九年级数学上册 22.1.7 用待定系数法求二次函数解析式教学设计 (新版)新人教版

为交点的横坐标）因此得
y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式，得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的解析式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y 2 1
-4 -3 -2 -1-O1 1 2 x -2 -3 -4 -5
归纳总结
★交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做 交点法.其步骤是： ①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1、x2代入，得到关于a的一元一次 方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数解析式.
归纳总结
想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x 轴，但不可以平行y轴）.
y
5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1-O1 1 2 x
随堂即练
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其解析式是
y=-2(x-1)2+6
.
顶点坐标是（1，6）
随堂即练
3.综合题：如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过
2
A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.(难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个 点的坐标求出它的解析式？

待定系数法求二次函数解析式一、学习目标通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法； 能根据条件恰当地选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化； 在学习过程中体会学习数学知识的价值，提高学习数学知识的兴趣．二、知识回顾 1．将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 用配方法化成y ＝a (x -h )2＋k 的形式，并求出顶点(h ，k )．配方：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋2b a )2＋244ac b a-，对称轴是x ＝2b a -，顶点坐标是(2b a -，244ac b a -)，h ＝2b a -，k =244ac b a-.我们把y ＝a (x -h )2＋k 叫做二次函数的顶点式．2．一次函数y =bx +c 的图象过点（1，0），（0，3），求函数解析式．解：分别将点（1,0），（0,3）代入一次函数解析式，得03b c c +=⎧⎨=⎩，解得33b c =-⎧⎨=⎩， 将b =-3，c =3代入，得一次函数解析式为y =-3x +3．三、新知讲解 1．二次函数的三种常用形式一般式：()20y ax bx c a =++≠；顶点式：()()20y a x h ka =-+≠；交点式：()()()120y a x x x x a =--≠．2．求二次函数解析式的一般方法已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式()20y ax bx ca =++≠；已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式()()20y a x h k a =-+≠；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2，通常选择交点式()()()120y a x x x x a =--≠．3．待定系数法求二次函数解析式的一般步骤用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在此抛物线上．3．已知自变量和函数的对应值表求二次函数解析式【例3】（2014秋•房山区校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x …0 1 2 3 4 5 …y … 3 0 ﹣1 0 m 8 …（1）可求得m的值为；（2）求出这个二次函数的解析式．总结：1．知道表格给出的自变量x和函数值y的对应数值，也就知道了二次函数的图象经过的点的坐标，可以在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式.2．如果通过表格中对应数值可以看出抛物线的对称轴或顶点坐标，则可以设顶点式，求出抛物线的解析式．3．如果通过表格中对应数值可以看出抛物线与x轴的交点坐标，则可以设交点式，求出抛物线的解析式.练3．（2015•泰安模拟）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27五、课后小测一、选择题1．（2014秋•永川区校级月考）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣12（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=12（x﹣2）2﹣12．（2013•慈溪市模拟）二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（）A．y=2x2﹣4x B．y=﹣x（x﹣2） C．y=﹣（x﹣1）2+2 D．y=﹣2x2+4x3．（2008•庆阳）若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x ﹣1 0 1ax2 1ax2+bx+c8 3A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8二、填空题4．（2015•河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为．5．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式．三、解答题6．已知抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求抛物线的解析式.7．（2015•宝山区一模）已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6），求这个抛物线的表达式以及该抛物线的顶点坐标．8．（2013•浦东新区一模）已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，顶点为A．求：（1）抛物线的表达式；（2）顶点A的坐标．9．（2013•长沙校级模拟）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．（4）根据图象直接回答：当x取何值时，y＞0．典例探究答案：【例1】分析：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，再解方程组即可．解答：解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得93034a b cca b c++=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得123abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．点评：考查用待定系数法求二次函数的解析式，已知三个点的坐标用一般式求解．练1．分析：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）将（﹣2，﹣40）的横坐标﹣2代入（1）中求得的解析式，求得函数值，即可判定．解答：解：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入抛物线，得22=88=42a b cca b c--+⎧⎪-=⎨⎪++⎩，解得2128abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以，抛物线解析式：y=﹣2x2+12x﹣8．（2）当x=﹣2代入抛物线解析式，y=﹣40所以点（﹣2，﹣40）在抛物线上．点评：本题涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征．运用方程思想是解题的关键．【例2】分析：直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．解答：解：（1）设函数解析式为y=a（x﹣h）2+k，把顶点（-1，2）和点（1，﹣3）代入解析式，得a=﹣54，所以抛物线的解析式为25(1)24y x=-++；（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x=﹣1．点评：主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常用二次函数的顶点式来求解析式．练2．分析：（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（0，32）代入求出a的值，即可确定出解析式；（2）把点M（m，﹣m2）代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．解答：（1）解：∵抛物线顶点坐标（﹣1，2），∴设抛物线解析式为y=a（x+1）2+2，∵抛物线经过点（0，32）．∴a（0+1）2+2=32，解得：a=﹣12．则该抛物线解析式为y=﹣12（x+1）2+2；（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，则﹣m2=﹣12（m+1）2+2，得m2﹣2m+3=0，方程的判别式：4﹣12=﹣8＜0，该方程无实根，所以，对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式和图象上的点与解析式的关系，根据判别式△的值得出点是否在函数图象上，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【例3】分析：把表中的三个点（0，3），（1，0），（2，﹣1）代入函数的解析式，得到关于a，b，c 的方程组，即可求得解析式，把x=4代入即可求得m的值．解答：解：（1）根据题意得3421 ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得：143abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩．则函数的解析式是：y=x2﹣4x+3. （2）当x=4时，m=16﹣16+3=3．点评：本题考查了运用一般式求函数的解析式．练3．分析：由表可知，抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．解答：解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵当x=﹣4或﹣2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=﹣3，k=5，∴y=a（x+3）2+5，把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，当x=1时，y=﹣27．故选D．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），是本题的关键．课后小测答案：一、选择题1．解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）分别代入得a=1，所以y=（x﹣1）2﹣1．故选C．2．解：根据图象得：抛物线的顶点坐标为（1，2），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2，将（2，0）代入解析式得：0=a+2，解得：a=﹣2，则抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x．故选D．3．解：将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1．将（﹣1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：1+83b c c -=⎧⎨=⎩， 解得43b c =-⎧⎨=⎩；∴函数解析式是：y =x 2﹣4x +3． 故选A ． 二、填空题4．解：由图象可知，抛物线对称轴是直线x =1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（﹣1，0） 设解析式为y =ax 2+bx +c ，1230b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩， 解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．故答案为：y =﹣x 2+2x +3． 5．解：图象顶点坐标为（2，1） 可以设函数解析式是y =a （x ﹣2）2+1又∵形状与抛物线y =﹣2x 2相同即二次项系数绝对值相同 则|a |=2因而解析式是：y =﹣2（x ﹣2）2+1或y =2（x ﹣2）2+1， 故这个函数解析式y =﹣2（x ﹣2）2+1或y =2（x ﹣2）2+1． 三、解答题6．解：设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，根据题意得2+1935c a b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线解析式为y =x 2﹣2x +2. 7．解：设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c ，把点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6）代入得+061646 a b cca b c+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得286abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，所以顶点的坐标为（2，﹣2）．8．解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c9+303b cc-+=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+3+1=﹣（x﹣1）2+4，所以顶点A的坐标为（1，4）．9．解：（1）把（4，3）与（3，0）代入得：16+43 9+30b cb c+=⎧⎨+=⎩，解得：b=﹣4，c=3；（2）二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图所示：（4）根据图象得：当x＜1或x＞3时，y＞0．。

y 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-O1 1 2 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
-10 -11 -12 -13 -14 -15 -16
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
y 3 x2 4
.
注意： y=ax2与y=ax2+k、y=a(xh)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只 不过前三者是顶点式的特殊形式.
1 一般式法二次函数的解析式
探究归纳
问题1 ：（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定 系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格 的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式）
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
想一想 直接观察上面表格，你能猜想出当x=-6 时，该二次函数 对应的函数值是多少？
利用二次函数图 象的对称性.由表格信 息可知，抛物线的对 称轴是直线x=-2,横坐 标为2和-6的两点必 定是该抛物线上的一 对对称点，故可知 x=-6与x=2的函数值 必定相等.
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试 求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c，得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3，

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式教学目标【知识与技能】利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.【过程与方法】通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.【情感态度】经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.教学重点待定系数法求二次函数的解析式.教学难点选择恰当的解析式求法.教学目标一、情境导入，初步认识问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？【教学说明】对于问题，教师应与学生一起交流，明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因，进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件.二、思考探究，获取新知在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：（1）顶点在原点，可设为y=ax2;（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k;（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2;（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx;(5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k;（6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c;（7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2).【教学说明】教师在教学时，可由浅入深进行讲解.对每一种情形，可先让学生自主思考探索交流想法后，再共同总结出各情况的设法，学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握.三、典例精析，掌握新知例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式.（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式.（2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）.分析：(1)由已知的两点（1,0），（-5,0）的纵坐标知，这两点是关于对称轴对称的两个点，即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2，9/2），可用交点式和顶点式两种方法求解.(2)已知三点坐标，即直接给出了三组对应关系，可通过设三点式用待定系数法求解.（3）由条件初看起来似显不足，因为只给出经过图象上的两点的坐标，但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式，即有2b a-=-1,244ac ba-=3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式，代入求值得到结果，也可设这个二次函数解析式为y=a（x-h）2+k，其中h，k可直接由顶点坐标得到，即h=-1，k=3，再把（2，5）代入求出a值，可快速获得该二次函数表达式.解：（1）方法一：设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则a(-2-1)(-2+5)=9/2,∴a=-1/2,y=-1/2(x-1)(x+5)=-1/2x 2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2-2x+5/2.方法二：∵图象过（1,0），（-5,0），则对称轴为直线x=-2,设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+9/2,则a(1+2)2+9/2=0,解得a=-1/2.∴y=-1/2(x+2)2+9/2=-1/2x 2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2-2x+5/2.（2）设所求的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0)，由题意，有： 104427a b c a b c a b c -+=++=++⎩=⎧⎪⎨⎪，，， 解这个方程组，得235.a b c =⎧⎪=⎩=-⎪⎨，，故所求二次函数解析式为y=2x 2-3x+5；（3）方法一：设所求的二次函数表达式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），由题意，有：242512434a b c b a ac b a ++=-=--=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，，， 解得：294929.9a b c ⎧⎪⎪==⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，， 故所求二次函数解析式为y=2/9x 2+4/9x+29/9；方法二：设所求的二次函数表达式为y=a （x-h ）2+k(a ≠0)，由题意,有: h=-1，k=3，即y=a （x+1）2+3.把（2，5）代入，得5=a ×9+3.∴a=2/9.故所求二次函数解析式为y=2/9(x+1)2+3，即y=2/9x 2+4/9x+29/9.【教学说明】可让学生先独立思考，求出解析式，并交流结果，让快速完成的同学体验成功的喜悦；对出现的问题，让他们自查并反思，加深印象，在学生完成后，师生共同探索，总结收获.教师给出完整解答，规范学生的答题过程，最后教师引导学生做教材第40页练习.四、运用新知，深化理解1.抛物线y=ax 2+bx-3过点（2,4），则代数式8a+4b+1的值为（ ）A.3B.9C.15D.-152.抛物线y=mx 2-3x+3m-m2过原点，则m=_____,该抛物线的关系式为________.3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；（2）二次函数的图象顶点为（3，-2），且图象与x轴两个交点间的距离为4；（3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1，4）和（5，0）.【教学说明】1、2两题较为简单，可让学生自主完成，第2题注意抛物线解析式中的二次项系数不能为0.解第3题时，应注意关注学生是否能根据不同条件设二次函数的解析式.【答案】1.C 2.3 y=3x2-3x3.（1）y=2x2-x-1;(2)y=1/2(x-3)2-2，即y=1/2x2-3x+5/2.【解析】依题意，可设此二次函数表达式y=a(x-3)2-2，又它的对称轴为x=3，且图象与x轴两交点间距离为4,可知图象与x轴的交点坐标应分别为(1,0)和(5,0),从而可求出二次函数表达式;(3)∵对称轴为直线x=2，且过点（5，0），则必过点（-1，0）.故可设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1).又抛物线过点(1,4),∴4=a(1-5)(1+1),∴a=-1/2.故抛物线的解析式为y=-1/2(x-5)(x+1),即y=-1/2x2+2x+5/2.五、师生互动，课堂小结求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.课后作业1.布置作业：教材习题22.1第8、10、12题.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。