【高考讲义】备战高考数学《理科,四川专用》二轮热点重点难点专题透析讲义 第7专题 高考数学选择题的解

第一部分 专题7 第1讲题型对应题号 1.极坐标与曲线的极坐标方程 2,3 2.参数方程的有关问题 1,5 3.极坐标方程与参数方程的综合应用4,6,7基础热身(建议用时：40分钟)1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2消去t 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2,22s )，则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2(s －2)2＋45，所以当s ＝2时，d 有最小值45＝455.2．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程． 解析 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，ρ＝21－sin θ可化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意，不妨设P (θ0，ρ0)，则Q (θ0＋π，ρ1)， 且ρ0＝3ρ1，即21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6.所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．3．(2019·广东广州调研)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝23cos θ＋2sin θ，直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )，直线l 2：θ＝π3(ρ∈R )．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l 1，l 2的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；(2)若直线l 1与曲线C 交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．解析 (1)依题意，直线l 1的直角坐标方程为y ＝33x ，直线l 2的直角坐标方程为y ＝3x . 由ρ＝23cos θ＋2sin θ得ρ2＝23ρcos θ＋2ρsin θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以(x －3)2＋(y －1)2＝4，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝23cos θ＋2sin θ，所以|OA |＝4.同理，|OB |＝2 3.又∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×4×23×12＝23，即△AOB 的面积为2 3.4．(2019·河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解析 (1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， 所以曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.因为α∈[0，π]，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2，3]．因为点P 到曲线C 1的最小距离为22， 所以若m ＋3＜0，则m ＋3＝－4，即m ＝－4－3； 若m －2＞0，则m －2＝4，即m ＝6；若m －2≤0，m ＋3≥0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去．综上，m ＝－4－3或m ＝6.5．(2019·河北石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－t ，y ＝33＋3t (t 为参数)，若将曲线C 1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍得曲线C 2.(1)写出曲线C 2的参数方程；(2)设点P (－2,33)，直线l 与曲线C 2的两个交点分别为A ，B ，求1|P A |＋1|PB |的值．解析 (1)若将曲线C 1上的点的纵坐标变为原来的32倍，则曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫23y 2＝4，整理得x 42＋y 92＝1， 所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(2)将直线l 的参数方程化为标准形式为⎩⎨⎧x ＝－2－12t ′，y ＝33＋32t ′(t ′为参数)，将参数方程代入x 42＋y92＝1得⎝⎛⎭⎫－2－12t ′24＋⎝⎛⎭⎫33＋32t ′29＝1，整理得74(t ′)2＋18t ′＋36＝0，设点A 对应的参数为t ′1，点B 对应的参数为t ′2，则t ′1＋t ′2＝－727，t ′1t ′2＝1447，所以t ′1与t ′2都小于0，所以|P A |＋|PB |＝|t ′1＋t ′2|＝727，|P A ||PB |＝t ′1t ′2＝1447，所以1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A ||PB |＝7271447＝12.能力提升(建议用时：25分钟)6．(2019·湖南岳阳模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1－t sin α(t 为参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θcos 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若|AB |≥16，求角α的取值范围．解析 (1)因为ρ＝4sin θcos 2θ，所以ρcos 2θ＝4sin θ，所以ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，即x 2＝4y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 中得t 2cos 2α＝4(1－t sin α)，所以cos 2α·t 2＋4sin α·t －4＝0，由题意知cos α≠0，设点A 对应的参数为t 1，点B 对应的参数为t 2，所以⎩⎨⎧Δ＝16sin 2α＋16cos 2α＝16，t 1＋t 2＝－4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝16sin 2αcos 4α＋16cos 2α＝4cos 2α≥16， 所以cos 2α≤14，所以－12≤cos α≤12且cos α≠0，又0<α<π，所以π3≤α≤2π3且α≠π2，故角α的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π3≤α<π2或π2<α≤2π3. 7．(2020·广东七校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解析 (1)将C 1的参数方程化成普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ， 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化成普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1.因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1取得最大值，为 2＋1.。

高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。

自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。

大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。

专题五：分析几何。

学习资料专题7第2讲不等式选讲绝对值不等式的解法授课提示：对应学生用书第68页考情调研考向分析主要考查解绝对值不等式以及求含有绝对值的函数最值问题．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中、低档。

1.含绝对值不等式的解法．2.利用绝对值不等式求最值。

［题组练透］1．已知函数f（x)＝｜x＋2|＋2|x－1｜。

(1)求f（x）的最小值；（2)若不等式f（x）＋x－a〈0的解集为（m,n），且n－m＝6，求a的值．解析：（1)f(x）＝|x＋2｜＋2｜x－1｜＝错误!，则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在（1，＋∞)上单调递增，所以f(x）min＝f(1)＝3。

（2)因为g（x）＝f(x)＋x－a＝｛－2x－a x≤－24－a，－2〈x≤14x－a，x>1，令－2x－a<0,则x〉－错误!；令4x－a〈0，则x〈错误!.所以不等式f(x)＋x－a<0的解集为错误!，又不等式f（x）＋x－a<0的解集为(m，n)，且n－m＝6,所以错误!－错误!＝6，故a＝8。

2．设函数f(x)＝5－｜x＋a|－|x－2｜.(1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f（x)＝错误!可得f(x）≥0的解集为｛x|－2≤x≤3｝．（2)f(x)≤1等价于｜x＋a｜＋|x－2｜≥4。

而｜x＋a|＋|x－2|≥｜a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由｜a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪［2，＋∞)．[题后悟通]含有绝对值的不等式的解法(1)｜f(x）｜＞a(a＞0）⇔f(x)＞a或f（x)＜－a。

（2）｜f(x)|＜a(a＞0）⇔－a＜f(x）＜a.(3)对形如|x－a|＋｜x－b|≤c,|x－a｜＋|x－b｜≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．与绝对值有关的参数范围问题授课提示：对应学生用书第69页考情调研考向分析主要考查利用不等式恒成立求参数的值或范围．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1。

高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（ ）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012x a f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-， 则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（ ） A ．0a b +≥B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b >B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a b c >>例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________.第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()0,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（ ）①()sin cos f x x x =+，②()e x f x x -=-，③()ln 2f x x x =-，④3()21f x x x =-+-. A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >， 由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1， 故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（ ）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切， 记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=， 所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+， 有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<， 则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值 【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)x x k x x k f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦， 当3k =时，22(1)()(2)4x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减； 当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增， 所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ， 当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减； 当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增； 所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减； 当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增； 所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增， 又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ， 则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈， 当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >），∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞， 即得202a a -≤⇒≤， 故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值.【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =， 故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-， 则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减.11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++，()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭， 所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sinln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题： 在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（ ） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数， 即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩， 解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ， 的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=， 在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-； 令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=，112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<< 所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈， 则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-， 设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='， 令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<， 所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =， 故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭， 设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅.当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212ee e 22212e 2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >.设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e xxh x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =.综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e 10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x -=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==， 设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->， 于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增， 因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤， 所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >. 即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=， 令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+， 所以()11132314e e >+>，即a b c >>， 故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有。