(完整版)线性代数第三章向量试题及答案

第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。

分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。

习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。

一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。

矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。

两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。

n 维向量组的线性组合也是n 维向量。

定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。

判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。

反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。

定义4：线性相关：对m 个n 维向量m ααα,,21 ，若存在一组不全为0的数m k k k 21,，使得m m k k k ααα ++2211=0成立，则称向量组m ααα,,21 线性相关。

包含0向量的向量组肯定线性相关，有相等向量或成比例向量的向量组线性相关，单个向量是0向量时线性相关。

定义5：线性无关：向量组m ααα,,21 ，只有当m k k k 21,全为0时，才有m m k k k ααα ++2211=0成立，则称向量组m ααα,,21 线性无关。

单个向量是非0向量时线性无关。

向量组m ααα,,21 “线性相关还是无关”也就是向量方程m m k k k ααα ++2211=0 有没有非零解（仅有0解）,也就是以m ααα,,21 为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解（仅有0解）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111m nm n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a定理1： 向量组m ααα,,21 （)2≥m 线性相关（无关）的充要条件是 向量组中至少有一个（任意一个）向量可由（均不能由）其余m-1个向量线性表出。

定理2：如果向量组m ααα,,21 线性无关，而向量组βααα,,,21m线性相关，则β可由m ααα,,21 线性表示，且表示法唯一。

若向量组组成的矩阵是方阵，⇔ 则方阵的行列式为0.⇔其中至少存在一个向量可由其余S-1个向量线性表示⇔m m k k k ααα ++2211，),2,1(m i k i =不全为0.4、向量组的极大无关组和向量组的秩定义1：设向量组的部分向量组r ααα,,21 满足条件：（1）r ααα,,21 线性无关（2）在向量组中任取一个向量α，则向量组α，r ααα,,21 线性相关，则称r ααα,,21 是向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。

由定义1可知：（1）一个线性无关向量组的极大无关组就是它本身。

（2）向量组中任意一个向量都可由极大无关组线性表示，从而一个向量组与它的极大无关组等价。

（3）任一个含有非0向量的向量组总存在极大无关组（4）当一个向量组的所有向量都是0向量时，这个向量组没有极大无关组。

定义2：向量组m ααα,,21 的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩。

定理1：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等 定理2：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。

矩阵A 的行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列秩，一个矩阵A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A 的秩,记作r(A )。

定理3：任意m 个n 维向量组m ααα,,21 线性无关的充要条件是这个向量组的秩等于它所含向量的个数。

即r(m ααα,,21 )=m ,或者称他们构成矩阵A 的秩r(A )= m 。

定理4：任意m 个n 维向量组m ααα,,21 线性相关的充要条件是这个向量组的秩小于它所含向量的个数。

即r(m ααα,,21 )<m ，或者称他们构成矩阵A 的秩r(A )< m 。

推论1：当n m 时，m 个n 维向量必线性相关。

推论2：任意n 个n 维向量组线性无关的充要条件是由他们构成的方阵A 的行列式不等于0。

推论3：任意n 个n 维向量组线性相关的充要条件是由他们构成的方阵A 的行列式等于0。

推论4：在一个向量组中，如果有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。

推论5：一个线性无关的向量组的任何非空部分的部分向量组也必定线性无关。

推论6：若m 个n 维向量组线性无关，则将期每个向量添加r 个相应分量所组成的n ＋r 维向量组也线性无关。

推论7：若m 个n 维向量组线性相关，则将其每个向量去掉n-r 个相应分量所组成的r 维向量组也线性相关。

例 题一、向量的行列式计算1.已知,1α2α，3α，β，γ均为4维列向量，若4阶行列γααα321=a ，b =+321αααγβ，那么4阶行列1232αααβ=解：=+321αααγβ+321αααβb =321αααγ--123αααβb =γααα321()a b +-=123αααβ，所以()a b +-=22123αααβ2.321,,,,γγγβα均为4维列向量，已知,53211==γγγαA1321-==γγγβB ，则=+B A解:32858888222321321=-⨯=+=+=+=+B A r B A γγβαγγγβα3.设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B[][].,,,2122212121112121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n m m n m a a a a a a a a a αααβββ .221941321111=⨯=⋅=A B 3.已知A 是3阶矩阵，,1α2α，3α是3维线性无关的列向量，若A 1α=21αα+，A 2α=2α+3α，A 3α=3α+,1α(1) 求行列式A(2) 求作矩阵B ，使得B A ),,(),,(321321αααααα=解：()()()=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+++=110011101,,,,,,321133221321αααααααααααa A 所以2==B A4.设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则A 当m>n 时，必有行列式AB ≠0 B 当m>n 时，必有行列式AB =0C 当n>m 时，必有行列式AB ≠0D 当n>m 时，必有行列式AB =0 解：m m m n n m AB B A ⨯⨯⨯=()()()()B r A r AB r ,m in ≤当m n <，(),n A r <AB =0 5.设A 为n 阶矩阵，则行列式A =0的必要条件是 B（A ）A 的两行元素对应成比例（B ）A 中必有一行（列）为其余各行(列)线性组 （C ）A 中有一列元素全为0 （D ）A 中任一列均为其余各列的线性组合二、向量的线性相关性1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk , 则 k = ______时，α1, α2, α3, α4线性相关。

解：考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=----- 316102038++-+--=k k = 13k +5 = 0。

135-=k 2.a,b,c 满足什么条件时向量组1α=(a,0,c),2α=(b,c,0),=3α (0,a,b)线性无关解：()0000000≠+⋅=-→bc bc a babca cb a bc a c b a 3.设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 C(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1 4.设α1, α2, α3 线性无关，则下列向量组线性无关的是：C(A) α1 + α2, α2 + α3, α3 - α1 (B) α1 + α2, α2 + α3, α1 +2α2 +α3 (C) α1 +2 α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 (D) α1+ α2 + α3 2α1-3α2 + 22α3 3α1+ 5α2 -5α3 5.设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是A（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.6. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是：(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k0)(2221121=++αλαλk k k ，由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ7.设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a , b , c 满足什么条件a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.解：假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k得0)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k因为α1, α2, α3线性无关, 得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式 010110=---cb a时, 321,k k k 有非零解. 所以 1=abc 时, a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关.或者：a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1()321,,ααα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---c b a 100110当行列式010110=---cb a ，1=abc ，a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关。