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21、22解析几何专题4： 圆锥曲线中的最值和范围问题(教师版)

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七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（一）

★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线12222byax(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,) D.(2,+∞)

2． P是双曲线221916xy的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）

A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

A．43 B．75 C．85 D．3

4．已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B） (A)43 (B)53 (C)2 (D)73 5．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 6．对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )

（A）（－∞，0） （B）（－∞，2] （C）［0，2］ （D）（0，2）

★★★高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式0。

★★★突破重难点 【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件||||22PMPN.记动点P的轨迹为W. （Ⅰ）求W的方程； （Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：22xy122－＝ （x0） 七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，

此时A（x0，20x2－），B（x0，－20x2－），OAOB＝2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，

代入双曲线方程22xy122－＝中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0 依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

2222122

2122

44(1)(2)0201201kbkbkbxxkbxxk•









解得|k|1，

又OAOB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b） ＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝2222k242k1k1＋＝＋－－2 综上可知OAOB的最小值为2 【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆2212516xy上的动点，F是右焦点，当53ABBF取得最小值时，试求B点的坐标。 解：因为椭圆的35e，所以513ABBFABBFe，而1BFe为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

||35||||||||BFeBFBNeBNBF

于是 5||||||3ABBFABBNANAM为定值 其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为53(,2)2 所以，当53ABBF取得最小值时，B点坐标为53(,2)2

【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆2219xy上移动,试求|PQ|的最大值。 解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ① 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②

将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 218272y

因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当12y时，1max33OQ 此时max331PQ 【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关； 七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值．

得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为924y，且离心率e满足：24,,33e

成等差数列。 （1）求椭圆方程；

（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线12x平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 （1）解：依题意e 223，29222244acc ∴a＝3，c＝22，b＝1， 又F1(0，－22)，对应的准线方程为924y

∴椭圆中心在原点，所求方程为22119xy (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被12x平分 ∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m

由2219ykxmyx消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0 ∵l与椭圆交于不同的两点M、N， ∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①

设 M(x1,y1),N(x2,y2) 1221292xxkmk 292kmk ②

把②代入①式中得2222(9)(9)04kkk， ∴k＞3或k＜－3 ∴直线l倾斜角2()()3223，， 七彩教育网 http://www.7caiedu.cn

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题（二） 【例5】长度为a（0a）的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且APPB（为常数且0）． （1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型； （2）当=2时，已知直线1l与原点O的距离为2a，且直线1l与轨迹C有公共点，求直线1l的斜率k的取值范围． 答案：(1)设(,)Pxy、0(,0)Ax、0(0,)By，则

00

00

(1)1()xxxxxAPPByyyyy









，由此及22200||ABaxya，得

222

1(1)xya





，即22221yax （*）

①当10时，方程（*）的轨迹是焦点为)0,11(a，长轴长为a12的椭圆．

②当1时，方程（*）的轨迹是焦点为)11,0(a，长轴长为a12的椭圆． ③当1时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，2a为半径的圆． （2）设直线1l的方程：hkxy，据题意有212akh，即212kah．

由222499ayxhkxy得 04929)41(92222ahkhxxk． 因为直线1l与椭圆222499ayx有公共点，所以,081)4(9222hak 又把212kah代入上式得 ：535535,572kk． 【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e, 过点C（－1,0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量BA的比为2. （1）用直线l的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。

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高考数学二轮复习 专题四 第3讲 圆锥曲线综合问题学案-人教版高三全册数学学案

高考数学二轮复习 专题四 第3讲 圆锥曲线综合问题学案-人教版高三全册数学学案

第3讲圆锥曲线综合问题1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，往往作为试卷的压轴题之一；2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．1．圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．2．定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．3．存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．(3)得出结论．热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2018·济宁期末)已知抛物线C:C2=2CC(C>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−3，直线AO，BO分别交直线C=−1于点M，N．⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CCA，B两点，且CC(1)求抛物线C的方程；(2)求C△CCC的最小值．)，C(C1,C1)，C(C2,C2)解（1）抛物线C:C2=2CC(C>0)的焦点为F(0,C2，设直线CC的方程为：C=CC+C2联立直线CC 与抛物线C 的方程可得：{C =CC +C2C 2=2CC，整理得：C 2−2CCC −C 2=0，所以C 1+C 2=2CC ，C 1⋅C 2=−C 2，C 1C 2=(CC 1+C 2)(CC 2+C2)=C 2C 1C 2+C2C (C 1+C 2)+C 24=C 24， 因为CC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−3，且CC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(C 1,C 1)，CC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(C 2,C 2)， 所以C 1⋅C 2+C 1C 2=−3，即−C 2+C 24=−3，解得：C =2．所以抛物线C 的方程为：C 2=4C 。

第9节圆锥曲线的综合问题

第9节圆锥曲线的综合问题

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(2)由题意得 F(1,0)．设 P(x3，y3)，则 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)． 由(1)及题设得 x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又点 P 在 C 上，所以 m＝34，从而 P1，－32，|F→P|＝32， 于是|F→A|＝ x1－12＋y21＝ x1－12＋31－x421＝2－x21.
∴y1－m＝－y1λ1，由题意知 λ1≠0，∴λ1＝ym1－1，
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同理由P→N＝λ2N→Q知，λ2＝ym2－1， ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0(*)， 联立xx＝2＋t3y2y＝－3m， ， 得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴需 Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0(**)， 且有 y1＋y2＝t22＋mt32 ，y1y2＝t2tm2＋2－33(***)， 将(***)代入(*)得 t2m2－3＋m·2mt2＝0，∴(mt)2＝1， ∵直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P， ∴mt<0，∴mt＝－1(满足(**))， 故 l 的方程为 x＝ty＋1，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．
同理|F→B|＝2－x22.
所以|F→A|＋|F→B|＝4－12(x1＋x2)＝3.
故 2|F→P|＝|F→A|＋|F→B|，即|F→A|，|F→P|，|F→B|成等差数列．
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考点二 定值问题 互动讲练型
考向·分层突破
(2019·安徽省考试试题)如图，已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1,1)． (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 P(3，－1)的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值．
浙江专用高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第1课时范围最值问题

浙江专用高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第1课时范围最值问题

%________ 11:第九章高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题］第1课时范围、最值问题■题型分类深度剖析T I■师生共研题型一范围问题例1 (2018-浙江)如图，已知点F 是y 轴左侧(不含y 轴)一点 =4% 上存在不冋的两点A /为两足B4 , 的中点均在C上. (1)设人3中点为旳, 证明设P(x 0 , yo) 证明： fl PM 垂直于y轴 5 221”y 2 1丁2/因为B4 , 的中点在抛物线上, 所以力,旳为方程字2二牛£^\ z 丿即J 2 - 2y Q y + 8xo " Jo = 0的两个不同的实根.,抛物线C : /:二1(兀v 0)上的动点,求△B4B 面积的取值范围.力+旳二2为,J1J2 = 8x 0 - yo ,所以IPMI 二 |(y? + yl) - Xo 二 |^o - 3兀0 / lyi -所以△B4B 的面积 S LPAB 二 ^PM\-\y x -加二所以 yo - 4%0= - 4%0 - 4%0 + 4 e [4 , 5], 所以△B4B 面积的取值范围是]6因为并+ &二 1(・ Kx o <O),解由⑴可知 (2)若P 是半椭圆x 2 +辺,15^[°解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面⑴利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域, 从而确定参数的取值范围.跟踪训练1 （2018•杭州质检）已知椭圆c 设直线I与椭圆C交于A , B两点.⑴若滋1＞筋,求实数£的取值范围;,直线I \ y = kx + m(m=^O) /解联立方程亍 + 丁二1 禾Wy-kx + m ,得(2 + 3A:2)X2+6kmx + 3m2 -6 = 0, 所= (6km)2 - 4(2 + 3k2)(3m2 - 6)>0 ,所以m2<2 + 30 ,又\m\>\j3 ,所以2 + 30>3 ,即坯,解得心彳或k< -、所以实数k的取值范围为OO U+ OO⑵若直线OA , AB , OB的斜率成等比数列（其中O为坐标原点）,求的面积的取值范围.解设4(“ , yj , B(X 2 , 丁2)/设直线OA , OB 的斜率分别为勺,k 2 , 因为直线04 , AB , OB 的斜率成等比数列,7 化简得2 + 3疋二60 ,即疋二亍 因为IABI 二冷］+ 疋&1 - x 2l =—O K则由⑴知小+疋二昇/3m 2- 6也二 2 + 3/所以k x k 2 =严=& , X\X2(kx\ + m)(kx2 +m) 即一 Xi%2|w |3原点o 到直线AB 的距离h - - h +，- 孑向/3 3当且仅当尹2二6 -尹2，即血二时,等号成立. 但此时直线OA 或OB 的斜率不存在,所以等号取不到,所以△OAB 的面积 S ^OAB h -」+(6 - |m多维探究题型二最值问题所以S HOAB W0 ,\命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线护二4兀的焦点F的直线交抛物线于A , B两点,点O是坐标原点,A.2B.A/2D.2边2 2 1 解析设直线AB的倾斜角为0 ,可得IAFI二, \BF\ =1 - cos 0 1 + cos 62 2 4则\AF\-\BF\的最小值是多维探究题型二最值问题例3在平面直角坐标系xOy 中,戶为双曲线・护二1右支上的一个动点•若 点F 到直给・y + 1二0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 ______ . 解析 双曲线宀尸二1的渐近线为兀±y 二o , 直线X - y+l = 0与渐近线X - y 二0平行, 故两平行线间的距离d 二 由点P 到直线％ - y+l= 0的距离大于c 恒成立, 得cW 普,故c 的最大值为¥•命题点2 数形结合利用几何性质求最值几何画板展示命题点3转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值f 1 1) (3例4 (2017•浙江)如图,已知抛物线x2 = y ,点彳.21 4)'(1 3)的点Pg y)| T V X ＜事过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围；1-4-2X解设直线代的斜率为S 、—所以直线AF斜率的取值范围为(-1,1).(2)求\PA\\PQ的最大值.kx - y +尹+ 玄二 0 ,解联立直线AP 与EQ 的方程 9 3x + ky - - 2 = /因为 IE4I = A J1 + % + ㊁二\jl+l^(k + 1) , \PQ\ =寸］+ 卩(XQ - X )=所以LR4I.IF0 二-(k- 1)伙 +I)3 , 令/的二1)(^4-I)3, 因为f 伙)二 -(4「2)伙+1)2,解得点Q 的横坐标是程二 』+仏+3 2 伙?+ 1) 伙-1)伙 + I)2所以朋在区间卜1,2上单调递增,在I 因此当£二*时，LR4ljP0取得最大值話.1 —O / 1上单调递减・处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式）,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2 (2018•浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆令+琴二1 (a>b>0),从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点,再经椭圆反射后回到起点•光线经过的路径为正三角形,且该三角形的周长为12.(1)求椭圆的方程；解不妨设光线从焦点件（-C , 0）出发到达椭圆上的点M ,反射后经过另一个焦点尸2（c , 0）到达椭圆上的点N.由于光线经过的路径为正三角形"MN ,则IF]MI二1尸凶, 所以MN丄厲佗/件尸2为厶中线.由椭圆的定义得4。

高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)

高中数学高考17第一部分 板块二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)


设M(x1，y1)，M′(x2，y2)， 设 MF1 的方程为 x＝my－ 3，
x＝my－ 3，
由x42＋y2＝1
得(m2＋4)y2－2 3my－1＝0，
故yy11＋y2＝y2＝－mm2 221＋＋3m44.，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
则 S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M′|＋|F1M|)d＝12|MM′|d＝ S△MF2M′,
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 (2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与 C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2， 可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2). 所以直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
所以 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.
直线 BM，BN 的斜率之和 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.
①
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0.
当且仅当 t2＝92，即 t＝±322时取等号.
故△BPQ
的面积的最大值为
2 2.
热点二 范围问题
圆锥曲线的范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形 性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知 参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.