D．【解答】解：sin45°cos15°﹣cos45°sin165°=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=．故选：A．3．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，∴x﹣3＞0，解得x＞3；∴f（x）的定义域是（3，+∞）．故选：D．4．（5.00分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2【解答】解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选：B．5．（5.00分）若sin（）=，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣α）=sin[﹣（﹣α）]=sin（）=．故选：B．6．（5.00分）下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（）A．y= B．y=log2x C．y=2x D．y=【解答】解：函数y=log2x，y=2x，在区间（0，1）上是增函数，只有在区间（0，1）上是减函数．故选：A．7．（5.00分）设a=log2m，b=log5m，且+=1则m=（）A．10 B． C．20 D．100【解答】解：∵a=log2m，b=log5m，+=1+=log m2+log m5=log m10=1，∴m=10．故选：A．8．（5.00分）已知||=1，=（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：∵||=1，=（0，2），且•=1，∴===．∴向量与夹角的大小为．故选：C．9．（5.00分）函数f（x）=mx2﹣2x+1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m＜0或m=1 D．m≤0或m=1【解答】解：若m=0，则函数f（x）=﹣2x+1=0，解得x=满足条件．若m≠0，∵f（0）=1＞0，∴若m＜0，则满足条件．若m＞0，则函数的零点必在y轴的一侧，则此时满足判别式△=4﹣4m=0且﹣=，解得m=1，综上m≤0或m=1，故选：D．10．（5.00分）若函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示，则有（）A．ω=1， B．ω=1，C．，D．，【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图，所以T==4π，所以ω==．函数经过（），即0=sin[+ϕ]因为，所以ϕ=，故选：C．11．（5.00分）已知为f（x）奇函数，在[3，6]上是增函数，[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）等于（）A．﹣15 B．﹣13 C．﹣5 D．5【解答】解：根据已知条件知，f（6）=8，f（3）=﹣1，f（﹣6）=﹣8，f（﹣3）=1；∴2f（﹣6）+f（﹣3）=﹣16+1=﹣15；故选：A．12．（5.00分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin1）＞f（cos1）C．f（cos）＜f（sin）D．f（cos2）＞f（sin2）【解答】解：由f（x）=f（x+2）知T=2，又∵x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，可知当3≤x≤4时，f（x）=﹣2+x．当4＜x≤5时，f（x）=6﹣x．其图如下，故在（﹣1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．又由|cos2|＜|sin2|，∴f（cos2）＞f（sin2）．故选：D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）满足2x＞4的x的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：由2x＞4得2x＞22，解得x＞2，故答案为：（2，+∞）14．（4.00分）若＜，＞=，||=||=1，则•=．【解答】解：∵＜，＞=，||=||=1，∴•=||×||×cos＜，＞=1×1×cos=．故答案为：．15．（4.00分）若tanα=2，则tan2α=﹣．【解答】解：因为tanα=2所以tan2α===﹣故答案为：﹣16．（4.00分）若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f （x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=x．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④．【解答】解：①f（x）=，D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=是“1的饱和函数”，则存在非零实数x0，使得=，即x02+x0+1=0，因为此方程无实数解，所以函数f（x）=不是“1的饱和函数”．②f（x）=2x，D=R，则存在实数x0，使得=+2解得x0=1，因为此方程有实数解，所以函数f（x）=2x是“1的饱和函数”．③f（x）=lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3即2x2﹣2x+3=0，∵△=4﹣24=﹣20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）不是“1的饱和函数”．④f（x）=x，存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1），即f（x）=x是“1的饱和函数”．故答案为：②④．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，B={x|x﹣2＜0}．求A∪B，A A）．∩B，B∩（∁∪【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x﹣2＜0}，∴C U A={x|x＞1}，B={x|x＜2}…（3分）∴A∪B={x|x＜2}，…（6分）A∩B={x|x≤1}，…（9分）B∩（C∪A）={x|1＜x＜2}…（12分）18．（12.00分）已知向量=（1，﹣1），=（1，k）．（1）若⊥，求实数k的值；（2）若＜，＞=，求实数k的值．【解答】解：（1）∵向量=（1，﹣1），=（1，k），⊥，∴•=1×1+（﹣1）k=0，∴k=1；（2）∵＜，＞=，cos＜，＞=cos=，∴，即k2﹣4k+1=0（k＜1），解得．19．（12.00分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=1，求的值．【解答】（本题满分12分）解：（1）…（4分）即f（α）=t anα…（5分）（2）由（1）可得：f（α）=tanα…（6分）又∵f（α）=1∴tanα=1…（7分）∴…（11分）即…（12分）20．（12.00分）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每家庭月用电量不超过100度时，按每度0.57元计算；当每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）若某家庭一月份用电120度，问应交电费多少元？（3）若某家庭第一季度缴纳电费情况如下表：月份1月2月3月合计交费金额（元）766345.6184.6问这个家庭第一季度共用多少度电？【解答】解：（1）由题意得，当0≤x≤100时，y=0.57x；当x＞100时，y=100×0.57+（x﹣100）×0.5=0.5x+7；则y关于于x的函数关系式y=；（2）由x=120代入y=0.5x+7，可得y=67元；（3）1月用电：由0.5x+7=76，可得x=138；2月用电：由0.5x+7=63，可得x=112；3月用电：由0.57x=45.6，可得x=80，∴第一季度共用138+112+80=330度．21．（12.00分）已知=（，cos2x），=（sin2x，）函数f（x）=•+．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【解答】（本题满分12分）解：（1）∵=（，cos2x），=（sin2x，）∴f（x）=•+=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+…（2分）∴f（x）的最小正周期．…（4分）依题意得，即．∴f（x）的单调增区间为．…（7分）（2）先把y=sin2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象．…（12分）22．（14.00分）设f（x）=log2﹣x为奇函数，a为常数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m取值范围．【解答】解：（1）由条件得：f（﹣x）+f（x）=0，∴，化简得（a2﹣1）x2=0，因此a2﹣1=0，a=±1，当a=1时，，不符合题意，因此a=﹣1．…（4分）（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；证明如下：设1＜x1＜x2＜+∞，，∵1＜x1＜x2＜+∞，∴x2﹣x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0，∵（x1+1）（x2﹣1）﹣（x1﹣1）（x2+1）=x1x2﹣x1+x2﹣1﹣x1x2﹣x1+x2+1=2（x2﹣x1）＞0，又∵（x1+1）（x2﹣1）＞0，（x1﹣1）（x2+1）＞0，∴，，又x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；（也可以利用导数证明，对照给分）…（9分）（3）不等式为m＜f（x）﹣2x恒成立，∴m＜[f（x）﹣2x]min∵f（x）在x∈[2，3]上单调递减，2x在x∈[2，3]上单调递增，∴f（x）﹣2x在x∈[2，3]上单调递减，当x=3时取得最小值为﹣10，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴m ∈（﹣∞，﹣10）…（14分）。

2020年漳浦一中高中自主招生考试数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）姓名 准考证号 座位号一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内． 1151的值在 （ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间 2最高气温（℃）25 26 27 28 天 数1123则这组数据的中位数与众数分别是 （ ） A ．27，28 B ．27.5，28 C ．28，27 D ．26.5，273．22(1)(2)x x --= （ ）A ．1-B ．1C ．23x -D ．23x -+4．已知2210,10a a b b +-=+-=，则ab a b ++的值为 （ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．关于x 的不等式20x k -≤的正整数解是1、2，则k 的取值范围是 （ ）A ．45k ≤<B ．46k ≤<C ．4k ≤D ．4k ≥6．下面是甲商场某品牌电脑的进货单，其中进价一栏被墨迹污染，读了进货单后，请你求出该品牌电脑的进价是 （ ）进价(商品的进货价格)标价(商品的预售价格)5850 折扣8 折 利润(实际销售后的利润)210A ．4890元B ．4680元C ．4512元D ．4470元 7．如图，ABC ∆内接于O ，EF 为O 直径，点F 是弧BC的中点，若30B ∠=︒，70C ∠=°，则AFE ∠的度数等于 （ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30 D ．40︒DCBA8. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑩个图形中菱形的个数为 （ ）A ．81B ．91C ．111D ．1339．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，=2AD ，=3BC ，=3AC ，=4BD ，则梯形ABCD 的面积为 （ ）A ．3B ．6C ．8D ．1210．关于x 的方程2(1)10mx m x -++=，以下四个结论：①m 取任意实数，方程总有两个实数根； ②当0m >时，方程有两个正实根； ③方程不可能有两个负的实数根；④若12,x x 为方程的两实根，则12x x -的最小值是1．其中正确的结论有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：本大题共有8小题，每小题4分，共32分．请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上．11.()0202021132π-⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭．12.已知 (0)345a b c abc ==≠，则34a bc+= ．13.已知二次函数222y x x =-+，当1x a ≤≤时的最大值为2，则a = ．14. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C′处，折痕为EF ，若AB ＝2，BC ＝4，则△ABE 和△BC ′F 的周长之和为 ．15. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是_____． 16.如图，边长为2的正方形的内切圆为⊙O ，⊙1O 与⊙O 外切且与正方形两边相切，则⊙1O 的半径长等于．D C B A17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 与原点O 重合，顶点B 落在x 轴的正半轴上，对角线AC 、BD 交于点M ，点D 、M 恰好都在反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上，则ACBD的值为 ． 18． Rt ABC ∆中，90C ∠=，3AC =，8BC =，M 为ABC ∆内部的一个动点，MBC MCA ∠=∠，则线段MA 的最小值为 ．三、解答题：本大题共有6小题，共78分．其中第19题10分，第20、21、22题各12分，第23、24题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上． 19．（本小题满分10分）已知211()2()30x x xx +-+-=，求1x x +、221x x+的值． 20．（本小题满分12分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=，30B ∠=，点D 在BC 上，8DC =，4cos 5ADC ∠=. (1)求AC 的长；(2)求tan BAD ∠．21. （本小题满分12分）如图①，将漳浦县城南北向的金浦大道与东西向的龙湖路看成两条直线，十字路口记作点A ．甲从金浦大道上点B 出发，以3v 米/分钟的速度骑车向北匀速直行；同时，乙从点A 出发，沿龙湖路以v 米/分钟的速度步行向东匀速直行（不考虑红绿灯对甲乙两人行进的影响）．设出发x 分钟后，甲、乙两人与点A 的距离分别为1y 米、2y 米．已知1y 、2y 与x 之间的函数关系如图②所示． （1）求v 和0x 的值；（2）出发几分钟后两人之间的距离最短？22．（本小题满分12分）如图，ABC ∆中，90BAC ∠=，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，在ABC ∆外有一点F ，使得FA AE ⊥，FC BC ⊥．(1)求证：BE CF =；(2)在AB 上取一点M ，使得2BM DE =，连接ME ，求证：ME BC ⊥．23. （本小题满分16分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB AC =，过A 的直径AG 交BC 于点F ，点D 为AC 上的动点，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ． (1)求证： AD •AE =AF •AG ；(2)过A 点作AH ⊥BD ，垂足为H ， 求证：BH CD DH =+．24．（本小题满分16分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3的图象的对称轴为2x =，经过点A （1，0），交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的顶点为D ，在x 轴上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y 轴的直线翻折得一新的抛物线，E 为新抛物线上的一动点且点E 在直线l ：22y x =-的上方，过E 作x 轴的垂线，交x 轴于G ，交直线l 于点F ，以EF 为直径作圆在直线l 上截得弦FP ，求弦FP 长度的最大值．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n NB ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D.[来 考点：集合运算已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =-- ，则向量BC =（A ）(-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 【答案】A 【解析】考点：向量运算3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ）—2－i （B ） －2+i （C ） 2－i （D ）2+i 【答案】C 【解析】试题分析：∴(Z －1）i =1+ i ，∴z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.考点：复数运算4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）120【答案】C 【解析】 试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选 C.[来源:学*科*网Z*X*X*K]考点：古典概型5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B 【解析】考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛（A ）14斛 （B ）【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式7、已知{a n } 是公差为1的等差数列，Sn 为{a n } 的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（ ）（A ） 172 （B ）192 （C ）10 （D ）12【答案】B 【解析】试题分析：∵公差，d=1,S8=4S4，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯， 解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=， 故选B.考点：等差数列通项公式及前n 项和公式8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Zππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Zππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z-+∈（D ）13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）10（D）12【答案】C【解析】考点：程序框图10、已知函数1222,1()log(1),1x xf xx x-⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a=-，则(6)f a-=（A）74-（B）54-（C）34-（D）14-【答案】A 【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A.考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【答案】B 【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16+ 20π，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 【答案】C【解析】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a=--+，即2()log ()f x x a=--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.考点：函数对称；对数的定义与运算二、填空题：本大题共4小题,每小题5分[来源:学|科|网Z|X|X|K] 13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6 【解析】 试题分析：∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n=，∴n=6.考点：等比数列定义与前n 项和公式 14. 已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+， 又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法16. 已知F是双曲线22:18yC x-=的右焦点，P是C 左支上一点，()0,66A，当APF∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126[来源:学科网]【解析】考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c分别是ABC∆内角,,A B C的对边，2sin2sin sinB A C=. （I）若a b=，求cos;B（II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积.试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a cb +=. 故222a c ac +=，得2c a ==. 所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I ）见解析（II ）3+25 【解析】试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ， 因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED. 又AC Ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x ,GB=GD=2x .因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=32x .由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=22x. 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BEx -=醋?=.故x =2从而可得AE=EC=ED=6.所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x yw21()nii x x =-∑21()nii w w =-∑1()()n iii x x y y =--∑1()()ni ii w w y y =--∑46.6 56.36.8289.8 1.6 1469 108.8表中w1 =x 1, ，w =181nii w=∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-【答案】（Ⅰ）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）100.668y x =+（Ⅲ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x =，先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y 关于xy的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年的回归方程先求出年销售量利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN.【答案】（I ）4747,33骣-+琪琪桫（II ）2【解析】试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点，所以2|231|11k k-+<+.解得474733k -+<<. 所以k 的取值范围是4747,33骣-+琪琪桫.（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++()()21212121224(1)OM ONy 1181k k x x y k x x k x x k +?+=++++=++,由题设可得24(1)8=121k k k +++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+.故圆心在直线l 上，所以|MN |2=.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x=-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a ≥+.【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a +，即证明了所证不等式.试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x ¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，ax -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04ab <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .由于0202=0x a e x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a ++?.[来源:Z_xx_]故当0a >时，2()2lnf x a a a ?.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E.（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是 O 切线； （II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由3OA CE =得，AB=23，设AE=x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=23，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE = ，∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB=60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12 【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4s i n40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯⨯⨯=12.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x ax a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。

福建省漳州市漳浦县道周中学2014-2015学年高一上学期第二次调研数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）设集合M={1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）3．（5分）已知α是第二象限角，=（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=﹣x D．y=tanx5．（5分）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．6．（5分）函数的值域是（）A．{﹣1，0，1，3} B．{﹣1，0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，1}7．（5分）函数f（x）=log2x﹣的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（5分）已知幂函数f（x）=x a，当x＞1时，恒有f（x）＜x，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜09．（5分）如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（）x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型10．（5分）已知函数f（x）满足：（1）对于任意的x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；（2）满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，下列函数满足这些条件的函数是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=x C．f（x）=a x（0＜a＜1） D．f（x）=a x（a＞1）11．（5分）已知0＜a＜1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈与函数y=x2，x∈即为“同族函数”，请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y=|x﹣2| B．y=x C．y=2x D．y=log二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷上）13．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））=．14．（4分）+（）﹣π0+log2=．15．（4分）函数f（x）=sinx﹣lgx的零点的个数是．16．（4分）对于函数f（x）：如果对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有，那么称函数f（x）是（0，+∞）上的凹函数．现有函数：（1）f（x）=x2；（2）f（x）=2x+1；（3）f（x）=log2（x+1），以上哪些函数在（0，+∞）上是凹函数，请写出相应的序号．三、解答题：（本大题共6题，满分74分）17．（12分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．18．（12分）（1）已知cos（﹣α）=，求cos（+α）﹣sin2（α﹣）的值．（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．求tanα，tanβ的值．19．（12分）已知函数f（x）=2sinx，（x∈R）（Ⅰ）用“五点作图法”画出函数f（x）=2sinx，x∈的图象；（Ⅱ）求函数y=log2（2sinx）在x∈时的值域．20．（12分）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中：①y=ax2+bx；②y=kx+b；③y=log a x+b；④y=a x+b（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？21．（12分）设函数，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．22．（14分）已知函数y=f（x）是函数y=log2x的反函数，（Ⅰ）求y=f（x）的解析式．（Ⅱ）若x∈（0，+∞），试分别写出使不等式（ⅰ）log2x＜2x＜x2（ⅱ）log2x＜x2＜2x成立自变量x的取值范围（Ⅲ）求不等式log a（x﹣3）＞log a（5﹣x）的解集．福建省漳州市漳浦县道周中学2014-2015学年高一上学期第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）设集合M={1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由M与N，求出两集合的交集确定出P，找出P的子集个数即可．解答：解：∵M={1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}，则P的子集共有22=4个．故选B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：2＜x＜3，或x＞3所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．故选C．点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．3．（5分）已知α是第二象限角，=（）A．B．C．D．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．解答：解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选A点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=﹣x D．y=tanx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的奇偶性，再考查函数在（0，+∞）上单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=x2是偶函数，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故满足条件．由于函数y=﹣x是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=tanx是奇函数，故不满足条件．故选B．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．5．（5分）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．（5分）函数的值域是（）A．{﹣1，0，1，3} B．{﹣1，0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，1}考点：三角函数值的符号；函数的值域．专题：计算题．分析：三角函数的符号规律：第一象限角的正弦、余弦和正切的符号均为正；第二象限正弦的符号为正，余弦和正切符号为负；第三象限正切的符号为正，正弦和余弦符号为负；第四象限余弦的符号为正，正弦和正切的符号为负．依此规律，对x所在的象限进行讨论，可得所求函数的值域．解答：解：根据函数的表达式，可得x的终边不能落在坐标轴上，因此进行以下分类：①当x为第一象限角时，sinx＞0，cosx＞0，tanx＞0，∴=1+1+1=3②当x为第二象限角时，sinx＞0，cosx＜0，tanx＜0，∴=1﹣1﹣1=﹣1；③当x为第三象限角时，sinx＜0，cosx＜0，tanx＞0，∴=﹣1﹣1+1=﹣1；④当x为第四象限角时，sinx＜0，cosx＞0，tanx＜0，∴=﹣1+1﹣1=﹣1．综上所述，y=3或﹣1，函数的值域为{3，﹣1}故选C点评：本题给出一个特殊的三角函数运算的表达式，通过求这个函数的值域，着重考查了各三角函数在四个象限角的符号规律，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=log2x﹣的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，即可得到结论．解答：解：∵f（1）=﹣1＜0．f（2）=1﹣=∴f（1）•f（2）＜0．根据函数的实根存在定理得到函数的一个零点落在（1，2）上故选B．点评：本题主要考查函数零点的判定定理，解题的关键是计算区间的两个端点的函数值，属于基础题．8．（5分）已知幂函数f（x）=x a，当x＞1时，恒有f（x）＜x，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：x＞1时，f（x）＜x恒成立转化为x a﹣1＜x0恒成立，借助指数函数单调性可求a的取值范围．解答：解：当x＞1时，f（x）＜x恒成立，即x a﹣1＜1=x0恒成立，因为x＞1，所以a﹣1＜0，解得a＜1，故选B．点评：本题考查幂函数的性质，考查函数恒成立问题，考查转化思想，解决本题关键是把不等式进行合理转化，利用指数函数性质解决．9．（5分）如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型（）x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型考点：根据实际问题选择函数类型．专题：压轴题；图表型．分析：利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，可以确定该函数模型是一次函数模型．解答：解：随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A．点评：本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律．从而确定出该函数的类型．10．（5分）已知函数f（x）满足：（1）对于任意的x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；（2）满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，下列函数满足这些条件的函数是（）A．f（x）=lnx B．f（x）=x C．f（x）=a x（0＜a＜1） D．f（x）=a x（a＞1）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得到函数f（x）在R上为减函数，故排除A，B，D，再进一步验证c是否成立，利用指数幂的性质即可得到C满足条件．解答：解：对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，∴函数f（x）在R上为减函数，故排除A，B，D∵对于任意的x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；对于C，f（x）=a x，f（x1+x2）=a（x1+x2）=a x1•a x2=f（x1）•f（x2），成立，故选：C点评：本题考查了函数的单调性和指数函数的性质，属于基础题11．（5分）已知0＜a＜1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：函数y=a x与y=log a x互为反函数，其图象关于直线y=x对称；y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，由于0＜a＜1，根据函数的单调性即可得出．解答：解：函数y=a x与y=log a x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得出．故选：D．点评：本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题．12．（5分）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2，x∈与函数y=x2，x∈即为“同族函数”，请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y=|x﹣2| B．y=x C．y=2x D．y=log考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：阅读型；新定义．分析：由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．由此判断各个函数在其定义域上的单调性，即可得到选项A是符合题意的，而B、C、D中的三个函数在其定义域上是单调函数，不符合题意．解答：解：根据题意，“同族函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．函数y=|x﹣2|在（﹣∞，2∴f（f（））=f（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．14．（4分）+（）﹣π0+log2=1．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据指数幂、根式的运算性质化简求值即可．解答：解：+（）﹣π0+log 2=+﹣1﹣1=+﹣2=1，故答案为：1点评：本题主要考查指数幂、根式的运算性质，属于基础题．15．（4分）函数f（x）=sinx﹣lgx的零点的个数是3．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合．分析：在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lgx的图象，利用图象得结论．解答：解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lgx的图象，由图得交点3个故函数f（x）=sinx﹣lgx的零点的个数是3．故答案为3．点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．16．（4分）对于函数f（x）：如果对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有，那么称函数f（x）是（0，+∞）上的凹函数．现有函数：（1）f（x）=x2；（2）f（x）=2x+1；（3）f（x）=log2（x+1），以上哪些函数在（0，+∞）上是凹函数，请写出相应的序号（1）（2）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：对于（1），把代入f（x）=x2，整理后利用基本不等式得到，说明函数f（x）=x2是（0，+∞）上的凹函数；对于（2），把代入f（x）=2x+1，整理后利用基本不等式得到，说明函数f（x）=2x+1是（0，+∞）上的凹函数；对于（3），利用基本不等式结合对数函数的运算性质得到g（x）不是（0，+∞）上的凹函数，然后由函数图象的平移得答案．解答：解：对于（1），f（x）=x2，，而，∴，函数f（x）=x2是（0，+∞）上的凹函数；对于（2），f（x）=2x+1，=，，∴，函数f（x）=2x+1是（0，+∞）上的凹函数；对于（3），f（x）=log2（x+1），令g（x）=log2x，．=．∴g（x）不是（0，+∞）上的凹函数．而f（x）=g（x+1），∴f（x）不是（0，+∞）上的凹函数．∴正确命题的序号是（1）（2）．故答案为：（1）（2）．点评：本题考查了幂函数、指数函数以及对数函数的运算性质，考查了基本不等式的用法，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：（本大题共6题，满分74分）17．（12分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出C R B，进而由集合交集和并集的运算法则，即可求出A∩B，（C R B）∪A；（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．解答：解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}…（1分）B={x|log2x＞1}={x|x＞2}…（1分）A∩B={x|2＜x≤3}…（1分）（C R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（2分）（2）当a≤1时，C=φ，此时C⊆A…（1分）当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…（1分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3，也容易忽略最后要的结果为集合，不能用不等式的形式表达．18．（12分）（1）已知cos（﹣α）=，求cos（+α）﹣sin2（α﹣）的值．（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，以x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．求tanα，tanβ的值．考点：三角函数的化简求值；单位圆与周期性．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由角的关系可知原式=﹣cos（﹣α）﹣1+cos2（﹣α）代入已知即可求值．（2）先求得sinα=，sinβ=，α，β是两个锐角，故有cosα==，cos=，从而可求tanα，tanβ的值．解答：解：（1）∵cos（﹣α）=，∴cos（+α）﹣sin2（α﹣）=cos﹣sin2（﹣α）=﹣cos（﹣α）﹣1+cos2（﹣α）=﹣．（2）∵由已知可得sinα=，sinβ=，α，β是两个锐角∴cosα==，cos=∴tanα=，tanβ=7．点评：本题主要考察了三角函数的化简求值，单位圆与周期性，属于基本知识的考查．19．（12分）已知函数f（x）=2sinx，（x∈R）（Ⅰ）用“五点作图法”画出函数f（x）=2sinx，x∈的图象；（Ⅱ）求函数y=log2（2sinx）在x∈时的值域．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：作图题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据五点做出函数的简图，即可得到结论．（Ⅱ）先求得2sinx∈，从而可得y=log2（2sinx）∈．解答：解：（Ⅰ）列表为x 0 π2πsinx 0 1 0 ﹣1 0 y=2sinx 0 2 0 ﹣2 0 画出图形，如图：（Ⅱ）∵x∈∴2sinx∈∴y=log2（2sinx）∈∴函数y=log2（2sinx）在x∈时的值域是．点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数值域的解法，属于基本知识的考查．20．（12分）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．（1）下列几个模拟函数中：①y=ax2+bx；②y=kx+b；③y=log a x+b；④y=a x+b（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）用①来模拟比较合适．理由是：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数．（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax2+bx，解得a=﹣，b=，所以函数解析式为y=﹣x2+x．（x∈），再用配方法能求出当x=时，年人均A饮料的销售量最多是L．解答：解：（1）用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把x=1，y=2；x=4，y=5代入到y=ax2+bx，得，解得a=﹣，b=，所以函数解析式为y=﹣x2+x．（x∈）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，年人均A饮料的销售量最多是L．点评：考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．21．（12分）设函数，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．考点：函数奇偶性的判断；函数的值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；证明题．分析：（1）∵f（x）的定义域为R，任设x1＜x2，化简f（x1）﹣f（x2）到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．（2）由f（﹣x）=﹣f（x），解出a的值，进而得到函数的解析式：．由2x+1＞1，可得函数的值域．解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则=，∵x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（2）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：a=1．∴．∵2x+1＞1，∴，∴，∴所以f（x）的值域为（﹣1，1）．点评：本题考查证明函数的单调性的方法、步骤，利用奇函数的定义求待定系数的值，及求函数的值域．22．（14分）已知函数y=f（x）是函数y=log2x的反函数，（Ⅰ）求y=f（x）的解析式．（Ⅱ）若x∈（0，+∞），试分别写出使不等式（ⅰ）log2x＜2x＜x2（ⅱ）log2x＜x2＜2x成立自变量x的取值范围（Ⅲ）求不等式log a（x﹣3）＞log a（5﹣x）的解集．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据指数对数函数的关系判断，（Ⅱ）画出图象y=2x，y=x2，y=log2x，判断log2x＜2x＜x2，log2x＜x2＜2x，解集．（Ⅲ）分类当a＞1时，当0＜a＜1时，，解得即可．解答：解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）是函数y=log2x的反函数，∴f（x）=2x，（Ⅱ）y=2x，y=x2，y=log2x，可得：22=4，24=42=16，（i）∵log2x＜2x＜x2∴2＜x＜4，解集为：（2，4）（ii）∵log2x＜x2＜2x，∴0＜x＜2，或x＞4，解集为：（0，2）∪（4，+∞）（Ⅲ）∵log a（x﹣3）＞log a（5﹣x）∴当a＞1时，解得；4＜x＜5，∴当a＞1时，解集为（4，5）∵当0＜a＜1时，，解得；3＜x＜4，∴当0＜a＜1时，解集为（3，4）点评：本题考查了函数的性质图象，不等式的求解，分类讨论，属于中档题．。