线性代数(同济大学第五版)课后习题答案

1 线性代数教学教案

第三章 向量组及其线性组合

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第三章 第一节 向量组及其线性组合 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 向量组的线性组合、向量组的等价 教学难点 向量由向量组线性表示的判定方法、向量组等价的判定方法

参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题

大纲要求 理解n维向量、向量组、向量组的线性组合、向量组等价的概念以及向量组与矩阵的对应

熟悉向量能由向量组线性表示的判断方法；

熟悉向量组B能由向量组A线性表示的判断方法和两向量组等价的判断方法。

教 学 基 本 内 容

一、 向量的概念及运算：

1. n维向量的定义：由n个数12,,,naaa组成的有序数组称为n维向量. 若n维向量写成

12naaa

的形式，称为n维列向量；若n维向量写成

12,,,naaa

的形式，称为n维行向量. 这n个数称为该向量的n个分量，其中ia称为第i个分量．

常用,,,…来表示n维列向量，而用TTT,,,…来表示n维行向量.

当12,,,naaa是复数时，n维向量称为n维复向量，当12,,,naaa是实数时，n维向量称为n维实向量，本书所讨论的向量都是实向量. 2 分量都是零的向量称为零向量，记为0，即0000=或0,0,,00=.

向量12naaa称为向量12naaa的负向量，记为.

2. 向量的运算：

由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：

设1122,nnababab，k，则有

（1）1122nnababab； （2）12nkakakka；我们称这两种运算为向量的线性运算.

1

第六章 二次型

本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.

§1 二次型及其矩阵

一、二次型及其矩阵

定义1 关于n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数

2222211121),,,(xaxaxxxfnnnnnnnnxxaxxaxxaxa1,1313121122222 (1)

若取jiijaa,则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2于是(1)式可写成

jinjiijnxxaxxxf1,21),,,( (2)

称为n元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.

记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAnxxxx21

则二次型),,,(21nxxxf又表示为AxxxxxfTn),,,(21,其中A为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21nxxxf的矩阵,也把),,,(21nxxxf 叫做对称矩阵A的二次型.

对称矩阵A的秩,叫做二次型AxxxxxfTn),,,(21的秩.

例1 写出二次型

32312123222132184422),,(xxxxxxxxxxxxf的矩阵，并求出二次型的秩.

解 写出二次型所对应的对称矩阵为A,242422221A

因为二次型的秩就是对称矩阵A的秩.

14002202214~6808602212~224242222123321312rrrrrrrrA二次型的秩为3.

§2 化二次型为标准型

一、二次型合同矩阵

二次型),,,(21nxxxf经过可逆的线性变换 2 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 (3)

同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式 精品文档

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第二章方阵的行列式

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第二章 第一节 行列式的定义 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 n阶行列式的定义、几类特殊行列式的值 教学难点 n阶行列式的定义

参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题

大纲要求 理解n阶行列式的定义，熟悉一些特殊行列式的值；

会用对角线法则计算2阶、3阶行列式。

教 学 基 本 内 容

一、行列式的定义：

排列：从1,2,,Ln中任意选取r个不同的数排成一列，称为排列.

全排列： 将1,2,,Ln这n个不同的数排成一列，称为n阶全排列，也简称为全排列.

标准排列：12nL也是n个数的全排列，而且元素是按从小到大的自然顺序排列的，这样的排列称为标准排列.

逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.

排列12niiiL的逆序数记为12niiiL. 标准排列的逆序数为0.

奇排列与偶排列：逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.

n阶行列式：由2n个元素(,1,2,,)ijaijnL排成n行n列的正方形的数表：

111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMOML，

由这个数表所决定的数 精品文档

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称为由2n个元素(,1,2,,)ijaijnL构成的n阶行列式，记为

111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML，

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第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]

3.1本章要点详解

本章要点

■初等变换的概念与性质

■矩阵之间的等价关系

■初等变换与矩阵乘法的关系

■初等变换的应用

■矩阵的秩

■线性方程组的解重难点导学

一、矩阵的初等变换

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1．初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

(1)对调两行（对调i，j两行，记作ri↔r

j）；

(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为ri×k）；

(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记

作r

i＋kr

j）．

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初

等列变换，统称为初等变换．

2．矩阵等价

(1)定义

①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；

②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；

③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．

（2）矩阵之间的等价关系的性质

①反身性A～A；

②对称性若A～B，则B～A；

③传递性若A～B，B～C，则A～C．

（3）矩阵的类型

①两个矩阵

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，

矩阵B

4和B

5都称为行阶梯形矩阵.

行阶梯形矩阵B

5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零

元所在的列的其他元素都为0．

结论：对于任何非零矩阵A

m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行

最简形矩阵．

②标准形

矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．

对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形

此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有